2026年湖南省株洲市高考第一次模拟考试数学试题（人教版）（试卷及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年湖南省株洲市高三第一次模拟考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A． B．或C． D．2．已知复数，则（

）A． B．C． D．3．若椭圆的焦距为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．4．若l，m是两条不同的直线，平行于平面，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（

）A． B． C． D．6．一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（

）A．42cm B．44cm C．48cm D．50cm7．已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（

）A． B． C． D．10．已知函数，则（

）A．为奇函数B．的单调递增区间为C．的极小值为3D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为11．已知函数列，则（

）A．在区间上单调递减B．的图象关于直线对称C．的最小值为D．的最大值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若，则的最小值为.13．已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为．14．已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知的三个内角满足．(1)求；(2)若，且，求的内切圆半径．16．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求；(2)若，求BC边上的高的最大值．17．为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.(1)已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；(2)记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值；(3)假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围.18．已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值.19．给定数列且，若对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.(1)已知数列为“指数型数列”，若，求；(2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；(3)若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2026年湖南省株洲市高三第一次模拟考试数学试题（解析版）题号12345678910答案BAABBADABCAD题号11答案ACD1．B【分析】求出集合，结合并集的定义求解即可.【详解】.所以或.故选：B.2．A【分析】先对复数化简，再写出【详解】..故选：A3．A【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得.【详解】由得，又，所以，，得，所以．故选：A．4．B【分析】首先利用长方体判断不满足充分性，再根据线面垂直的性质判断必要性，即可得到答案.【详解】充分性：如图所示，在长方体中，满足：，，此时不垂直平面，故不满足充分性.必要性：可推出，满足必要性.所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B5．B【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解.【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C，三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则，，所以.故选：B6．A【分析】易知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度.【详解】根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积，利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度，即，故水槽中水面的高度达到了42cm.故选：A7．D【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数，，再由函数也是偶函数，变形求得函数的解析式，并求得函数的单调区间，即可求解不等式.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，又因为函数也是偶函数，所以，得，因为为减函数，为增函数，所以为减函数，令，得，所以时，，在上单调递减，根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，即，即，得或，所以不等式的解集为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，得到，从而求得函数的解析式.8．A【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解．【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时，所以一定存在A、B及P，使得；当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得；当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有，另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示，由图可知，，CP最短时，即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大，所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则必有，解得，又因为圆的半径，圆心到直线的距离，所以，解得．故选：A．9．BC【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可.【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图：由，得，而，结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集，因此选项AD错误，选项BC正确.故选：BC10．AD【分析】利用判断A选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D.【详解】对于A，，故，又其定义域为R，故为奇函数，故A正确；对于B，，所以在上，，单调递减；在和上，，单调递增，故B错误；对于C，由B知，在处取极小值，极小值，故C错误；对于D，方程恰有3个不等的实根，即恰有3个解，且在和上，单调递增；在上，单调递减，所以，即，故D正确.故选：AD11．ACD【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质判断A；利用轴对称的定义判断B；确定函数的周期，利用导数求出周期长的区间上的最值判断CD.【详解】对于A，，当时，，函数在区间上单调递减，A正确；对于B，，，，的图象关于直线不对称，B错误；对于CD，，，，因此函数是以为周期的周期函数，求导得，当时，，，，当时，，，，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，，由的周期性得在R上的最大值为1，最小值为，因此，，CD正确.故选：ACD12．【分析】先根据对数的运算性质求出的值，再利用基本不等式求解的最小值.【详解】由，得，所以，，，当且仅当，即时取等号.故答案为：13．【分析】原不等式化为，构造函数，利用导数研究单调性并作出大致图象，数形结合即可求出范围.【详解】原不等式等价于，设，，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取极大值1，又，且时，，在同一坐标系内作出与的图象，如图：直线恒过点，当时，显然不满足条件；当时，若0，1是原不等式的解，只需要满足，解得，的取值范围为；当的切线过点时，设切点为，则切线方程为，该直线过点，，解得，若是原不等式的解，则，解得，所以k的取值范围为.故答案为：14．/【分析】根据，得，设，则，利用双曲线定义得，再利用求出可得答案.【详解】由已知得，所以，，因为，所以，，因为，所以，设，则，由，得，又，所以，可得，所以.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换化简即可得解；（2）利用余弦定理可得，再由三角形的面积公式列出方程，即可求出内切圆的半径.【详解】（1）由，可得，即，化简可得，由可得，又，故.（2）记的角所对的边长分别为，由，可得，则，由余弦定理可得，因为，所以，又，故，而，，可得设的内切圆半径为，则，可得，故的内切圆半径为.16．(1)(2)2【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，求出，再由三角形内角范围即可求得角；（2）设BC边上的高为，由三角形等面积可得，由余弦定理和基本不等式推得，即得BC边上的高的最大值.【详解】（1）由可得，

由正弦定理得，

所以，

因为，所以，

因为，所以．（2）依题意，，设BC边上的高为，由，可得，

由余弦定理可得，即，当且仅当时等号成立，

因此，所以BC边上的高的最大值为2．17．(1)；(2)极大值(3)【分析】（1）通过超几何分布模型计算答对题数的数学期望，并利用条件概率公式分析在已知至少答对一题的情况下仍未能进入决赛的可能性；（2）建立二项分布概率函数，通过求导确定其极值点，进而求得该概率函数在给定区间内的最大值；（3）基于二项分布列出奖金期望的表达式，通过解多项式不等式确定概率参数的取值范围，从而满足总奖金期望的条件.【详解】（1）记总题数，甲会做的题数，从中任选题作答，则答对题数服从超几何分布，数学期望事件“已答对一题”即；“仍未进入决赛”即，由条件概率公式得：.（2）设一次抽奖中奖概率为，次抽奖中中奖次数，则“恰好中奖次”的概率：，对求导：令，得（舍去），当时，当时，故为极大值点，极大值为.（3）设进入决赛的同学获得的奖金为元，其分布为，，，，期望，化简得名同学总奖金的期望，即整理得令，由知在单调递增，又，因此不等式解为，结合，得.18．(1)(2)【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解出即可得结果；（2）设出，，的坐标，分别联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值.【详解】（1）根据题意可得解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，，，由（1）可知，，因为点在椭圆上，所以.由题意：，：，将直线与椭圆联立，可得，整理可得：.所以.所以，，即.同理，将直线与椭圆联立.可得.整理可得：，所以，所以，，即.所以的斜率为，的斜率为.故因为点在第一象限内.故，.所以的最小值为，当且仅当在处取到等号.19．(1)，；(2)是，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据定义代入计算即可；（2）根据“指数型数列"的定义可做判断，证明时利用递推式推出数列是等比数列，求出，再结合定义即可证明；（3）由递推式可得，继而假