2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列求导运算正确的是(

)A.(sin1)′=cos1 B.(x3)′=3x4 2.已知直线l1：ax+3y−1=0，l2：x−(a−4)y+1=0，且l1⊥lA.6 B.−6 C.1或3 D.−1或−33.圆(x−2)2+(y−2)2=2A.外离 B.相交 C.相切 D.内含4.如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在MN上且满足MP=23MN，若OA=a，OB=b，A.13a+13b+165.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2A.3 B.4 C.5 D.66.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1aA.32 B.12 C.−7.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+aA.0 B.ln2 C.1 D.e8.函数f(x)=sinx+12sin2x+1A.(0,3+424] B.(0,3+4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点P(x0,yA.抛物线C的准线方程为x=−2 B.F的坐标为(4,0)

C.若y0=4，则|PF|=4 10.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1A.AC⊥BE

B.EF/​/平面ABCD

C.三棱锥A−BEF的体积为定值

D.异面直线AE，BF所成的角为定值11.设函数f(x)=x−lnx−1，f(x)+g(x)=2x，正项数列{xn}满足：a1=1，A.f(x)的最小值为0 B.{an}不是单调函数

C.a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点(3,−4)在双曲线C：y2a2−x13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AC和BD相交于点O，已知AC=2，BD=22,O14.高斯被誉为“数学王子”，用他名字定义的函数f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)称为高斯函数.已知在函数g(x)=ln(x+1),x≥0ax(x+2b),x<0的图象上存在四个点A，B，C，D构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则[b]min=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}中，a1=2，an+1=2anan+2．

(1)16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2．

(1)证明：PB//平面DEF；

(2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值．17.(本小题15分)

春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年.在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式，y=ax−3+10(x−6)2其中3<x<6，a是常量.已知销售价格为5元/千克时，每日可销售出该商品11千克．

(1)求实数a的值；

(2)若该商品的成本为3元18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点到其右焦点F(1,0)的最大距离为3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，过点F的直线l与椭圆交于M，N两点(异于A，B)．

(i)若△AMN的面积为15，求直线l的方程；

(ii)19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−a−alnx+1x．

(1)若f(x)≥0，求实数a的值；

(2)证明：参考答案1.D

2.A

3.A

4.D

5.D

6.C

7.B

8.B

9.AC

10.ABC

11.ACD

12.5413.3414.1

15.证明：(1)已知数列{an}中，a1=2，an+1=2anan+2，

则1an+1=an+22an=1an+12，即1an+1−1an=1216.解：(1)证明：题意知E，F分别是BC，CP的中点，所以PB//EF，

因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，所以PB//平面DEF；

(2)由PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，可知AB，AC，AP两两垂直，

则可以A点为坐标原点，以AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12,0,0)，E(12,12,0)，F(0,12,1)，

所以AP=(0,0,2)，DE=(0,12,0)，DF=(−12,12,1)，

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，

则DE⋅n=y217.解：(1)该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式：

y=ax−3+10(x−6)2，其中3<x<6，a是常量，

已知销售价格为5元/千克时，每日可销售出该商品11千克，

则当x=5时，y=11，

所以a2+10=11，

解得a=2；

(2)由(1)知该商品每日的销售量y=2x−3+10(x−6)2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润为：

f(x)=(x−3)[2x−3+10(x−6)2]=2+10(x−3)(x−6)2，3<x<6，

则f′(x)=10[(x−6)2+2(x−3)(x−6)]=30(x−4)(x−6)，

令f′(x)=0，得x=4，

当3<x<4时，f′(x)>0，函数f(x)在(3,4)上单调递增；

当4<x<618.解：(1)由题意可知，c=1，a+c=3，所以a=2．

又b2=a2−c2=4−1=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．

(2)(i)设过点F(1,0)的直线方程为x=my+1，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x24+y23=1x=my+1，得(3m2+4)y2+6my−9=0，

则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=19.解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞)．

∵f(x)≥0，∴xex−a(x+lnx)−1≥0，

令t=x+lnx，t∈R，则et−at−1≥0对任意t∈R恒成立，

令h(x)=ex−x−1，则h′(x)=ex−1．

令h′(x)>0，得x>0；令h′(x)<0，得x<0．

∴函数h(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．

∴h(x)≥h(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立．

当t>0时，a≤et−1t，由et−1t>t+1−1t=1，得a≤1．

当t<0时，a≥et−1t，由et−