《分析力学(全2册)》-13

13.1Poisson方法Poisson方法是积分Hamilton方程的一种重要方法。本节介绍Poisson方法，包括对第一积分的Poisson条件、Poisson括号及其应用、经典Poisson方法及其推广等。13.1.1对第一积分的Poisson条件研究正则方程下一页返回13.1Poisson方法关系(13.1.3)称为对第一积分的Poisson条件。显然，它是充分必要条件。13.1.2Poisson括号及其性质将两个给定函数甲和功的下述表达式称为Poisson括号。这样，对第一积分的Poisson条件(13.1.3)可表示为上一页下一页返回13.1Poisson方法复合Poisson括号，定义为三个复合Poisson括号，其中每一个由三个函数f,e,用循环交换函数的方法来得到，则它们的和恒等于零

这一等式称为Jacobi恒等式。如果两上函数f1(t,g,p)和f2(t,q,p)所构成的Poisson括号恒等于零

(f1，f2)=0(13.1.8)则称f1,f2为相互内旋的，或对合的。上一页下一页返回13.1Poisson方法13.1.3经典Poisson积分方法及其推广将Hamilton方程(13.1.1)表示为逆变形式上一页下一页返回13.1Poisson方法经典Poisson方法可作如下推广:13.1.4应用举例上一页返回下一页13.1Poisson方法返回上一页13.2Jacobi方法由Hamilton函数可构造Hamilton-Jacobi方程。本节介绍积分Hamilton

Jacobi方程的Jacobi方法，包括预备知识、Jacobi定理、Louville定理等。13.2.1预备知识研究依赖于力学系统广义坐标qs(s=1,2,…，n)及时间t的某函数S，在其表达式中包含(n+1)个任意常数aa(a=1,2,...,n1),常数的数目等于计入时间的所有变量的数目S=S(qs，t;aa)写出函数S对变量qs和t的偏导数，记作下一页返回13.2Jacobi方法或者出现几个关系。在第一种情形中，消去任意常数的结果，即关系(13.2.3)称为相对函数S的一阶偏微分方程，S为t,qs的函数;而式(13.2.1)表示的函数S称为一阶偏微分方程(13.2.3)的完全积分。在第二种情形中，由于消去全部常数而出现了函数S及其偏导数之间的几个关系，可以认为，不存在这样一阶微分方程使已给函数S成为完全积分。上一页下一页返回13.2Jacobi方法13.2.2Hamilton-Jacobi方程和Jacobi定理设力学系统的Hamilton函数为H=H(t,qs,ps)，构造偏微分方程上一页下一页返回13.2Jacobi方法其中尽为新的任意常数。

Arnold指出:"Jacobi定理将常微分方程组的求解化为求偏微分方程的完全积分。这样由简‘化’繁却提供了解决具体问题的有效方法，这是令人惊奇的。然而这却是求精确解的最有力的方法，而Jacobi解出的许多问题用别的方法是解不出来的。如果Hamilton-Jacobi方程不显含时间t，那么函数

满足方程(13.2.7)。上一页下一页返回13.2Jacobi方法

如果Hamilton-Jacobi方程不显含q1，那么函数

满足方程(13.2.7)利用Jacobi定理解力学问题时，步骤如下:根据Hamilton函数H列写Hamilton-Jacobi方程(13.2.7);求此偏微分方程的完全积分S，一般用分离变量方法;列写2n个代数方程(13.2.9),(13.2.10)，解此方程可求得上一页下一页返回13.2Jacobi方法13.2.3Liouville情形Liouville指出很广一类情形，运动方程的解可表示为求积分的形式。系统的动能和势能分别写成上一页下一页返回13.2Jacobi方法而Hamilton-Jacobi方程为它的完全积分有形式代入方程(13.2.15)，得到上一页下一页返回13.2Jacobi方法13.2.4应用举例例1试用Jacobi定理解Kepler-Newton问题解:在12.1中，例3已给出Hamilton函数Hamilton-Jacobi方程(13.2.7)给出它的完全积分可写成形式

