2025-2026学年NT20名校联合体高三年级1月质检考试数学试题（含答案）

/NT20名校联合体高三年级1月质检考试数学（一）考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数的虚部为（）A． B． C． D．2．样本数据3，8，4，6，27，9，1，5的第75百分位数为（）A.7.5 B.8 C.8.5 D.93．已知向量与，若，则（）A.4 B．-4 C.1 D．-14．已知数列是等比数列，若，则（）A． B．-1 C． D.25．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（）A． B． C． D．6．已知直线，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，，若方程在区间上恰有四个不同的实数根，则（）A.2 B.4 C.8 D.68．如图，几何体中，是正三角形，，平面分别为的中点，直线与平交于点．则的值为（）A.2 B.3 C． D.4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题不正确的有（）A．斜二测画法不会改变边长比例B．一条直线和一个点确定一个平面C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面10．已知函数，则（）A．在上单调递增B．的极大值为0C．有三个零点D．曲线在处的切线方程为11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，的内切圆圆心为，过作，垂足为为坐标原点，则（）A．双曲线的离心率为 B．C．圆心的横坐标为1 D．为双曲线的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知直线的倾斜角为，则___________．13．已知点，点是抛物线上的一点，点是圆．上的一点，则的最小值为___________．14．在Rt中，为空间中的一个点，，则三棱锥体积的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为边上一点，且，求．16．（本小题满分15分）已知，两点．（1）求以线段为直径的圆的标准方程；（2）若动点满足为的中点，求点的轨迹方程.17．（本小题满分15分）已知椭圆的上焦点为，焦距为2，椭圆的上顶点到的距离与它到直线的距离之比为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点（0，4）且斜率存在的直线与椭圆交于两点，求的值．18．（本小题满分17分）如图，斜三棱柱的体积为为上一点，平面为锐角．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．19．（本小题满分17分）将平面内任意向量绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到向量．已知双曲线，将双曲线绕点逆时针旋转后得到曲线．（1）求的方程；（2）点在曲线上，曲线在点处的切线为直线．（i）若与两坐标轴分别交于两点，求的面积；（ii）若两点都在曲线上（异于点），且满足，求证：．NT20名校联合体高三年级1月质检考试数学（一）答案1．【正确答案】B，所以共轭复数的虚部为，故选B．2．【正确答案】C数据1，3，4，5，6，8，9，27共8个，则，因此第75百分位数为，故选C．3．【正确答案】D，因为，则，解得．故选D．4．【正确答案】C由等比数列的性质得，解得．故选C．5．【正确答案】C因为椭圆的离心率为，所以，即，所以该椭圆的焦距为．故选C．6．【正确答案】A，且，解得或．由可得；而还可能得，由此可知：“”是“”的充分不必要条件，故选A．7．【正确答案】D取，得，即为奇函数；取，得，所以，所以，所以的周期为．又为奇函数，所以的图象的一个对称中心为，故图象的对称轴为直线，结合上面结论可得直线也是图象的对称轴，又方程在区间上恰有四个不同的实数根，则．8．【正确答案】D因为分别为的中点，所以，延长至点，使得，连接，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以．连接，交于点，过点作的垂线，垂足为，则，又为的中点，所以为的中点，所以，又．由易知，，即，解得，所以．故选D．9．【正确答案】ABC选项A，斜二测画法可能会改变边长比例，A选项错误；选项B，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，故选项B错误；选项C，过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积是否最大，取决于轴截面三角形的顶角是否不大于90°，故C错误；选项D，用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确；故选ABC．10．【正确答案】AB函数，由得或，所以的单调增区间为．A选项正确；当时，有极大值B选项正确；当时，有极小值，又，所以的图象与轴有两个交点，C选项错误；，所以切线方程为，即D选项错误．故选AB.11．【正确答案】ABD对于A选项：由题知，所以双曲线的离心率为．A选项正确；对于B选项：如图1所示，设圆与的三边分别相切于点，延长交于点，连接，则，，因此B选项正确；对于C选项：如图1所示，．解得，故圆心的横坐标为2，故C选项错误；D选项，如图2，设双曲线在点处的切线为，作，由光学性质可以知道，又，所以，所以为的平分线，故三点共线．故D选项正确．故选ABD．12．【正确答案】由题意可得直线的斜率为，所以，解得．13．【正确答案】6由题意知是抛物线的焦点，过点作准线的垂线，垂足为，记点到抛物线的准线的距离为，所以，当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，等号成立，所以的最小值为6．14．【正确答案】因为，所以在过点且与垂直的平面内，设平面，过作的垂线，垂足为，则，且，因为，所以点在以为底面圆心的圆周上，如图平面平面，且平面平面，由图可知到底面的最大距离为，所以三棱锥体积的最大值为15．（1）因为，所以由正弦定理得，，（2）因为，所以，因为，所以即，解得.16．（1）因为为直径，则的中点为，所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为（2）设，因为，是线段的中点，由中点坐标公式得，所以，（1）知，点的轨迹方程为，将代入得，即.所以动点的轨迹方程为．（除两点）.17．（1）因为焦距为2，所以，即，又椭圆上顶点到点的距离与到直线的距离之比为，上顶点，则，解得，即，所以椭圆的标准方程为；（2）由题知，设直线，联立，得，则，解得或，由韦达定理可得，所以所以为定值0．18．（1）证明：连接交于点，在斜三棱柱中，四边形为平行四边形，为的中点，连接，平面，平面，平面平面，，又在中，为的中点，为中点，又，，又，且平面，平面.（2），所以斜三棱柱的高为1．又平面平面平面平面.过作于，则平面，即为斜三棱柱的高，，.以为原点，所在直线分别为轴，轴，在平面内过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则