2025-2026学年上海市松江区西外外国语学校高一（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市松江区西外外国语学校高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知角α的终边与单位圆的交点为P(−35,−45)A.35 B.−35 C.42.“log2a>log2b”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)是A.−3≤a<0 B.−3≤a≤−2 C.a≤−2 D.a<04.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式(x−3)f(x)>0的解集为(

)A.(−3,0)∪(3,3)

B.(−3,0)∪(0,3)

C.(−∞,−3)∪(0,3)二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知集合A={2,4}，B={2,3,m}，若A⊆B，则m=

．6.不等式x1−x>0的解集是

．7.已知方程x2+3x−1=0的两个根为x1，x2，则18.已知正实数a、b满足a+3b=1，则ab的最大值为

．9.方程2−x+2=43x的解集为

10.函数y=loga(x−1)+2(a>0且a≠1)11.|x−3|+|x−7|≥a对所有实数x恒成立，则a的取值范围是

．12.已知loga3>1，则实数a的取值范围为

．13.用“二分法”求方程x3+x−3=0在区间(0,2)内的实根，第一次应取点x=

进行判断．14.函数f(x)=x2−2ax+1在区间[1,3]上单调，则实数a的取值范围是

15.已知函数f(x)=4x−122x+x3，则关于16.已知a∈R，函数f(x)=ax−2,x<22x−2,x≥2，若对任意实数k，函数g(x)=f(x)−k总有零点，则a的取值范围是

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

求下列方程的解集：

(1)log3(x−1)=log118.(本小题15分)

已知tanα=2，且α为第三象限角．

(Ⅰ)求sinα的值；

(Ⅱ)求sin2α−2sinαcosα+1的值；

(Ⅲ)求f(α)=cos19.(本小题15分)

如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域(由扇形OBC去掉扇形OAD构成)种植花卉，已知OB=20米，OA=x米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为θ弧度．

(1)求θ关于x的函数解析式；

(2)记花卉周围栅栏的长度为y米，试问x取何值时，y的值最小？并求出最小值．20.(本小题17分)

已知函数f(x)=1−a⋅3x3x+1为奇函数．

(1)求a的值；

(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；

(3)已知21.(本小题17分)

已知函数f(x)=m⋅9x−3x+1−m．

(Ⅰ)当m=32时，求f(x)的值域．

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数m的取值范围．

(Ⅲ)若在函数g(x)的定义域内存在x0，使得g(a+x0)+g(a−x0)=2b成立，则称g(x)答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因为角α的终边与单位圆的交点为P(−35,−45)，

则cosα的值为−35．2.【答案】A

【解析】解：当log2a>log2b时，由于函数y=log2x是正实数集上的增函数，故可得a>b，

若a=0，b=−1，显然a>b，但是log2a，log2b没有意义，所以3.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查利用函数单调性求参数，属于中档题．

设g(x)=−x2−ax−5，h(x)=ax，则可知函数g(x)在x≤1时单调递增，函数h(x)【解答】

解：∵函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)是R上的增函数，

设g(x)=−x2−ax−5(x≤1)，h(x)=ax(x>1)，

由分段函数的性质可知，函数g(x)=−x2−ax−5在(−∞,1]单调递增，函数h(x)=4.【答案】A

【解析】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以函数f(x)图象关于原点对称，且f(−3)=−f(3)=0，

由图象可知，要使(x−3)f(x)>0，当x>3时，f(x)>0，得3<x<3；

当x<3时，f(x)<0，得−3<x<0；

当x=3，不等式不成立；

综上，不等式(x−5.【答案】4

【解析】解：因为A⊆B，

所以m=4．

故答案为：4．

利用子集的定义求解．

本题考查集合间关系的应用，属于基础题．6.【答案】(0,1)

【解析】解：不等式x1−x>0，即xx−1<0，即x(x−1)<0．

求得0<x<1，可得不等式的解集为(0,1)．

故答案为：(0,1)．7.【答案】3

【解析】解：因为方程x2+3x−1=0的两个根为x1，x2，

所以x1+x2=−3x1x28.【答案】112【解析】解：正实数a、b满足a+3b=1，则1=a+3b≥23ab，即ab≤112，

当且仅当a=3b=12，即a=12,b=9.【答案】{2【解析】解：因为43x=(22)3x=26x，

所以2−x+2=43x=26x，

又函数y=210.【答案】(2,2)

【解析】解：当x−1=1，即x=2时，y=loga(x−1)+2=0+2=2，

∴函数y=loga(x−1)+2的图象恒过定点(2,2)．

故答案为：(2,2)．11.【答案】{a|a≤4}

【解析】解：因为|x−3|+|x−7|≥|(x−3)−(x−7)|=4，

当且仅当(x−3)(x−7)≤0时等号成立，即3≤x≤7，

故不等式|x−3|+|x−7|≥a对所有实数x恒成，则a≤4．

故答案为：{a|a≤4}．

利用三角不等式求得|x−3|+|x−7|的最小值，根据不等式恒成立的意义即可求得答案．

本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．12.【答案】(1,3)

