《分析力学(全2册)》-14

14.1基本概念分析力学的基本概念有约束及其分类、广义坐标和广义速度、准坐标和准速度、虚位移与自由度、理想约束等，这些已在第1章至第4章介绍过。对非完整系统来说，约束对虚位移的限制，以及微分运算与变分运算的交换关系等问题尤显重要。14.1.1约束对虚位移的限制不可积分的微分约束称为非完整约束。至少有一个非完整约束的系统称为非完整系统。一般说来，非完整约束是靠接触、靠摩擦来实现的，例如，冰刀不允许横滑、尖缘小轮和带横纹的小轮、两个轴相联结的轮子、滚球、滚盘、三圆柱系统、四轮小车、三轮桌台，等等。这些都是物理实现明显的、线性非完整约束。为得到线性非完整约束加在虚位移上的条件，通常采用Holder原则:将约束方程写成微分形式，用己代替d，并令dt=0

下一页返回14.1基本概念在利用d’Alembert-Lagrange原理推导运动微分方程时，这样的虚位移方程是不行的。于是，对非线性非完整约束，怎样给出约束对虚位移的限制条件就出现了困难。1933年LIeTaesHI'(1902-1959)提出一个条件，称为LIeTaes条件。对一般的非线性非完整约束fB(t,q,q)=0(B=1,2..,g)(14.1.1)虚位移dq满足上一页下一页返回14.1基本概念14.1.2微分运算d与变分运算己的交换关系非完整力学中的交换关系，或称“过渡方程”，即微分运算d和变分运算己的交换性问题，是非完整力学的基本问题之一。研究这一问题的重要性，不仅在于利用交换关系可以推导系统的运动微分方程，还在于交换关系与Hamilton原理能否应用于非完整系统，以及Hamilton-Jacobi经典积分方法能否应用于非完整系统等问题密切相关。历史上，对交换关系的形式有两种观点:一种认为d总可以交换，不论约束完整与否，代表人物是HolderOL(1859-1937);上一页下一页返回14.1基本概念另一种观点则认为d,的交换性仅对完整系统才成立，代表人物是Cyc,nosI'K(1857-1935),Levi-CivitaT(1873-1941).1961年JIypbe指出，d=d是采用变分法则的结果，可以采用其他法则使等式不成立.1966年HosocoR指出，交换关系的Holder形式和Cycnos形式都可应用于非完整系统Hamilton原理的研究下面在IeTaes条件下导出非完整系统的交换关系。设力学系统的位形由n个广义坐标9,(s=1,2,...,n)来确定，它的运动受有g个双面理想LIeTaes型非完整约束上一页下一页返回14.1基本概念将式(14.1.4)对t求导数，对式(14.1.3)取变分，并将所得结果相减，得到其中

考虑到对独立的vq6，有则式(14.1.5)成为称式(14.1.7)，式(14.1.8)为Cycos观点下的交换关系。这表明，对与独立广义速度c相应的坐标、6,d与己运算可以交换;而对与不独立的义速度、相应的坐标d与己运算不能交换，而由式(14.1.8)决定。上一页下一页返回14.1基本概念14.1.3d,δ交换关系.满足约束的可能轨道与LIeaerg条件三者的协调性设系统所受非完整约束为式(14.1.1),虚位移方程为式(14.1.2)。要求d,δ对所有坐标可交换上一页返回14.2运动微分方程本节介绍非完整系统的各类运动微分方程，包括d’Alembert-Lagrange原理的各种表达、带乘子的方程、LIaiirruu方程、Boltzmann-Hamel方程、Appell方程等。14.2.1d'Alembert-Lagrange原理的各种表达d'Alembert-Lagrange原理指出，对具有双面理想约束的质点系，在任意瞬时，作用于其上的主动力和假想的惯性力在系统虚位移所做的无功之和等于零，即下一页返回14.2运动微分方程14.2.2带乘子的方程设系统所受非完整约束为式(14.1.1),虚位移方程为式(14.1.2)。利用式(14.1.2)及Lagrange乘子法，由原理(14.2.2),(14.2.3)和(14.2.4)分别得到非完整系统带乘子的方程上一页下一页返回14.2运动微分方程14.2.3LIanbmrh方程为嵌人约束(14.2.8)后的动能表达式，做计算，有上一页下一页返回14.2运动微分方程注意到约束(14.2.8)对虚位移的LIeTaes条件则上式表示为上一页下一页返回14.2运动微分方程将原理(14.2.2)代入式(14.2.11)，并注意到如06-(1,2,...,e)彼此独立，得到如下方程方程(14.2.13)称为义LIan,nhrruH方程，由牛青萍于1964年得到。方程(14.2.13)也表示为上一页下一页返回14.2运动微分方程如果非完整约束是线性的，表示为

容易计算得其中上一页下一页返回14.2运动微分方程将式(14.2.16)代入方程(14.2.14)，得到方程(14.2.18)称为Bopoaeq方程，于1901年得到，它适合一般的线性非完整约束系统。进而，如果非完整约束是线性、齐次、定常的，且Be+b中不含坐标qr，动能T不含qe，广义力有势，且势能V不含qe，则BopoHeu,方程(14.2.18)给出原来的LannbirHa方程上一页下一页返回14.2运动微分方程14.2.4Boltzmann-Hamel方程首先，将d'Alembert-Lagrange原理(14.2.2)在准坐标下表达。取彼此函数独立的准速度上一页下一页返回14.2运动微分方程下面变换式(14.2.23)右端第二项。将式(14.2.21)代入式(14.2.20)，得到恒等式将两端对、厂求偏导数，得于是上一页下一页返回14.2运动微分方程将式(14.2.24),(142.25)代入式(14.2.23)，并注意到于是，d’Alembert-I,agrange原理在准坐标下表示为其中上一页下一页返回14.2运动微分方程其次，由原理(14.2.29)导出非完整系统的Boltzmann-Hamel方程。设系统受有g个双面理想LIeTaes型非完整约束将其代入原理(14.2.29)，由de的独立性得到

