五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(河南专用)15：相似三角形的性质与判定（学生版）

专题15相似三角形的性质与判定考点一、相似三角形的性质与判定1．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（

）

A． B．1 C． D．2．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（

）A． B．1 C． D．23．（2021·河南·中考真题）如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．考点二、相似三角形的实际应用问题4．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．活动主题测量纪念碑的高度实物图和测量示意图测量说明如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．测量数据备注点在同一水平线上．根据以上信息，解决下列问题．(1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由．(2)求纪念碑的高度．(3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．考点三、相似三角形与其它数学知识的综合应用5．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为．6．（2023·河南·中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为．7．（2023·河南·中考真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为．8．（2021·河南·中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．9．（2021·河南·中考真题）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段．请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为，垂足分别为点，；（3）作射线，射线即为的平分线．简述理由如下：由作图，，，，所以，则，即射线是的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2．（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）连接，，交点为；（3）作射线，射线即为的平分线．……任务：（1）小明得出的依据是．（填序号）①；②；③；④；⑤．（2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由；（3）如图3，已知，点，分别在射线，上，且．点，分别为射线，上的动点，且，连接，，交点为，当时，直接写出线段的长．考点四、相似三角形的综合问题10．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点．(1)观察猜想如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________．(2)类比探究如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．(3)拓展应用当，且时，若，请直接写出的值．11．（2024·河南·中考真题）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）．(3)拓展应用如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．专练一、相似三角形的性质12．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（

）A．6 B．8 C．9 D．1013．（2025·河南·模拟预测）如图，已知，则的长为（

）A．9.6 B．6.4 C．4.8 D．3.214．（2025·河南新乡·三模）如图，在中，，，，，则的长为（）A．2 B．4 C．5 D．615．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，为对角线BD上一点，过点的直线MN分别交边AB，BC于点F，G，交射线DA，DC于点M，N．若，则的值为（

）A．6 B．8 C．9 D．1016．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点E，F分别为的中点，连接，两线交于点H，则的长为（

）A． B． C． D．17．（2025·河南漯河·二模）如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．若，则的长度为（

）A．4 B．5 C．6 D．818．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的面积为（

）A． B． C． D．19．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，点是线段的黄金分割点（），若，则的长为（结果保留根号）．20．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，，为斜边上不与端点重合的一动点，过点作，垂足为，将沿直线翻折得对应，交于点，若，则线段的长是．专练二、相似三角形的实际应用21．（2025·河南驻马店·三模）如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（

