2025-2026学年上海徐汇高三一模数学试题 附答案

/徐汇区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.设复数（其中为虚数单位），则________.2.设集合，，则.__________.3.函数的值域为__________.4.若幂函数的图像经过点，则该幂函数的表达式为__________.5.设向量，则在上的数量投影为__________.6.相关部门在上海市随机调查了10户居民六月份的用电量（单位：kW·h），从小到大排列依次为31、74、78、99、101、107、127、131、208、223，则这10户居民用电量的第75百分位数为__________.7.已知，则__________.8.一个底面积为1的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正四棱柱的高为__________.9.从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的选法有_________种.10.设，若实数满足且，则的最小值为__________.11.某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里.为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号.当最大时，__________.（结果精确到0.01）12.已知数列满足：，对任意的正整数均有，若存在正整数，使得所有数列均满足，则的最大值为___________.二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）13.已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（）条件.A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要14.用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本13株，测得麦穗长度（单位：cm），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如右图所示.用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（）.（结果精确到0.1cm）A.9.9cm B.9.8cm C.9.7cm D.9.6cm15.设为椭圆上一动点，分别为圆和圆上的动点，则不可能为（）.A.7.5 B.9.5 C.11.5 D.13.516.已知，集合（为维向量）.若，其中，.定义，设满足的的个数为.关于下列两个命题的判断：①当时，则；②当，是正整数时，则．说法正确的是（）.A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在中，角、、的对边分别为、、，已知，．（1）若，求的面积；（2）若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径．18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取100份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求实数的值；若年级准备选取80分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有1000名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数；（2）王老师抽取了10名参加竞赛的学生，他们的分数为：．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和86这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知是的直径，点是上异于、的一点．设过点的直线垂直于所在的平面，且．（1）若为中点，为线段的中点，为线段上一点，且平面．求证：为线段中点，并求三棱锥的体积；（2）记二面角的平面角为，求的最小值，并指出其取得最小值时点的位置．20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知抛物线的焦点为，准线为．（1）若点在抛物线上，求所在直线的斜率；（2）若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值；（3）若点到准线的距离为2，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线，且分别与交于，两点和，两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”．（1）设，．分别判断、是否为“函数”，并说明理由；（2）已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：；（3）已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数．徐汇区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模2025.12一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）13.B14.B15.D16.C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在中，角、、的对边分别为、、，已知，．（1）若，求的面积；（2）若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径．【正确答案】（1）（2）（1）因为，所以.结合，解得.所以 （2）由余弦定理，，结合，所以. 由，得，所以. 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取100份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求实数的值；若年级准备选取80分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有1000名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数；（2）王老师抽取了10名参加竞赛的学生，他们的分数为：．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和86这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．【正确答案】（1）300人（2）平均数为91，方差为25．（1）由题意知，，所以．该校高一年级参加下一轮竞赛的人数估计为人.（2）因为，所以，所以，所以．剔除其中的96和86这2个分数，设剩余8个分数为，平均数与标准差分别为，则剩余8个分数的平均数，方差．所以剩余8个分数的平均数为，方差为．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知是的直径，点是上异于、的一点．设过点的直线垂直于所在的平面，且．（1）若为中点，为线段的中点，为线段上一点，且平面．求证：为线段中点，并求三棱锥的体积；（2）记二面角的平面角为，求的最小值，并指出其取得最小值时点的位置．【正确答案】（1）证明见解析，（2）当为中点时，所以的最小值为．（1）由平面、平面、平面平面，结合线面平行的性质定理，有，因为是中点，所以为中位线，所以为中点．因为为中点且直径，所以，进而．因为过点得直线垂直于所在的平面，所以是四面体以为底面的高，所以．（2）如图，作于，联结．因为平面，所以为在平面上的投影．由三垂线定理得，．所以即二面角的平面角．因为平面，平面，所以，所以．于是有，且当为中点时，所以的最小值为．20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知抛物线的焦点为，准线为．（1）若点在抛物线上，求所在直线的斜率；（2）若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值；（3）若点到准线的距离为2，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线，且分别与交于，两点和，两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）（2）（3）存在（1）将点代入抛物线，得，解得，所以焦点的坐标为，直线的斜率为．（2）设点，圆的切线方程为，即，故点到直线的距离，即，设直线的斜率分别为，则，把代入，得，则，故当时，取得最小值为．（3）法一，设点，，，显然．将方程与抛物线方程联立，消去并化简可得：，又，，则由韦达定理可得，同理可得．则．又与圆相切，则到圆心的距离为1，则，同理有，则，为方程的两根．由韦达定理可得：，．则．注意到当时，切线中有一条与轴平行，不合题意，则．要使为定值，则，又，则．故存在圆，使得当点运动时，为定值．法二：设点，若直线垂直于y轴，则与抛物线只有一个交点，不符题意，故可设，，，将方程与抛物线方程联立，消去并化简可得：，又，，则由韦达定理可得，同理可得，则，又与圆相切，则到圆心的距离为1，则，整理得，同理有，则为方程的两根，由韦达定理可得，，，则．注意到当时，切线中有一条与轴平行，不合题意，则．要使为定值，则，又，则．故存在圆，使得当点运动时，为定值．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”．（1）设，．分别判断、是否为“函数”，并说明理由；（2）已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：；（3）已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上