代入方程，得到用分离变量法求完全积分，W=R+中+o上一页下一页返回13.2Jacobi方法左端不依赖于r，而右端依赖于r，为使它满足，两端应等于同一常值记作，因此有前一式积分得后一式给出由此积分得积分常数C1,Cz,C3可去掉，有上一页下一页返回13.2Jacobi方法上一页返回13.3正则变换变换，是分析力学研究问题的重要手段。对于分析动力学问题中直接得到的Hamilton正则方程来说，往往很难求解。因此，利用变换的方法，使它变成一个较易求解的微分方程组，是一个十分重要的研究课题。正则变换便是达到这一目的重要工具。13.3.1正则变换及其群性1)正则变换对于正则方程下一页返回13.3正则变换2)正则变换的群性设变换T1将q，p)变换到(Q,P)，变换T2将(Q,P)变换到(Q',P')，则由(q,p)到(Q'，P')的变换记作T2T1，称为两个变换的积。若存在变换，使T1'T1(q,p)=(q,p)则称T1‘为变换T1的逆变换。变换To(q,p)=(q,p)称为恒等变换。13.3.2母函数为解正则变换问题，必须在一般形式下对函数U和H解方程(13.3.5),因而问题是不确定的。可以认为其中一个函数是任意的。将母函数U取为这样的函数比较方便。借助它可以找到未知的变换。上一页下一页返回13.3正则变换现有(4n+1)个变量qs,ps,Qs,Ps(s=1,2,...,n)和t，它们用2n个变换联系着，所以其中只有(2n+1)个变量是独立的。选择怎样的2n+1个变量作为独立变量，通常可以有多种方案。但是，对于一个具体的正则变换来说，这种选择绝不是任意的。独立变量的选择，是要根据变换的情况来判定的。下面反过来做:在预先假定某2n+1个变量可以作为变换的独立变量的前提下，来寻找这一类变换的明显表达式。下面研究四种基本形式的正则变换1)第一类母函数2)第二类母函数2)第三类母函数2)第四类母函数上一页下一页返回13.3正则变换13.3.3Mathieu变换和点变换1)Mathieu变换对于正则变换这种变换首先由MathieuEL(1835-1890)于1874年所研究。这种正则变换也构成一个群，并且是一般正则变换群的子群。上一页下一页返回13.3正则变换2)点变换若Q单独由q决定，P由p决定，那么这种变换称为增广点变换，其变换式为13.3.4无限小正则变换考虑第二类母函数上一页下一页返回13.3正则变换现假设新的相坐标(Qs，Ps)与旧的相坐标(qs，ps)之差为无限小的正则变换，可写成

显然，无限小正则变换与恒等变换之差为无限小。考虑到式(13.3.42)，则无限小正则变换的母函数可写成其中e为无限小参数，于是有

或上一页下一页返回13.3正则变换因Ps与fs之差为无限小，G(Q,P,t)中的P可近似地以p代替，而将‘看成是(g,p,t)的函数，这样，上式可改写为因此，G成为无限小正则变换的母函数。在特殊情况下，可选Hamilton函数H(g,p,t)作为母函数G(g,p,t),dt作为e，于是有上一页下一页返回13.3正则变换这表明，力学系统由时刻t的相点，到时刻t}dt的相点(Q,P)之间的状态变换，就是Hamilton函数H(g,p,t)作为母函数，无限小时间at作为无限小参数的无限小正则变换。把由Hamilton方程决定的这种相空间的相流称为无限小动力学变换。因此，由Hamilton方程决定的无限小动力学变换是无限小正则变换。动力学系统从乙。至t有限时间内的运动，可以看成是由许多相继的无限小时间at的正则变换表达出来的。这许多持续的无限小正则变换，合成一个单独的有限时间t-t,。的正则变换。因此，动力学系统自乙。时的相点(go,po)经运动变化到t时的相点(g,p)，可用时间的连续函数的正则变换表示出来。Hamilton函数H(g,p,t)就是变换的母函数。上一页下一页返回13.3正则变换13.3.5应用举例例1试证变换是正则的，并求出与该变换相关的四类母函数。解:做计算，有

pdq-PdQ=(p+cotp)dq-qcotzpdp=d(qp+qcotp)因此，变换是正则的，母函数为

U=qp+qcotp

在第一类变换下，母函数应选为q，Q的函数。由变换式解出p，有上一页下一页返回13.3正则变换

代入U，上一页下一页返回13.3正则变换作为验证，由式(13.3.22)知

对第三类变换，母函数应选为P，Q的函数。由变换式解出9，有由式(13.3.28)知上一页返回13.

4积分不变量PoincareH(1854-1912)为研究天体的运动，特别是三体问题中渐近的和双渐近运动的稳定性，广泛应用了积分不变量。积分不变量在统计物理、量子力学及微分方程定性理论中获得了应用。13.4.1Poincare一阶线性相对积分不变量在2n维相空间(q1，q2，…，qn，p1，p2，…，pn)，对由Hamilton方程下一页返回13.

4积分不变量相点的初始位置的封闭轮廓C，依赖于参数a。以C上每个点为起始点建立相点的轨道，正好得到某个管形轨道。每个时刻t值相应于管形轨道的某个截面(相点的某个封闭轮廓)。为使系统初始状态的轮廓是封闭的，参数a应是另一参数的周期函数，即初值a1与终值a2应重合:a1=a2，这时有因此式(13.4.2)给出这里丁和11分别代表相应于时刻t;和t:的管形轨道截面的封闭轮廓。因此，对任意时刻都有上一页下一页返回13.

4积分不变量这个积分不变量称为Poincare一阶线性相对积分不变量，或称Poincare线性积分不变量。与上述结论相反的结论也存在。如果微分方程组

具有Poincare线性相对积分不变量l，那么它一定有Hamilton方程的形式。上一页下一页返回13.

4积分不变量13.

4.2高阶积分不变量现变换式(13.4.3)，因为上一页下一页返回13.

4积分不变量最后的积分记作Iz，并称为二阶线性绝对积分不变量，或二阶积分不变量。

CartanE(18691951)借助于他建立的外形式方程证明了存在更高阶的，直至2n阶的积分不变量，有形式