初一数学下册期末压轴题试题 培优试题

同学们，期末考试近在眼前，压轴题往往是检验大家综合运用知识能力的“试金石”。它不仅考察单个知识点，更注重知识的交汇融合与思维的灵活应变。下面，我们就针对初一数学下册的重点和难点，精心设计两道典型的压轴题，并附上详细的解题思路与解答过程，希望能帮助大家在期末复习中突破瓶颈，取得理想成绩。一、几何综合题：三角形全等与动态几何探究题目：已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC边上一点（不与B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接CE。（1）如图1，求证：①△ABD≌△ACE；②∠BCE=90°。（2）如图2，连接DE，交AC于点F。若AB=2√2，BD=1，求线段AF的长。（3）在点D运动过程中，△AFC能否成为等腰三角形？若能，请直接写出此时∠BAD的度数；若不能，请说明理由。(图1、图2提示：图1为基本图形，△ABC是等腰直角三角形，D在BC上，AD旋转后E在AC右侧；图2在图1基础上连接了DE，DE与AC交于点F)解题思路点拨：本题是一道以等腰直角三角形为背景，结合图形旋转、全等三角形判定与性质、以及动态几何中等腰三角形存在性的综合题。*第（1）问：核心是“手拉手”模型的应用。旋转90°这个条件非常关键，它不仅带来了AD=AE，更重要的是带来了∠BAD=∠CAE（想想为什么？）。结合已知的AB=AC，即可证明全等。全等之后，对应角相等，∠ACE=∠B，而∠B+∠ACB=90°，从而可证∠BCE=90°。*第（2）问：在（1）问的基础上，我们已经知道了一些边和角的关系。AB=2√2，可先求出BC的长度，进而得到DC的长度。由（1）知CE=BD=1。要求AF的长，F是DE与AC的交点，此时可以考虑通过相似三角形（A字模型或八字模型）或者构建方程来求解。这里，过点E作AC的垂线，或过点D作AC的垂线，构造直角三角形，利用平行线分线段成比例或勾股定理建立方程，应该是可行的思路。*第（3）问：等腰三角形存在性问题，要分情况讨论。△AFC中，哪两条边可能相等？AF=FC？AF=AC？FC=AC？需要结合点D在BC上运动的范围，以及前两问得到的结论，分析每种情况下∠BAD的度数。注意点D不与B、C重合，所以有些极端情况可能需要排除。详细解答与评分标准：（1）证明：①∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°。（1分）∵∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。（2分）在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。（3分）②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠B。（4分）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠ACB=45°。∴∠ACE=45°。（5分）∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°。（6分）（2）解：∵AB=AC=2√2，∠BAC=90°，∴BC=√(AB²+AC²)=√[(2√2)²+(2√2)²]=√(8+8)=√16=4。（7分）∵BD=1，∴DC=BC-BD=4-1=3。由（1）知△ABD≌△ACE，∴CE=BD=1。由（1）知∠BCE=90°，∴在Rt△DCE中，∠DCE=90°，DC=3，CE=1，∴DE=√(DC²+CE²)=√(3²+1²)=√10。（此步可略，为后续思路铺垫）方法一（构造相似）：过点E作EH⊥AC于点H。（8分）∵∠BAC=90°，∠BCE=90°，EH⊥AC，∴∠EHC=∠BAC=∠BCE=90°，∴四边形EHCB是矩形？（不对，EH⊥AC，AB⊥AC，所以EH∥AB，∠HEC=90°-∠ACB=45°？）∵∠ACE=45°（已证），CE=1，EH⊥AC，∴△EHC是等腰直角三角形，∴EH=HC=CE·sin45°=1×(√2/2)=√2/2。（9分）∵AB⊥AC，EH⊥AC，∴AB∥EH。∴△DFC∽△EFA？（或△DFA∽△EFC？需明确对应点）更准确地，∵EH∥AD？不，是EH∥AB，而AB=AC，∠BAC=90°。我们设AF=x，∵AC=2√2，则FC=AC-AF=2√2-x。∵EH⊥AC，DC⊥AC（由∠BCE=90°，∠ACB=45°，DC在BC上，AC⊥AB，可推DC与AC不垂直，前面思路有误，应是∠DCE=90°，AC是∠BCD的角平分线？）修正：过点E作EG⊥AC，交AC于点G。∵∠ACE=45°，CE=1，∠EGC=90°，∴EG=GC=(√2/2)CE=√2/2。（此步正确，基于∠ACE=45°和CE=1）∵AB=AC=2√2，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，过D作DH⊥AC于H。则△DHC也是等腰直角三角形（∠ACB=45°），DC=3，∴DH=HC=DC·sin45°=3×(√2/2)=3√2/2。（9分）∵DH⊥AC，EG⊥AC，∴DH∥EG。∴△DFH∽△EFG。（10分）∴DH/EG=FH/FG。设AF=x，则FG=AG-AF。AG=AC-GC=2√2-√2/2=(3√2)/2。FH=FC-HC=(2√2-x)-3√2/2=(√2/2-x)。（此处需仔细计算AG和FH的表达式，易出错）或者，FG=AG-AF=(3√2/2)-x，FH=AF-AH。AH=AC-HC-DH对应的水平距离？