初中数学函数专题复习与练习卷

初中数学函数专题复习与练习卷函数是初中数学的核心内容，也是进一步学习高中数学的重要基础。它不仅抽象，而且应用广泛，贯穿于代数、几何等多个领域。这份复习与练习卷旨在帮助同学们系统梳理函数的基本知识，巩固解题技能，提升综合运用能力。希望通过本次专题复习，大家能够对函数有更清晰的认识，从容应对各类函数问题。一、知识梳理与回顾（一）函数的基本概念在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。函数的表示方法通常有三种：解析法（用数学式子表示函数关系）、列表法（通过表格给出自变量与函数值的对应关系）和图像法（用图像直观展示函数关系）。理解函数的概念，关键在于把握“两个变量”和“唯一对应”这两个核心。（二）一次函数1.定义：形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx（k≠0），叫做正比例函数，它是一次函数的特殊形式。2.图像：一次函数的图像是一条直线。画一次函数图像时，通常选取图像与坐标轴的两个交点（与x轴交点(-b/k,0)，与y轴交点(0,b)），再过这两点画直线。正比例函数的图像是经过原点(0,0)的一条直线。3.性质：*k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性：*当k>0时，直线从左到右上升，y随x的增大而增大。*当k<0时，直线从左到右下降，y随x的增大而减小。*b的符号决定直线与y轴交点的位置：*当b>0时，直线与y轴交于正半轴。*当b=0时，直线经过原点。*当b<0时，直线与y轴交于负半轴。*k的绝对值大小决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡。4.表达式的确定：通常采用待定系数法。根据题目给出的条件（如函数图像经过的点、与坐标轴的交点等），列出关于k、b的方程（组），解出k、b的值，即可得到函数表达式。（三）反比例函数1.定义：形如y=k/x（k是常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可以表示为y=kx⁻¹的形式。2.图像：反比例函数的图像是双曲线。它有两个分支，分别位于两个象限。3.性质：*k的符号决定双曲线的位置和函数的增减性：*当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。*当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。*双曲线的两支都无限接近于x轴和y轴，但永远不会与坐标轴相交。*反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点；也是轴对称图形，对称轴是直线y=x和y=-x。4.表达式的确定：同样采用待定系数法。只要知道函数图像上一个点的坐标，代入y=k/x即可求出k的值，从而确定表达式。（四）二次函数（初中阶段基础内容）1.定义：形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。2.图像：二次函数的图像是一条抛物线。3.性质（初步）：*a的符号决定抛物线的开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。*抛物线是轴对称图形，其对称轴为直线x=-b/(2a)。*抛物线的顶点坐标是(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))，顶点是抛物线的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时）。*（初中阶段对二次函数的要求相对基础，重点掌握以上几点及简单应用）二、解题方法与技巧归纳1.函数图像的识别与应用：*熟悉各种函数图像的基本特征（直线、双曲线、抛物线）。*能根据函数表达式中系数（k,b,a等）的符号判断图像的位置和增减性。*反之，能根据函数图像的位置和特征判断系数的符号。*学会利用函数图像比较函数值的大小，求解不等式等。2.函数表达式的求解：*待定系数法是核心方法。关键在于根据已知条件（如图像上的点、与坐标轴交点、顶点坐标等）设出合适的函数表达式形式，列出方程或方程组求解。*一次函数需要两个独立条件确定k和b；反比例函数需要一个条件确定k；二次函数一般需要三个条件确定a,b,c（特殊形式如顶点式、交点式可减少条件个数）。3.函数与方程、不等式的联系：*一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解。*对于一次函数y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂，它们图像交点的坐标就是方程组{y=k₁x+b₁;y=k₂x+b₂}的解。*函数值的大小比较可以转化为解不等式。例如，对于一次函数y=kx+b，当y>0时，对应的x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集。4.函数应用题的解题步骤：*审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。*建模：将实际问题中的数量关系抽象为数学模型，即确定函数关系，设出函数表达式。