）A． B． C． D．22．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（

）A． B． C． D．23．（2025·河南商丘·模拟预测）郑州中牟贾鲁河大桥斜拉索都互相平行且距离相等．如图，，小丽测得50米，米，米，则的长度为（

）A．60米 B．75米 C．78米 D．米24．（2025·山西长治·三模）在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为．25．（2025·河南驻马店·三模）如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度．26．（2025·河南驻马店·三模）开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960－1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”．某小组用自制的菱形测高仪测量塔高，其边长为，为对角线的交点，．当测角仪的顶点，A与塔顶端点在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线恰好过点和顶点．经测量点到的距离为72m，点到地面的距离为．求开封铁塔的高度．27．（2025·河南平顶山·一模）樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？28．（2025·河南平顶山·一模）图1是一棵拦腰折断的大树，已知未折断的树干与地面保持垂直的关系，折断部分与地面形成的夹角的正切值为．树干旁有一根与地面垂直的电线杆，高度为9米．如图2，在某一时刻的太阳照射下，测得电线杆的影长为14米，树干的影长为7米，且点在同一条直线上．请求出这棵大树未折断前的高度．29．（2025·河南周口·模拟预测）图①是一款儿童玩具———声光跑跑小蜗牛，图②是其侧面示意图，是蜗牛壳，是蜗牛尾巴，是蜗牛身体，与相切于点，是与的交点，连接，是的直径，且三点共线．(1)求证∶(2)厂家测得的直径为，，点的离地高度．，求配套该玩具的包装盒长度的最小值．（备注：包装盒长度不小于的长度）30．（2025·河南商丘·二模）2025年是红旗渠通水60周年，这条“人工天河”是39万河南林县农民用双手砸出的“世界第八大奇迹”，更是一座镌刻着“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的精神丰碑．红旗渠是完全依靠重力作用实现的自流灌溉水利工程，全长1500公里，总干渠必须确保8公里渠道只能有1米落差才能顺利通过分水闸，因此精准测量尤为重要．智慧的河南林县人，创造了盆面测量法，又称“水鸭子”测量法．简单地说，就是在一个洗脸盆中盛上半盆水，再在盆里倒放上一只板凳，在木凳两端连接细线，与对面持木棍的人相互配合，通过木棍两端的点和要测定的点共三个点连成一条线，来找到水平面．如图，小聪同学在处放一“水鸭子”，测得点、标杆上的点、大树底部点都在同一水平线上．而小聪视线从点处向上看时，发现点、标杆上的点、大树顶端点恰在同一直线上．接着，小聪往后退3米到点处，利用“水鸭子”使点、、共线，此时发现点、标杆上的点、大树顶端点也恰在同一直线上．测量得到米，米，米．你能据此算出大树的高度吗？（大树和标杆均与水平面垂直）31．（2025·河南周口·三模）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，，上都有相同单位的刻度，可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度．如图（），小明站在自动扶梯的底部处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点，滑动使，，在同一条直线上，此时．他乘坐扶梯到达顶部处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点，滑动，使，，在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为，水平宽为．试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精确到）32．（2025·河南南阳·一模）【学科融合】如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．【问题解决】如图4，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）．专练三、图形的位似33．（2025·河南安阳·一模）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为（