这就是一般一阶非完整系统的Boltzmann-Hamel方程。值得注意的是，条件仅在计算之后才可应用。上一页下一页返回14.2运动微分方程对线性约束情形，有而殊称为Boltzmann三标记号，此时方程(14.2.34)成为

Boltzmann-Hamel方程是准坐标下的方程，写起来较长，它的优点在于不仅可用于双面约束系统，还可用于单面约束系统。上一页下一页返回14.2运动微分方程14.2.5Appell方程设非完整约束为上一页下一页返回14.2运动微分方程上一页下一页返回14.2运动微分方程设由此可解得广义速度虚位移方程为将其代入原理(14.2.4)，由的独立性，得到令则有上一页下一页返回14.2运动微分方程将其代入式(14.2.47)，得到准速度表示的Appell方程其中

Appell方程具有单一形式，只要能列写加速度能量函数S，就能马上列出运动微分方程。应用它的主要困难在于构造函数5。上一页下一页返回14.2运动微分方程14.2.6关于Lindelof方程1895年，芬兰著名数学家LindelofE(1870-1946)在研究有回转面刚体沿水平面纯滚动问题时，写出两个非完整约束方程并将其代入动能中，认为这样就完全考虑了非完整性，而因此可建立第二类Lagrange方程Lindelof方程可表示为其中L为嵌人非完整约束后的Lagrange函数。但是，方程(14.2.51)，对非完整系统，一般说是不对的。因此，方程(14.2.51)也称为Lindelof错误。类似的错误一也发生在Schouten(1888),Crescini(1889)，Appell(1896),Klein(1902)等的工作中。上一页下一页返回14.2运动微分方程Lndelof的解使Appell非常高兴，并把它作为第二类Lagrange方程的应用例子写进他的《理性力学》(1896年，第一版)中。后来，他发现不对了，证明直接应用Lagrange方程于最小数日参数的不可能性，并于1899年导出了他的适用于完整系统和非完整系统的运动方程的普遍公式，即Appell方程。1897年，LIannhrr二纠正了Lindelof的结果，导出了非完整系统的正确方程(14.2.19)Lindelof错误是一个科学错误。科学错误往往在科学发展过程中起重要的推动作用。上一页返回14.3积分方法本节将完整系统的Routh降阶法、Whittaker降阶法，以及Hamilton-Jacobi方法，在一定条件下推)’一广到非完整系统。14.3.1非完整系统的循环积分及其降阶法非完整系统存在循环积分有严格的限制，不仅要求相应坐标不出现于Lagrange函数中，而且要求相应的非完整特性项为零，即要求对这个坐标的微分方程有第二类Lagrange方程的形式。LIaunhrruu方程(14.2.19)可表示为下一页返回14.3积分方法为使方程(14.3.1)在q=1时取第二类Lagrange方程形式，其充分必要条件是满足借助表达式将其代入约束方程上一页下一页返回14.3积分方法得到这表明，如果在非完整约束方程(14.3.3)中可分出某个函数的全微分，以使剩下的微分关系中不包含坐标q，那么非完整系统的运动方程(14.3.1)对坐标可写成第二类I,agrange方程的形式上一页下一页返回14.3积分方法14.3.2非完整系统的能量积分及其降阶法首先，研究非完整系统带乘子的方程上一页下一页返回14.3积分方法其次，研究广义LIannhrr二方程。将广义力分为有势的Qn'和非势的Qn''上一页下一页返回14.3积分方法下面研究利用能量积分降阶的方法。假设系统的Lagrange函数1_和非完整约束方程均不含，且不含t，则约束方程和运动方程分别为上一页下一页返回14.3积分方法如果外是相对的一阶齐次函数，即

那么系统存在能量积分

由式(14.3.19)和式(14.3.22)可解出，记作上一页下一页返回14.3积分方法方程(14.3.30)就是根据能量积分降阶后的方程，可称为广义Whittaker方程。上一页下一页返回14.3积分方法14.3.3Jacobi方法一般说，积分Hamilton-Jacobi方程的Jacobi方法不能应用于非完整系统方程的积分。但对某些特殊的非完整系统，例如，主动力有势、广义约束力有势的情形，尚可应用。上一页返回14.4专门问题本节讨论非完整系统力学的几个专门问题，包括平衡状态附近的小振动、相对运动动力学、打击运动、变质量系统等。14.4.1非完整系统平衡状态附近的小振动设力学系统的位形由n个广义坐标g,(s=1,2,...n)来确定，它的运动受有g个理想线性齐次定常非完整约束下一页返回14.4专门问题例3设力学系统的位置由广义坐标q1，q2来确定，动能和势能分别为非完整约束方程为其中b为常数,试用Jacobi方法求解。解:方程(14.3.32)给出利用约束方程可求得下一页上一页返回14.4专门问题下一页上一页返回14.4专门问题下一页上一页返回14.