【解析】解：由loga3>1=logaa，

若a>1，则a<3，

若0<a<1，则a>3，矛盾，舍去；

综上，1<a<3．

故答案为：(1,3)13.【答案】1

【解析】解：根据题意，用“二分法”求方程x3+x−3=0在区间(0,2)内的实根，

第一次应取区间(0,2)的中点，即x=1．

故答案为：1．

由二分法的概念即可求解．14.【答案】{a|a≤1或a≥3}

【解析】解：由f(x)=x2−2ax+1=(x−a)2+1−a2，

函数图象开口向上且对称轴为x=a，

又函数f(x)在区间[1,3]上单调，

当函数f(x)在区间[1,3]上单调递增时，则a≤1，

当函数f(x)在区间[1,3]上单调递减时，则a≥3．

所以a的范围为{a|a≤1或a≥3}．

故答案为：15.【答案】(0,2)

【解析】解：f(x)=4x−122x+x3=4x−14x+x3的定义域为R，

又f(−x)=4−x−14−x+(−x)3=4−x−4x−x3=−f(x)，

所以函数f(x)为R上奇函数，所以f(0)=0，

f(t2−t)+f(−t)<f(0)16.【答案】[3【解析】解：因为对任意实数k，函数g(x)=f(x)−k总有零点，

所以f(x)=k总有根，即f(x)的值域为R，

当x≥2时，y=2x−2单调递增，所以值域为[1,+∞)，

所以x<2时，y=ax−2的值域与[1,+∞)的并集必须为R，

当a<0时，y=ax−2单调递减，值域为(2a−2,+∞)，不符合题意；

当a=0时，y=−2为常值函数，不符合题意，

当a>0时，y=ax−2单调递增，值域为(−∞,2a−2)，只需2a−2≥1，解得a≥32，即a的取值范围是[32,+∞)．

故答案为：[32,+∞)．

由题意可得f(x)的值域为R，当17.【答案】(1){52}【解析】解：(1)因为log3(x−1)=log13(2x+1)+2=log3(92x+1)，

所以有x−1=92x+1x−1>02x+1>0，即2x2−x−10=0x>1x>−12，解得x=52或x=−2(舍去)，

故方程log3(x−1)=log13(2x+1)+2的解集为{52}；

(2)当x<1时，2x+2|x−1|=6可化为2x+21−x=6，整理得(2x)218.【答案】−255

【解析】解：(Ⅰ)因为tanα=2，且α为第三象限角，

所以sin2α+cos2α=1tanα=sinαcosα=2sinα<0,cosα<0，解得sinα=−255cosα=−55，即sinα=−255；

(Ⅱ)(1)可知cosα=−55,sinα=−255，

所以sin2α−2sinαcosα+1=(−255)19.【答案】解：(1)已知OB=20米，OA=x米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为θ弧度，

利用扇形的面积公式可得12θ×202−12θ×x2=100，

所以θ关于x的函数解析式为θ=200400−x2(0<x<20)；

(2)依题意可得弧长AD=xθ，弧长BC=20θ，

所以栅栏的长度【解析】(1)根据扇形的面积公式列方程得出θ关于x的函数解析式；

(2)根据弧长公式求出y关于x的函数表达式，根据均值不等式可得y的最小值．

本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．20.【答案】a=2；

f(x)在R上单调递减，证明如下：

由

得f(x)=1−2⋅3x3x+1=1−3x3x+1，任取x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=1−3x1【解析】(1)因为函数f(x)=1−a⋅3x3x+1为奇函数，定义域为R，

所以f(0)=1−a2=0，即a=2，

检验：当a=2时，f(x)=1−2×3x3x+1=1−3x3x+1，

因为f(−x)=1−3−x3−x+1=3x−11+3x=−f(x)，

所以f(x)是奇函数，

故a=2；

(2)f(x)在R上单调递减，证明如下：

由(1)得f(x)=1−2⋅3x3x+1=1−3x3x+1，任取x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=1−3x13x1+1−21.【答案】解：(Ⅰ)当m=32时，f(x)=32×9x−3x+1−32，

令t=3x，则t>0，y=32t2−3t−32=32(t−1)2−3≥−3，

所以f(x)的值域为[−3,+∞)；

(Ⅱ)令u=3x，x>0，则u>1，y=mu2−3u−m，

因为u=3x在(0,+∞)上单调递增，

所以要使f(x)在(0,+∞)上单调递增，

只需y=mu2−3u−m在(1,+∞)上单调递增，

①当m=0时，y=−3u在(1,+∞)上单调递减，不符合题意；

②当m<0时，y=mu2−3u−m的图象开口向下，对称轴为u=32m<0，不符合题意；