湖南省衡阳市2026届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

湖南省衡阳市2026届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．记等差数列的前n项和为.若，则（）A．7 B．8 C．9 D．102．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人3．函数的图像（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．11 C．38 D．1235．在中，若，则的形状是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定6．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，，成等差数列，，则的周长的取值范围为（）A． B． C． D．7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱8．平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为A． B． C． D．9．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A．3立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈10．一个三棱锥内接于球，且，，则球心到平面的距离是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________12．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．13．如图，在圆心角为，半径为2的扇形AOB中任取一点P，则的概率为________.14．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.16．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则______________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设函数，其中向量，．（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，的面积为，求外接圆半径．18．某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种工资方案：方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；方案二：每月底薪3500元，月销售量不超过300件，没有提成，超过300件的部分每件提成30元．（1）分别写出两种方案中推销员的月工资（单位：元）与月销售产品件数的函数关系式；（2）从该销售公司随机选取一名推销员，对他（或她）过去两年的销售情况进行统计，得到如下统计表：月销售产品件数300400500600700次数24954把频率视为概率，分别求两种方案推销员的月工资超过11090元的概率．19．已知为的三内角，且其对边分别为．且（1）求的值；（2）若，三角形面积，求的值．20．函数.（1）求函数的周期和递增区间；（2）若，求函数的值域.21．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）设，若恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

由可得值，可得可得答案.【详解】解：由，可得，所以，从而，故选D.【点睛】本题主要考察等差数列的性质及等差数列前n项的和，由得出的值是解题的关键.2、B【解析】

根据分层抽样原理求出应抽取的管理人数．【详解】根据分层抽样原理知，应抽取管理人员的人数为：故选：B【点睛】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．3、B【解析】

根据关于点对称,关于直线对称来解题.【详解】解：令,得,所以对称点为.当,为,故B正确；令,则对称轴为,因此直线和均不是函数的对称轴.故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性问题.正弦函数根据关于点对称,关于直线对称.4、B【解析】试题分析：通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．解；经过第一次循环得到a=12+2=3经过第一次循环得到a=32+2=11不满足判断框的条件，执行输出11故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构常采用将前几次循环的结果写出找规律．5、A【解析】

由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】因为在中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，所以为钝角三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6、A【解析】

依题意求出，由正弦定理可得，再根据角的范围，可求出的范围，即可求得的周长的取值范围．【详解】依题可知，，由，可得，所以，即，而．∴，即．故的周长的取值范围为．故选：A．【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差的正弦公式的应用，以及三角函数的值域求法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．7、B【解析】试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综合可判断为三棱柱．考点：由三视图还原几何体.8、A【解析】

试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角.延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选A.【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.9、B【解析】几何体如图：体积为，选B.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10、D【解析】由题意可得三棱锥的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体共顶点的三条面对角线的长分别为，设球的半径为，则有，在中，由余弦定理得，再由正弦定理得为外接圆的半径），则，因此球心到平面的距离，故选D.点睛：本题主要考查了球的组合体问题，本题的解答中采用割补法，考虑到三棱锥的三对对棱相等，所以可得三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，求出求出球的半径，进而求解距离，其中正确认识组合体的特征和恰当补形时解答的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】

根据三视图还原几何体，为一个底面是直角梯形的四棱锥，根据三视图的数据，分别求出其底面积和高，求出体积，得到答案.【详解】由三视图还原几何体如图所示，几何体是一个底面是直角梯形的四棱锥，由三视图可知，其底面积为，高所以几何体的体积为.故答案为.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求四棱锥的体积，属于简单题.12、【解析】

先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．【详解】向量，，，，若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，即，且，求得，且．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．13、【解析】

根据题意，建立坐标系，求出圆心角扇形区域的面积，进而设，由数量积的计算公式可得满足的区域，求出其面积，代入几何概率的计算公式即可求解．【详解】根据题意，建立如图的坐标系，则则扇形的面积为设若，则有，即；则满足的区域为如图的阴影区域，直线与弧的交点为，易得的坐标为，则阴影区域的面积为故的概率故答案为：【点睛】本题考查几何概型，涉及数量积的计算，属于综合题．14、或【解析】

根据题意可得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列方程解出即可.【详解】圆，即，圆的圆心为，半径为，∵直线与圆交于两点且为等边三角形，∴，故圆心到直线的距离为，即，解得或，故答案为或.【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．15、【解析】

试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，边长是2，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且这条侧棱长是2，这样在所有的棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱是最长的长度是，考点：三视图点评：本题考查由三视图还原几何体，所给的是一个典型的四棱锥，注意观察三视图，看出四棱锥的一条侧棱与底面垂直．16、1028【解析】图乙中第行有个数，第行最后的一个数为，前行共有个数，由知出现在第45行，第45行第一个数为1937，第个数为2011，所以．[来三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），的单调递减区间是；（2）．【解析】试题分析：（1）用坐标表示向量条件，代入函数解析式中，运用向量的坐标运算法则求出函数解析式并应用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简函数解析式，由三角函数的性质可求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）将条件代入函数解析式可求出角，由三角形面积公式求出边，再由余弦定理求出边，再由正弦定理可求外接圆半径．试题解析：（1）由题意得：．所以，函数的最小正周期为，由得函数的单调递减区间是（2），解得，又的面积为．得．再由余弦定理，解得，即△为直角三角形．考点：1．向量坐标运算；2．三角函数图象与性质；3．正弦定理与余弦定理．18、（1）；（2）方案一概率为,方案二概率为.【解析】

（1）利用一次函数和分段函数分别表示方案一、方案二的月工资与的关系式；（2）分别计算方案一、方案二的推销员的月工资超过11090元的概率值．【详解】解：（1）方案一：，；方案二：月工资为,所以.（2）方案一中推销员的月工资超过11090元，则，解得，所以方案一中推销员的月工资超过11090元的概率为；方案二中推销员的月工资超过11090元，则，解得，所以方案二中推销员的月工资超过11090元的概率为．【点睛】本题考查了分段函数与应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．19、(1)；(2)【解析】

（1）利用正弦定理化简，并用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，求得，由此求得的大小.（2）利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理列方程，化简求得的值.【详解】解：（1），得：∵∴，即∵，∴，∵，∴（2）由（1）有，又由余弦定理得：又，，所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中档题.20、（1）周期为，单调递增区间为；（2）.【解析】

（1）利用二倍角降幂公式、两角差的正弦公式将函数的解析式化简为，然后利用周期公式可计算出函数的周期，解不等式即可得出函数的单调递增区间；（2）由计算出的取值范围，可得出的范围，进而可得出函数的值域.【详解】（1），所以，函数的周期为，由，解得，因此，函数的单调递增区间为；（2）当时，，则，，因此，函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查正弦型三角函数周期、单调区间以及值域的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将解析式进行化简