《分析力学(全2册)》-22

22.1Lagrange系统本节讨论Lagrange系统的Lagrange对称性以及由此对称性导致的守恒量，包括系统的运动微分方程、Lagrange对称性的定义和判据，以及由Lagrange对称性导致的守恒量等。22.1.1运动微分方程Lagrange系统的运动微分方程有形式下一页返回22.1Lagrange系统22.1.2Lagrange对称性的定义和判据令上一页下一页返回22.1Lagrange系统定义对方程(22.1.1)，如果由T=0(r=1,2,...,n)可得到T'=0(s=1,2,...,n)，反之亦然，则这种对称性称为Lagrange对称性。由T=0，解出所有广义加速度认，有其中将式(22.1.9)代入T=0，得到上一页下一页返回22.1Lagrange系统判据如果两个Lagrange函数L和L'满足方程(22.1.11)，那么对称性就是Lagrange对称性。22.1.3Lagrange对称性导致的守恒量下面利用Lagrange对称性来导出相应的守恒量。将式(22.1.11)代入式(22.1.5)，得到上一页下一页返回22.1Lagrange系统其中

式(22.1.12)可写成形式由式(22.1.13),肩将式(22.1.16)对q'求偏导数，得到上一页下一页返回22.1Lagrange系统将式(22.1.16)对仔求偏导数，再乘以命并对l求和，得到式(22.1.11)可表示为形式

将式(22.1.19)对命求偏导数，得上一页下一页返回22.1Lagrange系统由Lr=0以及式(22.1.5),肩

将式(22.1.17),(22.1.18)和(22.2.21)代入式(22.1.20)，得到则式(22.1.22)可表示为上一页下一页返回22.1Lagrange系统引进矩阵T和T，其元素表示为则式(22.1.24)可写成矩阵形式其中A=(As),U=(Uv)为n*n矩阵。考虑到T和T是反对称的,U和W是对称的，而A=WU，利用矩阵迹的性质，对任何正整数m，有上一页下一页返回22.1Lagrange系统以及因此有由此得守恒量

于是有如下结果命题对Lagrange系统，Lagrange对称性导致守恒量式(22.1.27)。上一页下一页返回22.1Lagrange系统22.1.4应用举例例1单自由度系统的Lagrange函数为试研究Lagrange对称性与守恒量。解:取上一页下一页返回22.1Lagrange系统式(22.1.13)给出守恒量式(22.1.27)分别给出上一页返回22.2一般完整系统本节讨论一般完整系统的Lagrange对称性以及由此对称性导致的守恒量，包括系统的运动微分方程、Lagrange对称性的定义和判据，以及导致的守恒量等。22.2.1运动微分方程一般完整力学系统的运动微分方程有形式下一页返回22.2一般完整系统22.2.2Lagrange对称性的定义和判据上一页下一页返回22.2一般完整系统22.2.3Lagrange对称性导致的守恒量类似于导出式(22.1.24)的步骤，对一般完整系统，可得到上一页下一页返回22.2一般完整系统于是有如下结论:命题

对一般完整系统(22.2.1)，如果条件(22.2.9)满足，则Lagrange对称性导致守恒量tr(A^m)=const.(22.2.1)对Lagrange系统，条件(22.2.9)自动成立，于是有推论对Lagrange系统，Lagrange对称性将导致守恒量式(22.2.11)22.2.4应用举例上一页返回下一页22.2一般完整系统下一页上一页返回22.2一般完整系统上一页返回22.3有多余坐标完整系统本书讨论有多余坐标完整系统的Lagrange对称性与守恒量，包括系统运动微分方程、系统Lagrange对称性的定义和判据，以及对称性导致的守恒量等。22.3.1运动微分方程假设力学系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2,...,n)来确定。为方便计算和某些需要，选m个多余坐标qn+y(Y=1,2,...,m)，并受有m个双面理想完整约束下一页返回22.3有多余坐标完整系统上一页下一页返回22.3有多余坐标完整系统22.3.2Lagrange对称性的定义和判据上一页下一页返回22.3有多余坐标完整系统22.3.3Lagrange对称性导致的守恒量类似于22.2中的讨论，对有多余坐标完整系统，有如下结果:命题对有多余坐标完整系统(22.3.4)，如果满足如下条件推论如果没有多余坐标，则上述命题成为22.2中的命题。22.3.4应用举例上一页返回下一页22.3有多余坐标完整系统下一页上一页返回22.3有多余坐标完整系统上一页返回22.4相对运动动力学系统本节讨论相对运动动力学系统的Lagrange对称性与守恒量，给出系统Lagrange对称性的定义和判据，守恒量的形式，并举例说明结果的应用。22.4.1运动微分方程对双面理想完整约束系统，相对运动动力学方程有形式下一页返回22.4相对运动动力学系统22.4.2Lagrange对称性的定义和判据上一页下一页返回22.4相对运动动力学系统22.4.3Lagrange对称性导致的守恒量类似于22.2中的讨论，对相对运动动力学系统，有如下结果:命题对相对运动动力学系统(22.4.1)，如果满足条件上一页下一页返回22.4相对运动动力学系统上一页下一页返回22.4相对运动动力学系统22.4.4应用举例例三自由度相对运动动力学系统为试研究Lagrange对称性与守恒量。解:取另一组动力学函数为

