2025-2026学年上海崇明高三一模数学（含答案）

/崇明区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.已知集合，集合，则______．2.若，则______．3.不等式的解为______．4.函数的最小正周期是，则______．5.抛物线的准线方程是______．6.已知等差数列首项为，公差，则其前6项和______．7.在的二项展开式中，常数项的值为______．8.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的体积为______．9.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则______．10.7名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙2名学生要站在一起，则不同的排法有______种．11.在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是______．12.设．数列满足下列条件：，，，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）13.已知事件、相互独立，事件发生的概率为，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（）A. B. C. D.014.已知，且，（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是（）A.， B.，C.， D.，15.已知、为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为N．若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（）A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线16.已知点，．点在曲线上．记，则存在函数，对曲线上的任意一点都有（）A. B. C. D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）在中，角的对边分别为，．（1）求；（2）若的面积为，边上的高为1，求的周长．18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）如图，在直棱柱中，，，，是的中点，点是棱上一点．（1）证明：；（2）当异面直线，所成的角为时，求三棱锥的体积．19.（本题满分14分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据．（1）分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数；（2）从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率；（3）记甲组志愿服务时长的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的志愿服务时长为27，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；若的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；通过计算比较、、的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象．20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）已知椭圆，、分别是的左右焦点．点、、、均在上，且点是第一象限点．直线经过点，直线、均经过点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，直线的方程；（3）求证：为定值．21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）已知函数，，其导函数是．对于任意，记曲线在点处的切线方程为．定义集合．（1）若，求集合；（2）若定义域且函数是偶函数，证明：若则；（3）设，若集合，求实数的取值范围．崇明区2025-2026学年第一学期高三年级数学一模一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.2. 3. 4.5. 6.7.8. 9. 10. 11. 12.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）13.B14.A15.C16.B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）在中，角的对边分别为，．（1）求；（2）若的面积为，边上的高为1，求的周长．【正确答案】（1）（2）（1）因为，由正弦定理，得，所以3分因为在中，，所以5分又因为，所以7分（2）因为的面积为，所以，得.由，即，所以3分由余弦定理，得，5分所以，所以，所以的周长为7分18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）如图，在直棱柱中，，，，是的中点，点是棱上一点．（1）证明：；（2）当异面直线，所成的角为时，求三棱锥的体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）（1）证明:因为AB=AC,D是BC中点,所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,而AD⊂平面ABC,所以AD⊥BB1.②由①②,得AD⊥平面BB1C1C5分因为C1E⊂平面BB1C1C,所以AD⊥C1E7分（2）因为AC∥A1C1,所以∠A1C1E是异面直线AC,C1E所成的角（或补角）.由题意知∠A1C1E=60°2分因为A1C1⊥A1B1，AA1⊥A1C1,所以A1C1⊥平面A1ABB14分于是A1C1⊥A1E.故C1E==2.又B1C1==2,所以B1E==2从而=·A1C1=××2××=7分19.（本题满分14分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据．（1）分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数；（2）从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率；（3）记甲组志愿服务时长的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的志愿服务时长为27，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；若的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；通过计算比较、、的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象．【正确答案】（1）（2）（3）、、，数据波动越大，方差越大，反之越小（1）甲组共9人，乙组共10人，，所以甲组第70百分位数为32，乙组第70百分位数为4分（2）甲组、乙组中各有3人服务时长超过30小时，所以恰有1人的服务时长超过30小时的概率5分（3），同理，3分由于甲组均值为27，方差反映了数据的离散程度，当增加数据27（原样本均值），数据相对更集中，方差变小；当增加数据20，数据更加分散，方差变大5分20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）已知椭圆，、分别是的左右焦点．点、、、均在上，且点是第一象限点．直线经过点，直线、均经过点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，直线的方程；（3）求证：为定值．【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析，定值为（1），所以4分（2）由题意，，，设则，所以2分故，4分故直线的方程是6分（3）设则直线方程为，其中由，得：故所以，同理：，4分故6分设直线方程为，则所以，为定值8分21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）已知函数，，其导函数是．对于任意，记曲线在点处的切线方程为．定义集合．（1）若，求集合；（2）若定义域且函数是偶函数，证明：若则；（3）设，若集合，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）（1），所以，2分由，得