*求解：运用函数的知识和方法求解数学模型，得到数学结论。*检验与作答：将数学结论回归到实际问题中进行检验，看是否符合实际意义，然后规范作答。三、专题练习（一）选择题（每题只有一个正确选项）1.下列函数中，是一次函数的是（）A.y=1/xB.y=x²+1C.y=-2x+3D.y=√x2.若反比例函数y=k/x的图像经过点(2,-3)，则k的值为（）A.-6B.6C.-1/6D.1/63.一次函数y=-2x+4的图像不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.对于二次函数y=2x²-4x+1，下列说法正确的是（）A.开口向下B.对称轴是直线x=1C.顶点坐标是(1,1)D.当x>1时，y随x的增大而减小（二）填空题5.已知一次函数y=(m-1)x+3，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是________。6.反比例函数y=(k+2)/x的图像在第二、四象限，则k的取值范围是________。7.若点A(1,y₁)、B(2,y₂)都在反比例函数y=6/x的图像上，则y₁与y₂的大小关系是y₁______y₂（填“>”、“<”或“=”）。8.抛物线y=x²-2x+3的对称轴是直线________，顶点坐标是________。（三）解答题9.已知一次函数的图像经过点A(2,5)和点B(-1,-1)，求这个一次函数的表达式。10.如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=m/x的图像交于A(1,4)、B(4,n)两点。（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图像直接写出当x为何值时，kx+b>m/x。（说明：此处虽无法显示图像，但解题时需结合图像分析，通常A、B两点将x轴分为几个区间，根据图像高低判断不等式的解集）11.某商店销售一种进价为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-10x+500。（1）设商店每天销售该商品的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；（2）如果商店每天想要获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）商店要想获得最大利润，销售单价应定为多少元？最大利润是多少？（提示：利润=（售价-进价）×销售量）四、参考答案与提示（一）选择题1.C（提示：A是反比例函数，B是二次函数，D不是初中所学的基本函数类型）2.A（提示：将点(2,-3)代入y=k/x，得-3=k/2，解得k=-6）3.C（提示：k=-2<0，b=4>0，图像经过一、二、四象限）4.B（提示：a=2>0开口向上；对称轴x=-b/(2a)=2/(4)=1；顶点纵坐标为(4ac-b²)/(4a)=(8-4)/8=0.5，顶点坐标(1,0.5)；当x>1时，y随x增大而增大）（二）填空题5.m>1（提示：一次函数y随x增大而增大，则k=m-1>0）6.k<-2（提示：反比例函数图像在二、四象限，则k+2<0）7.>（提示：k=6>0，在第一象限内y随x增大而减小，1<2，所以y₁>y₂）8.x=1；(1,2)（提示：对称轴x=-b/(2a)=2/2=1，代入得y=1-2+3=2）（三）解答题9.解：设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0)。因为函数图像经过A(2,5)和B(-1,-1)，所以可得方程组：{2k+b=5{-k+b=-1用第一个方程减去第二个方程：3k=6，解得k=2。将k=2代入第二个方程：-2+b=-1，解得b=1。所以，这个一次函数的表达式为y=2x+1。10.解：（1）因为点A(1,4)在反比例函数y=m/x上，所以4=m/1，解得m=4。所以反比例函数表达式为y=4/x。点B(4,n)在反比例函数y=4/x上，所以n=4/4=1。即B(4,1)。点A(1,4)和B(4,1)在一次函数y=kx+b上，可得方程组：{k+b=4{4k+b=1解得：k=-1，b=5。所以一次函数表达式为y=-x+5。（2）根据图像可知，当1<x<4时，一次函数图像在反比例函数图像上方，即kx+b>m/x。（提示：具体解集需结合图像，若图像交点为(1,4)和(4,1)，且一次函数从左到右下降，则在两交点之间一次函数值大）11.解：（1）由题意，得：w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x²+500x+200x-____=-10x²+700x-____。（2）令w=2000，则：-10x²+700x-____=2000整理得：x²-70x+1200=0解得：x₁=30，x₂=40。答：销售单价应定为30元或40元。（3）w=-10x²+700x-____，a=-10<0，抛物线开口向下，对称轴为x=-b/(2a)=-700/(2×(-10))=35。当x=35时，w有最大值，w最大值=-10×(35)²+700×35-____=-____+____-____=2250。答：销售单价定为35元时，最大利润是2250元。五、复习建议与总结函数的复习，首先要夯实基础，深刻理解函数的定义、图像和