等腰三角形（二） 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明1.2.2等腰三角形二学习目标1.通过等腰三角形判定定理的证明,掌握并能运用等腰三角形判定

定理.2.体会反证法的底层逻辑,并能用反证法证明比较简单问题.温故知新1.等腰三角形有哪些性质?(1)等腰三角形两腰相等.(2)等腰三角形两底角相等(等边对等角).(3)等腰三角形“三线合一”.2.反过来具有什么特征的三角形是等腰三角形?(1)将“等腰三角形两腰相等”反过来就是:“有两条边相等的三角形是等腰三角形”这是定义,也是判定等腰三角形的依据(2)将性质“等腰三角形两底角相等”反过来就是:“有两个角相等的三角形是等腰三角形”成立吗?新知探究已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．ABC分析:证明两条线段相等,你有哪些方法?构造两个三角形全等,使AB,AC为对应边你是如何构造两个三角形全等?与同伴交流.D证明：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°，又∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ADB≌△ADC（AAS），∴AB=AC.你有其它不同方法吗?已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．ABCD证明：作∠BAC的平分线

AD交BC于点D，∴∠BAD=∠CAD，又∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ADB≌△ADC（AAS），∴AB=AC.定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。应用格式:∵∠B=∠C

∴AB=AC思考:通过前面的学习,小明作△ABC,BC边的中线AD你认为可行吗?注意:一定要在同一个三角形中典例精析1.已知:如图,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E。

求证:△AED是等腰三角形。ABCDE证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,∴AE=DE(等角对等边）,∴△AED是等腰三角形.ABCD212.如图∠1=∠2,小作如下推理你认为正确吗?为什么?∵∠1=∠2,∴BD=DC尝试·思考在经历了“等角对等边”定理的证明和学习之后,小明进行了反思后认为,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等。你认为小明这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等。假设AB=AC,那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B,这与已知条件∠B≠∠C相矛盾,因此AB≠ACABC小明是这样想的:像小明那样,在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法(reductiontoabsurdity)3.用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角。已知:△ABC。求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角。证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角,即∠A=90°,∠B=90°。于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°。这与三角形内角和定理相矛盾,因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立。所以,一个三角形中不能有两个角是直角.1.用反证法证明的一般步骤(1)假设:先假设命题的结论不成立;(2)归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,推导出与定义、基

本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果;(3)定论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确反思内化2.常见的结论词的否定形式结论词是都是大(小)于能相等至少有一个至多有一个负数否定形式不是不都是不大(小)于不能不相等一个也没有至少有两个非负数小试一下

这与已知五个正数的和等于1相矛盾

当堂测评1.如图，等腰三角形共有(

)A．4个B．5个C．3个D．2个B2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延

长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO=3，

BO＝4，则MC的长度为().A．8B．9C．10D．11C3.下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三

角形的是(

)B4.在用反证法证明“在一个三角形中，最多只有一个角是钝角”时,第一步

假设应为“在一个三角形中,()”A.至少有一个角是钝角B.至少有两个角是钝角C.没有一个角是钝角D.所有的角都是钝角B

①②③⑤证明:∵AD＋EC＝AB＝AD＋DB，

∴DB＝EC.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

又∵BE＝CF，∴△BED≌△CFE.

∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形．6.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，

且BE＝CF，AD＋EC＝AB．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)用反证法证明△DEF不可能是直角三角形.(2)用反证法证明△DEF不可能是直角三角形.证明:假设△DEF是直角三角形，则∠DEF＝90°，

∴∠DEB＋∠FEC＝90°.由(1)知△BED≌△CFE，

∴∠BDE＝∠CEF.

∴∠DEB＋∠BDE＝90°.

∴∠B＝90°.∴∠C＝90°.

∴∠A＋∠B＋∠C>180°，与三角形内角和定理相矛盾．

∴△DEF不可能是直角三角形．课堂小结这节课你学会了什么?1.等腰三角形的判定2.反证