人教版高中数学必修一教学讲义-集合

引言：走进集合的世界同学们，从今天开始，我们将一同踏入高中数学的殿堂。在这座殿堂里，我们会遇到许多新的概念、新的方法，它们将帮助我们更深刻地理解这个充满规律的世界。而我们要学习的第一个核心概念，就是“集合”。“集合”这个词，在日常生活中我们也常常用到，比如“一群人”、“一堆书”、“一套工具”。在数学中，集合的含义与此类似，但更加精确和严格。它是现代数学的基础，是我们后续学习函数、不等式、概率统计等众多知识的“语言”和“工具”。学好集合，能让我们的数学表达更清晰、逻辑更严密。那么，数学中的“集合”究竟是什么？它又有哪些基本的性质和运算呢？让我们带着这些问题开始今天的探索。一、集合的含义与特征1.1集合与元素的概念在数学中，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set），简称为集。*思考与辨析：这里的“研究对象”可以是具体的，比如我们班的全体同学、教室里的所有桌子；也可以是抽象的，比如所有的自然数、所有的二次函数。那么，是不是任何“一堆东西”都能构成一个集合呢？1.2集合的基本特征集合作为一个数学概念，具有以下三个重要特征，这是我们判断一些对象能否构成集合的依据：1.确定性：给定一个集合，那么任何一个元素是否在这个集合中就被确定了。也就是说，对于一个具体的对象，我们能够明确地判断它要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，没有模棱两可的情况。*例如：“我们班身高较高的同学”不能构成集合，因为“较高”这个标准不明确，无法确定哪些同学符合条件。而“我们班身高超过170厘米的同学”则可以构成集合，因为标准是明确的。2.互异性：一个集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中不会出现重复的元素。*例如：由数字1，2，2，3组成的集合，实际上就只有1，2，3这三个元素。3.无序性：集合中的元素是没有先后顺序的。也就是说，两个集合只要所含的元素完全相同，不论元素的排列顺序如何，它们就是同一个集合。*例如：集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合。1.3元素与集合的关系元素与集合之间是个体与整体的关系，这种关系是明确的，只有两种可能：*如果元素`a`是集合`A`中的元素，就说`a`属于集合`A`，记作`a∈A`。*如果元素`a`不是集合`A`中的元素，就说`a`不属于集合`A`，记作`a∉A`。这里的符号“∈”读作“属于”，“∉”读作“不属于”。思考：如何判断一个对象是否能构成一个集合？关键在于其元素是否具有“确定性”。请同学们思考：“著名的数学家”能否构成一个集合？为什么？1.4常用数集及其记法在数学中，我们会经常遇到一些特定的数的集合，为了方便起见，我们规定了一些常用的符号来表示它们：*自然数集：全体非负整数组成的集合，记作N。（注意：在国家标准中，自然数集包括0。）*正整数集：全体正整数组成的集合，记作N*或N₊。*整数集：全体整数组成的集合，记作Z。*有理数集：全体有理数组成的集合，记作Q。*实数集：全体实数组成的集合，记作R。这些符号是数学界通用的，同学们必须熟记并正确使用。例如，0∈N，0∉N*，2∈Z，√2∉Q，√2∈R等。二、集合的表示方法当我们明确了集合的含义之后，如何清晰、准确地表示一个集合呢？常用的方法有以下几种：2.1列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号`{}`括起来表示集合的方法叫做列举法。*例如：*由元素1，2，3，4，5组成的集合，可以表示为{1,2,3,4,5}。*方程x²-4=0的所有实数根组成的集合，可以表示为{-2,2}。使用列举法时的注意事项：1.元素之间用逗号隔开。2.不必考虑元素的顺序，但要注意元素的互异性，不能重复列举。3.适用于元素个数较少的集合，或者元素个数较多但有明显规律且可以一一列举的集合。对于元素个数无限但有规律的集合，也可以用列举法，例如正整数集N*可以表示为{1,2,3,4,...}，这里的“...”表示按此规律无限延续下去。2.2描述法用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法叫做描述法。具体做法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线的后面写出这个集合中元素所具有的共同特征。*一般形式：`{x|P(x)}`，其中`x`是集合中元素的代表符号，`P(x)`是元素`x`所具有的共同特征。*例如：*由所有偶数组成的集合，可以表示为{x∈Z|x=2k，k∈Z}。这里，x∈Z指明了x是整数，x=2k，k∈Z描述了x的特征是能被2整除。*不等式2x-3>0的解集，可以表示为{x∈R|2x-3>0}。*直线y=2x+1上所有点组成的集合，可以表示为{(x,y)|y=2x+1}。这里的代表元素是有序实数对(x,y)。使用描述法时的注意事项：1.要明确集合的代表元素是什么。例如，{x|y=x²}表示函数y=x²中自变量x的取值范围（即R），而{y|y=x²}表示函数y=x²中因变量y的取值范围（即{y|y≥0}），两者是不同的集合。2.竖线后面的特征描述要准确、简洁。3.对于代表元素的取值范围，如果是明确的（比如默认在实数范围内），有时可以省略。例如，不等式2x-3>0的解集也可简记为{x|2x-3>0}。思考与比较：列举法和描述法各有什么优缺点？在什么情况下用列举法更合适？什么情况下用描述法更合适？2.3图示法（Venn图）为了更直观地理解集合的概念及集合之间的关系，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种图形称为Venn图（文氏图）。