）A． B． C． D．34．（2025·河南驻马店·一模）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形．若点A的坐标为，则点C的坐标为．35．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3．(1)求k的值；(2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标．36．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知．(1)求反比例函数的解析式；(2)求的长．37．（2025·河南焦作·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．(1)在轴左侧以为位似中心作的位似图形，且与的相似比为；(2)如果内部一点的坐标为，写出点在内的对应点的坐标；(3)计算的面积．专练四、相似三角形与尺规作图的综合38．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，为边的中点．(1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)若在（1）中的射线上有一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形．39．（2025·河南驻马店·三模）如图，是的中线．(1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离．40．（2025·河南商丘·二模）如图，在等腰三角形中，，是底边上的中线．(1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交边于点，交于点，交边于点，连接，；（保留作图痕迹，不写作法）(2)证明（）中得到的四边形是菱形．41．（2025·广东阳江·一模）如图，在中，是边的中点．(1)用尺规作图法作线段的中点；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)在（1）所作的图中，连接，若的面积为12，求的面积．42．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点为半径上一点，延长交于点．(1)作线段的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），交于点、（点在点左边）．连接、，在上截取，连接、，求证：．(2)若的直径为2，当时，求的长度．43．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，．(1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，求证：．44．（2025·河南南阳·三模）如图，已知．(1)尺规作图：作平分交于点，再作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由；(3)若，，，求的长．45．（2025·河南安阳·模拟预测）已知线段，尺规作图：①作线段的垂直平分线交于点O，②以点O为圆心，长为半径画圆，交直线于点B，D，③顺次连接．(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)判断四边形的形状，并说明理由；(3)点E在边上（不与点A，D重合），射线与射线D交于点F．求证：．专练五、相似三角形的综合问题46．（2025·河南信阳·三模）如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．如图2，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点P，交于点O，则在运动过程中，点P到直线距离的最大值为；点P运动的长度为．47．（2025·河南洛阳·三模）如图，矩形中，，点分别为上一个动点，且，以为对称轴将矩形折叠，点的对应点分别为，点为上一点，且，的最小值为，的最大值为．48．（2025·河南郑州·三模）【综合与实践】如图，在Rt中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造Rt，，连接，．【特例感知】（1）如图，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；【类比迁移】（2）如图，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想；【拓展应用】（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，如图．已知，设，四边形的面积为．①求与的函数表达式，并求出的最小值；②当时，请直接写出的长度．49．（2025·河南安阳·三模）某校数学探究小组的同学在学习了图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究．【特例探究】如图1，在中，，是斜边上的高．（1）求证：；【类比研究】（2）如图2，为线段的延长线上一点，连接并延长至点，连接，，使得．请判断的形状，并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内有一点满足，连接并延长至点，使得，请直接写出线段的最小值．50．（2025·河南驻马店·三模）综合与实践【问题背景】数学活动课上，刘老师让学生以正方形为主题背景进行旋转变换探究活动．点E为正方形边延长线上一点，且，连接，将边绕点E顺时针旋转得到EP，旋转角为，连接．【问题解决】下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题．(1)“奋进”小组提出的问题是：如图1，若点P落在边上，则______°；的值为______；(2)“智慧”小组提出的问题是：如图2，若点P落在正方形的内部，且，写出的值，并就图2的情形说明理由；(3)“创新”小组突发奇想，将提出的问题迁移到平面直角坐标系中，使得边BC在x轴上，点B与原点O重合，如图3．若，当点P在第一、三象限的角平分线上时，直接写出点P的坐标．51．（2025·河南信阳·三模）综合探究在矩形中，为其对角线，，点为边上不与端点重合的一动点，连接，将沿着翻折得对应．(1)若，如图1，当点落在对角线上时，的度数是；、、的数量关系是；(2)若①如图2，当点落在对角线上时，写出、、之间的数量关系，并说明理由；②过点作，分别交、于，两点，若，当点为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．52．（2025·河南·模拟预测）综合与实践【回归教材】通过对教材的学习，小明学习到这样一个知识：如图①，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，正方形绕点旋转的过程中，边，分别交正方形的边，于点，，在旋转过程中，两个正方形重叠的面积（阴影部分）是一个正方形面积的．【提出问题】（1）①请证明上述结论；②通过观察，小明发现线段，，之间存在一定的数量关系，请写出该关系并说明理由；【拓展迁移】（2）如图②，在等边中，为的中点，绕点旋转，且，交线段于点，交线段于点，请判断此时线段，，的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图③，在等腰中，，，为上一点，的边交于点，边交于点，且，连接，若，，求的长．53．（2025·河南周口·三模）综合与实践学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动．勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．（1）任务1：初步探究．求证：．创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．（2）任务2：猜想与验证．猜想，之间的数量关系，并加以证明．开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，直线与直线交于点，直线与直线交于点．（3）任务3：求两线段的比值．过点作于点，若，请直接写出的值．54．（2025·河南周口·二模）综合与实践综合实践课上，同学们探究“特殊四边形背景下的旋转问题”．问题情境：为四边形的边上一点(不与端点重合)，作射线，并将射线绕点在平面内旋转，记旋转角为α．，．(1)当旋转后的射线交射线于点时．①如图1，四边形为正方形，则；、、之间的数量关系是；②如图2，四边形为矩形，设求DF的长；(用含m、n、a的式子表示)(2)如图3，四边形为菱形，，，，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在射线或射线上时，请直接写出线段的长．55．（2025·河南·模拟预测）如图1，已知矩形分别为中点，连接．(1)_____，与的位置关系为_____；(2)如图2，若把绕点逆时针旋转与之间的数量关系和位置关系是否会发生变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，如图3，直线与交于点，当旋转至时，请直接写出的长．56．（2025·河南商丘·二模）小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展．如图，在矩形中，是边上的一点，连接，将沿翻折，得到．(1)问题解决：当点关于的对称点恰好落在边上时，四边形是________形；(2)问题探究：在（1）的条件下，是边上一定点，连接，作关于的对称线段，连接，射线交射线于点，连接．当点落在边上时，如图①，求的度数；(3)拓展延伸：如图②当点不在边上时，直接写出的值．57．（2025·河南驻马店·三模）在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之间以及角之间的关系进行了进一步探究．【问题发现】（1）如图1，在中，，，为的中点，，则______．【尝试探究】（2）如图2，在中，，，为上一点，，为上一点，连接，作，交于点．请探究的值，并说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出面积的最小值为______，最大值为______．58．（2025·河南·模拟预测）综合与实践【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线．如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长．【特例感知】（1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示）【深入探究】（2）如图3，折线是的折中线．①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”）②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由．（3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长．59