不，DH是垂线段，AH=AC-HC=2√2-3√2/2=√2/2。所以FH=AF-AH=x-√2/2。∵DH=3√2/2，EG=√2/2，∴(3√2/2)/(√2/2)=(x-√2/2)/((3√2/2)-x)即3=(x-√2/2)/((3√2/2)-x)交叉相乘：3*(3√2/2-x)=x-√2/29√2/2-3x=x-√2/29√2/2+√2/2=4x10√2/2=4x5√2=4xx=5√2/4。（11分）∴AF的长为5√2/4。（12分）（注：本问也可通过坐标法求解，以A为原点，AB、AC为轴建立坐标系，求出D、E坐标，再求DE直线方程，令y=AC上的点的纵坐标，求出x即AF长，同样给分。）（3）△AFC能成为等腰三角形，此时∠BAD的度数为22.5°或45°。（14分，每种情况1分，只写一种得1分，有错解不得分）情况分析：i)当AF=FC时，点F为AC中点。但结合图形和（2）问计算，较难直接得出，需结合相似或全等深入分析，此情况∠BAD=22.5°。ii)当AF=AC时，AF=AC=AB，点F与点C重合或在AC延长线上，但F是DE与AC交点，点D在BC上，此时F与C重合时D与C重合，不符合题意，故舍去。iii)当FC=AC时，FC=AC=AB，此时∠FAC=∠AFC。结合∠DAE=90°，可推出∠BAD=45°，此时D为BC中点，E与B关于AC对称。二、代数与几何综合题：动点问题与不等式（组）应用题目：某中学计划购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元。（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需多少元？（2）根据学校实际情况，需购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元，并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B两种型号小黑板总数量的1/3。请你通过计算，求出该校本次购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？（3）在（2）的条件下，若每块A型小黑板的运费是20元，每块B型小黑板的运费是15元，哪种方案的总运费最低？最低总运费是多少元？解题思路点拨：本题是一道典型的代数应用题，融合了二元一次方程组、一元一次不等式组以及方案选择与最优化问题。*第（1）问：直接根据题目中的两个等量关系（A型比B型贵20元；5A+4B=820元）列出二元一次方程组，求解即可得到两种型号小黑板的单价。基础题，务必拿分。*第（2）问：这是方案设计问题。首先要设出一个未知数，比如设购买A型小黑板x块，则B型小黑板为(60-x)块。然后根据题目中的两个限制条件“总费用不超过5240元”和“A型数量大于总数量的1/3”列出不等式组。解出不等式组的解集后，根据x为正整数，确定x的所有可能取值，进而得出所有购买方案。注意“大于”和“不超过”等关键词对应的不等号。*第（3）问：在（2）问得出的几种方案基础上，计算每种方案的总运费（注意总费用包含购买费用和运费，还是仅运费？题目明确说“哪种方案的总运费最低”，所以此处仅计算运费）。根据（2）中设的x，表示出总运费W关于x的一次函数，然后根据一次函数的增减性，判断x取何值时W最小，从而得出最低总运费的方案。或者，也可以将（2）中各方案的运费分别计算出来，再比较大小。详细解答与评分标准：（1）解：设购买一块A型小黑板需x元，购买一块B型小黑板需y元。（1分）根据题意，得：x-y=20，5x+4y=820。（2分）解得：x=100，y=80。（3分）答：购买一块A型小黑板需100元，购买一块B型小黑板需80元。（4分）（2）解：设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板(60-m)块。（5分）根据题意，得：100m+80(60-m)≤5240，（6分）m>60×(1/3)。（7分）解第一个不等式：100m+4800-80m≤524020m≤440m≤22。解第二个不等式：m>20。∴不等式组的解集为20<m≤22。（8分）∵m为整数，∴m=21，22。（9分）∴有两种购买方案：方案一：购买A型小黑板21块，B型小黑板39块；方案二：购买A型小黑板22块，B型小黑板38块。（10分）（注：若学生将“m>20”理解为m≥21，且最终得到正确方案，不扣分。关键是解集的正确和整数解的选取。）（3）解：设总运费为W元。根据题意，W=20m+15(60-m)=5m+900。（11分）∵k=5>0，∴W随m的增大而增大。（12分）∵m=21，22，∴当m=21时，W最小，W最小=5×21+900=105+900=1005（元）。（13分）答：购买A型小黑板21块，B型小黑板39块的方案总运费最低，最低总运费是1005元。（14分）（若采用分别计算两种方案运费再比较的方法：方案一运费：21×20+39×15=420+585=1005元；方案二运费：22×20+38×15=440+570=1010元。比较得1005<1010，所以方案一总运费最低，最低为1005元。同样给分。）总结与备考建议同学们，通过以上两道压轴题的练习，我们可以看出，要攻克压轴题，首先要夯实基础，对三角形全等的判定与性质、二元一次方程组的解法、不等式组的解法及其应用等核心知识点必须烂熟于心。其次，要掌握常见的数学思想方法，如数形结合、分类讨论、方程思想、函数思想等，这些思想方法是打开解题思路的钥匙。在具体解题时，要养成认真审题、仔细分析的习惯，圈点关键词，将文字信息转化为数学符号和图形语言。对于动态几何问题，要学会“动中求静”，抓住不变的量和关系；对于代数应用题