*例如：集合{1,2,3}可以用一个圆圈或矩形内部包含1，2，3这三个元素来表示。Venn图在表示集合之间的关系和运算时，具有非常直观的优势，我们在后续内容中会经常用到。三、集合间的基本关系我们观察周围的世界，会发现事物之间存在着各种各样的联系。同样，集合之间也存在着一定的关系。3.1子集思考：观察下面两个集合：*A={1,2,3}*B={1,2,3,4,5}集合A中的每一个元素是不是都在集合B中？定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset），记作`A⊆B`（或`B⊇A`），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。*Venn图表示：用一个大圆圈表示B，在B的内部画一个小圆圈表示A，就可以直观地表示A⊆B。规定：空集是任何集合的子集。也就是说，对于任意一个集合A，都有`∅⊆A`。（关于空集的定义，请见3.3）3.2真子集思考：继续观察上面的集合A和B，集合B中是否存在元素不属于集合A？定义：如果集合`A⊆B`，但存在元素`x∈B`，且`x∉A`，我们称集合A是集合B的真子集（propersubset），记作`A⫋B`（或`B⫌A`），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。*例如：上面的集合A是集合B的真子集，即A⫋B。*规定：空集是任何非空集合的真子集。也就是说，对于任意一个非空集合A，都有`∅⫋A`。3.3空集思考：方程x²+1=0在实数范围内有解吗？如果我们把这个方程的所有实数解组成一个集合，这个集合里有元素吗？定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集（emptyset），记作∅。*例如：*方程x²+1=0的实数解集是空集。*大于5且小于3的整数组成的集合是空集。空集是一个非常特殊且重要的集合，同学们要注意它的存在及其性质。3.4集合相等思考：观察下面两个集合：*C={x|x是两条边相等的三角形}*D={x|x是等腰三角形}集合C中的元素与集合D中的元素有什么关系？定义：如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B也是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们就说集合A与集合B相等，记作`A=B`。*理解：A=B意味着A和B所含的元素完全相同。*例如：上面的集合C和集合D是相等的，即C=D。判断集合相等的方法：要证明两个集合相等，只需证明它们互为子集即可。例题：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。解：集合{a,b}的所有子集为：∅，{a}，{b}，{a,b}。其中，真子集为：∅，{a}，{b}。思考：一个集合含有n个元素，它的子集个数有多少个？真子集个数有多少个？非空真子集个数有多少个？（提示：可以从n=0,1,2,3的情况入手，寻找规律。）四、集合的基本运算集合之间不仅存在包含关系，我们还可以对它们进行“运算”，就像数字可以进行加减乘除一样。集合的基本运算包括交集、并集和补集。4.1并集情境引入：学校要举办运动会，某班参加百米赛跑的同学组成集合A={张三,李四,王五}，参加跳高比赛的同学组成集合B={李四,赵六,孙七}。那么，这个班参加了百米赛跑或者跳高比赛的同学有哪些呢？很明显，应该是{张三,李四,王五,赵六,孙七}。这个新的集合是由属于A或者属于B的所有元素组成的。定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集（unionset），记作`A∪B`（读作“A并B”），即：`A∪B={x|x∈A，或x∈B}`*Venn图表示：用两个相交或不相交的圆圈分别表示A和B，A∪B就是这两个圆圈所覆盖的全部区域。并集的性质：1.`A∪A=A`（任何集合与自身的并集仍是其本身）2.`A∪∅=A`（任何集合与空集的并集仍是该集合）3.`A∪B=B∪A`（并集运算满足交换律）4.如果`A⊆B`，那么`A∪B=B`4.2交集情境引入：在上面的情境中，如果我们想知道这个班既参加了百米赛跑又参加了跳高比赛的同学有哪些，应该是{李四}。这个新的集合是由既属于A又属于B的所有元素组成的。定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集（intersectionset），记作`A∩B`（读作“A交B”），即：`A∩B={x|x∈A，且x∈B}`*Venn图表示：A∩B是两个圆圈重叠的公共部分。如果A和B没有公共元素，则A∩B=∅，此时称A与B互斥或不相交。交集的性质：1.`A∩A=A`（任何集合与自身的交集仍是其本身）2.`A∩∅=∅`（任何集合与空集的交集是空集）3.`A∩B=B∩A`（交集运算满足交换律）4.如果`A⊆B`，那么`A∩B=A`4.3补集情境引入：我们在研究问题时，常常需要确定一个研究范围。例如，在实数范围内解方程，这个“实数范围”就是我们的研究范围。如果我们把这个研究范围看作一个集合U，那么集合A是U的一个子集。此时，U中所有不属于A的元素组成的集合，对我们来说也很重要。定义：*全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universeset），通常记作U。（全集是相对的，根据研究问题的不同而变化。）`∁<sub>U</sub>A={x|x∈U，且x∉A}`*Venn图表示：用一个矩形表示全集U，在矩形内部画一个圆圈表示子集A，那么矩形内部圆圈外部的区域就表示`∁<sub>U</sub>A`。补集的性质：1.`A∪∁<sub>U</sub>A=U`2.`A∩∁<sub>U</sub>A=∅`3.`∁<su