【《函数域上的gcd、lcm和函数的均值概述》1400字】

函数域上的gcd、lcm和函数的均值概述目录TOC\o"1-3"\h\u4913函数域上的gcd、lcm和函数的均值概述 1216971.1符号说明 150361.2gcd和函数介绍 2160681.3gcd和函数的定理及证明 2281301.4归纳一般化的gcd和函数 5224101.5lcm和函数介绍 6238001.6lcm和函数的定理及证明 61.1符号说明：有限域上的多项式环；：所有首项系数为1的多项式集合，且为首项系数为1次数为n的多项式集合；：是首项系数为1的多项式；；：黎曼Zeta函数；：函数域A上的黎曼Zeta函数；：多项式h和f的最大公因式；：整数i和n的最大公约数；：多项式h和f的最小公倍式；：整数i和n的最小公倍数；：欧拉函数.1.2gcd和函数介绍本节研究了函数域上的最大公因式和函数：.这个算数函数的背景是来自有理数域上的最大公约数和函数：，因为这个函数是可乘的，能写成在素数方幂值的乘积形式，对应的Dirichlet级数在除去黎曼Zeta函数零点和的极点外的复平面内解析.对于有理数域上的最大公约数和函数，我们有下面的结果：，是可乘函数.的和函数的渐近公式[18]为，3-(1)对任意成立，其中是欧拉常数，是Dirichlet除数问题的参数.设最大公约数gcd的倒数和函数为，它也是可乘函数.的和函数的渐近公式[8]为.3-(2)接下来，我们可以研究函数域上最大公因式和最小公倍数的和函数的均值问题，因为多项式有其特殊性质，可以求导，所以我们可以避开黎曼Zeta函数的零点，使得到的结果没有余项.1.3gcd和函数的定理及证明定理1.1.1的卷积表达式为，其中.证明：由定义知，令e是h和f的最大公因式，同样是首项系数为1的多项式，即.当且仅当和时有，因此.□定理2.1.2的均值为.3-(3)证明：令为的Dirichlet级数，当时，由定理2.1可得：，又因为，我们有因此.3-(4)由定义知，3-(5)由3-(4)和3-(5)得3-(3).□定义1.1.3gcd的倒数和函数为.令，可以得出的卷积公式，其中.定理1.1.4的均值为.3-(6)证明：令，则，利用3-(4)的方法可得：.3-(7)由定义知：，3-(8)由3-(7)和3-(8)可得3-(6).□下面我们通过从函数域到有理数域的字典对应，来对比在函数域上和有理数域上的结果：，，.则定理2.1.2中公式3-(3)的字典对应为，与公式3-(1)对比可得，函数域上gcd和函数的均值的主项与有理数域上的一致.同样地，定理1.1.4中公式3-(6)的字典对应为，与公式3-(2)对比可得，函数域上gcd倒数和函数的均值的主项与有理数域上的一致.1.4归纳一般化的gcd和函数函数域上的最大公因式和函数可以归纳到对任意实数的幂次来研究，如下：，同样我们将上式写成Dirichlet卷积形式，其中.定理1.4.1的均值为.3-(9)证明：由定义得，，3-(10)，3-(11)由3-(10)和3-(1)可得3-(9).□对于高维的gcd和函数的推广结果可参考[20][21].1.5lcm和函数介绍同时，我们还研究了最小公倍式lcm和函数，这个函数来自有理数域上的最小公倍数.对于有理数域上的最小公倍数和函数我们有以下结果：，是不可乘函数.算数函数的和函数的渐近公式为，3-(12)参见[19，Th.6.3].定义lcm倒数和函数，它也是不可乘函数.算数函数的和函数的渐近公式[8]为，3-(13)其中是一个明确的常数.1.6lcm和函数的定理及证明定理1.6.1的和函数的公式为.3-(14)证明：由定义可知，，令，则.令，则.接下来我们计算，令，则，对分类，则有，所以.令，，则，.令，，则有.因此函数的Dirichlet级数为.又因为，.参见[8.Chap1，Chap2].所以，又因为，可得.□令，可验证是不可乘函数.定理1.6.2的和函数的公式为.3-(15)证明：由定义可知，，令，则，令，则有.令，，则有.接下来我们计算，令，则，又因为，所以，其中.因此的Dirichlet级数为，接下来分别计算三个级数，，，因此可得，又因为，对比系数可得.□下面我们再次利用函数域到有理数域的字典对应，来对比函数域上和有理数域上