2025-2026学年内蒙古赤峰市高三上学期第一次统一检测数学试题 附解析

/内蒙古赤峰市2026届高三上学期第一次统一检测数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．3．复数，则（

）A．1 B． C． D．4．向量为满足：在方向上的投影向量为，则（

）A． B． C．2 D．45．双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线，直线与双曲线在第一象限交于，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．某人去草原旅游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷.遮阳篷是一个直角边长为的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成角，欲使阴影面面积达到最大，则遮阳篷与地面所成的角大小为（

）A． B． C． D．7．在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．8．设函数，若，则a的最小值为（

）A． B． C．2 D．1二、多选题9．已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则满足上述条件的椭圆，其方程可以为（

）A． B．C． D．10．近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动．某高中采用分层抽样的方式从该校的高一､二､三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已知该校高一､二､三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的10名同学的成绩（满分100分）为：，则（

）A．中位数为90 B．分位数为92C．方差为58 D．代表队中高三的同学有4人11．如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中正确的是（

）A．若是曲线上一点，且在第一象限，则B．当时，|OP|的最大值是（为坐标原点）C．曲线C的方程是：D．面积的最大值是.三、填空题12．已知正实数满足：，则满足上述条件的自然数是.13．ChatGPT（高度智能化的聊天机器人）是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某中学生小王周末去AI自习室想挑战一下ChatGPT.小王和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答.已知在这10个问题中，小王能正确作答其中的9个，则小王能全部回答正确的概率是.14．如图是抽象的城市路网，其中线段|AB|是欧式空间中定义的两点最短距离.但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过.在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，定义：，若，，则，又称“曼哈顿距离”.设,为“曼哈顿扩张距离”，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如.若恒成立，则实数的取值范围是.四、解答题15．目前，国际上常用身体质量指数()来衡量人体胖瘦程度.我国的值标准如下.BMI值(0，18.5)等级偏瘦正常偏胖肥胖某单位采用分层随机抽样的方法抽取了50名男员工，30名女员工，其中30名女员工的值如下.编号12345678910值21.618.416.516.124.519.421.321.626.630.6编号11121314151617181920值21.818.726.620.828.827.120.932.222.417.9编号21222324252627282930值26.219.822.329.730.324.518.823.328.218.4(1)以频率估计概率，若在该单位任选3名女员工，求这3人中至少有1人的值处于肥胖等级的概率；(2)若被抽中的50名男员工中有14人的值处于肥胖等级，根据这80人的值，将列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该单位员工的性别与肥胖有关?肥胖不肥胖总计女员工30男员工50总计80附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82816．已知数列满足.(1)求数列的通项公式及前n项和；(2)记[x]表示不超过的最大整数，若，证明.17．已知函数(1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值；(2)讨论的单调性.18．如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程；(2)斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，若，求的范围.19．如图1，平面四边形ABCD中，是等边三角形，且是AD的中点.沿BD将翻折，折成三棱锥，如图2.(1)当三棱锥的体积最大时，证明：；(2)若棱CD上存在一点，使得平面ABC，且，求实数的值；(3)当平面平面BDC时，求三棱锥的外接球的表面积.

答案1．B【详解】，所以.故选：B.2．D【详解】，所以最小正周期为.故选：D.3．A【详解】，所以，所以.故选：A.4．C【详解】因为在方向上的投影向量为，所以，，，.故选：C.5．C【详解】因为，而的倾斜角为，所以三角形为直角三角形，所以，，由双曲线的定义可得，所以离心率为.故选：C.6．B【详解】如图，过点作交于，连接，则可得,因此就是遮阳篷与地面所成的角，因为，所以求遮阴影面面积最大，即求最大，已知，，设，根据正弦定理，则，当时，阴影面面积最大，此时故选：B.7．A【详解】因，则，即，由正弦定理可得，，即为直角三角形，则的面积为，即，则，等号成立时，故周长的最小值为.故选：A8．B【详解】函数定义域为，而，，，要使，则二次函数，在上，在上，所以为该二次函数的一个零点，易得，则，且开口向上，所以，只需，故a的最小值为.故选：B9．AD【详解】双曲线的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以椭圆的离心率为，所以，故A正确、B错误；选项C化为一般方程可得，错误；选项D化为一般方程可得，正确.故选：AD.10．AC【详解】将10名同学的成绩从小到大排列为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100，对于A，中位数为，A正确；对于B，由，得分位数为，B错误；对于C，平均数为，方差，C正确；对于D，由分层抽样，得高三年级的同学有人，D错误.故选：AC11．BCD【详解】由题意，得曲线的方程为，对于A，令，则，即，解得，此时，不满足，故A错误，对于B，时，，因为，所以，即①在中，由余弦定理得②所以，，所以，所以，即的最大值为，故B正确对于C，将双纽线的方程，两边平方得，化简可得，故C正确；对于D，由可得，令，则，因为该方程有实数根，故，解得，故，，故D正确，故选：BCD.12．2，3【详解】由，得，若，不符合题意；若，则，解得，∴又，；若，则，无解综上，；故2，313．/0.1【详解】设小王答对的题数为，则，故答案为.14．【详解】若恒成立，则当时，；当时，；当时，；综上，实数的取值范围是故15．(1)(2)列联表见解析，认为该单位员工的性别与肥胖之间无关联【详解】（1）由表格数据可知30名女员工中，BMI值处于肥胖等级的有6人，则估计该单位女员工的BMI值处于肥胖等级的概率.在该单位任选3名女员工，则这3人中至少有1人的值处于肥胖等级的概率（2）列联表如下:肥胖不肥胖总计女员工62430男员工143650总计206080零假设为:该单位员工的性别与肥胖之间无关联.根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为该单位员工的性别与肥胖之间无关联.16．(1)，(2)证明见解析【详解】（1）由题知：

数列是以为首项，为公比的等比数列

，

两式作差得：

（2），是递减数列，

当时，；当时，；当时，；

当时，

当时，

当时，

综上所述17．(1)，(2)答案见解析【详解】（1），则．曲线在点处的切线方程为，则，解得，由，解得，（2），函数定义域为，则，令，解得或，若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增，若，则在上恒成立，单调递增，若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增，综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．18．(1)(2)【详解】（1）由题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，所以笔尖留下的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，因为，，且，可得，由，可得点的横坐标为，又由抛物线的准线方程为，则，解得，所以曲线的轨迹方程为.（2）假设存在，使得，设，直线的方程为，联立方程组，整理得，且，则，则，可得，由，可得，即，所以，令，则，所以，且，即，解得或，所以存在，使得成立.19．(1)证明见解析；(2)2；(3).【详解】（1）设到平面的距离为，且，，，

故要使三棱锥的体积最大，则最大，当的投影在棱上时，最大，

且，此时平面平面，，

平面，平面平面，