可以证明，式(22.4.5)满足。由两组动力学函数，知上一页下一页返回22.4相对运动动力学系统由此可验证式(22.4.6)成立。守恒量式(22.4.7)给出上一页返回22.5变质量完整系统本节讨论变质量完整力学系统的Lagrange对称性与守恒量，给出系统Lagrange对称性的定义和判据，得到Lagrange对称性导致的守恒量，并举例说明结果的应用。22.5.1运动微分方程设系统由N个质点组成。在瞬时t，第i个质点的质量为mi;在瞬时t+dt,微粒并人或抛出质点的质量为dmi.设系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2,...,n)来确定，并设质量变化为下一页返回22.5变质量完整系统22.5.2Lagrange对称性的定义和判据上一页下一页返回22.5变质量完整系统上一页下一页返回22.5变质量完整系统22.5.3Lagrange对称性导致的守恒量对变质量完整力学系统，在一定条件下，Lagrange对称性可导致守恒量。类似于22.2中的讨论，有如下结果:命题对变质量完整系统(22.5.2)，如果满足如下条件上一页下一页返回22.5变质量完整系统22.5.4应用举例上一页返回下一页22.5变质量完整系统下一页上一页返回22.5变质量完整系统上一页返回22.6非完整系统本节讨论非完整系统的Lagrange对称性与守恒量，给出系统Lagrange对称性的定义和判据、守恒量的形式，并举例说明结果的应用。22.6.1运动微分方程设系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2,...n)来确定，它的运动受有g个双面理想LIeTaes型非完整约束下一页返回22.6非完整系统22.6.2Lagrange对称性的定义和判据上一页下一页返回22.6非完整系统22.6.3Lagrange对称性导致的守恒量类似于荟22.2中的讨论，有如下结果:命题对系统(22.6.5)，如果满足下述条件上一页下一页返回22.6非完整系统22.6.4应用举例例1Lagrange函数为

非完整约束方程为其中b为常数，广义力为q1=q2=0，试研究系统的Lagrange胜与守恒量。解:方程(22.6.5)给出其中上一页下一页返回22.6非完整系统式(22.6.7)给出今取另一组动力学函数则肩于是肩容易验证式(22.6.11)成立。守恒量式(22.6.12)给出上一页下一页返回22.6非完整系统另取一组动力学函数

则可求得守恒量将所得两个积分，再积分一次，得到

其中D1=C1-1,D2=C2-1。以上是相应完整系统的解，非完整系统的解需施加约束对初始条件的限制

D1-bD2=0上一页返回22.7Birkhoff系统的Birkhoff对称性本节讨论Birkhoff系统的一种新对称性，称为Birkhoff对称性，给出系统Birkhoff对称性的定义和判据、守恒量的形式等。22.7.1运动微分方程Birkhoff系统的微分方程为下一页返回22.7Birkhoff系统的Birkhoff对称性22.7.2Birkhoff对称性的定义和判据上一页下一页返回22.7Birkhoff系统的Birkhoff对称性22.7.3Birkhoff对称性导致的守恒量下面导出由Birkhoff对称性导致的守恒量。将式(22.7.9)代入(22.7.6)，得上一页下一页返回22.7Birkhoff系统的Birkhoff对称性上一页下一页返回22.7Birkhoff系统的Birkhoff对称性命题1Birkhoff系统的Birkhoff对称性导致守恒量式命题2对

广义Birkhoff系统，如果附加项入和A满足条件，则系统Birkhoff对称性导致守恒量式22.7.4应用举例例14阶Birkhoff系统为

试研究其Birkhoff