5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用 导学案 （解析版）数学人教A版2019必修第一册

5.6第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用导学案1.通过本节课的学习,掌握用“五点法”画函数y=A2.通过本节的学习,进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法;进一步体会数形结合的思想方法,特别是会提取图象提供的信息.达到直观想象和逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能够应用函数y=教学重点：用“五点法”画函数y=Asinωx+教学难点：函数y=知识点函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质定义域eq\x(\s\up1(01))(－∞，＋∞)值域eq\x(\s\up1(02))[－A，A]周期T＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(2π,ω)奇偶性当φ＝eq\x(\s\up1(04))kπ，k∈Z时为奇函数当φ＝eq\x(\s\up1(05))kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时为偶函数当φ≠eq\x(\s\up1(06))eq\f(kπ,2)，k∈Z时为非奇非偶函数图象的对称轴直线x＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)，k∈Z求法：令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z可求图象的对称中心对称中心：eq\x(\s\up1(08))eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，0，k∈Z求法：令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可求单调性求法：令－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z可求单调递增区间求法：令eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z可求单调递减区间[点拨]对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：(1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数的周期越小；ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．[提醒](1)两条相邻对称轴之间间隔为eq\f(1,2)个周期；(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值．导入1：摩天轮的高度变化同学们，在游乐园中，摩天轮是深受大家喜爱的项目。当摩天轮匀速旋转时，座舱内游客的高度会随时间呈现周期性变化：从最低点逐渐升高，到最高点后又逐渐降低，回到最低点后再次重复。大家有没有想过，如何用数学式子来描述这种“周而复始”的高度变化呢？这种变化与我们学过的正弦函数的周期性有什么联系？今天我们就来学习一种能精准刻画这类周期性现象的函数——＝＋y＝【设计意图】通过学生熟悉的摩天轮场景，直观感知周期性变化，建立生活现象与三角函数的联系，激发探究兴趣，引出本节课核心内容。【教学建议】教师可展示摩天轮旋转的短视频或动态图片，引导学生观察高度随时间的变化规律，提问“这种变化是否具有周期性？能否用数学函数表示？”，引发思考。导入2：潮汐的涨落规律沿海地区的潮汐现象是典型的周期性自然现象：海水每天会经历两次涨潮和两次落潮，涨潮时水位升高，落潮时水位降低，且相邻两次涨潮的时间间隔大致相同。若用y表示某时刻海水的水位高度，x表示时间，那么y与x的关系如何刻画？这种关系是否与正弦函数的图象相似？带着这些问题，今天我们将学习函数＝＋y＝【设计意图】从自然现象切入，体现数学的实用性，让学生感受三角函数在解释自然规律中的作用，培养应用意识。【教学建议】教师可展示某地潮汐时刻表或水位变化曲线图，引导学生观察“周期性重复”的特征，类比正弦函数图象，自然过渡到本节课主题。做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin探究点1：图象变换——从＝y＝sinx到y思考你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法吗？一般地，函数的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数的图象，再把正弦曲线向左(或右)平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数的图象．这一过程的步骤如下：xxyOxOy步骤1步骤2步骤3步骤4探究点2：“五点法”绘制＝＋y＝Asin(ωx＋φ)的图象归纳总结:用“五点法”画出y=(1)列表.先由ωx+φ=0,π2x−ππ3π2πωx0ππ32πy0A0−0(2)在直角坐标系中描出各点.(3)用光滑曲线连接这些点,得到一个周期内的图象.(4)利用函数的周期性,通过左右平移得到整个图象.探究点3：y＝Asin(ωx＋φ)在实际问题中的应用例2摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图5.6-9，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min后距离地面的高度为m，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式;(2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地的高度差(单位：m)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1)分析：摩天轮上的座舱运近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高度呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画．解：如图5.6-10，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．设min时，游客甲位于点，以为终边的角为，根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为rad/min，由题意可得 (2)当时， 所以，游客甲在开始转动min后距离地面的高度约为37.5m(3)如图5.6-10，甲、乙两人的位置分别用点表示，则．经过min后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后rad，此时乙距离地面的高度为．则甲、乙距离地面的高度差，利用，可得，当(或)，即(或)时，的最大值为．所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m．设计意图：通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算等核心素养.【变式】如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为．（1）求，，，的值（精确到）；（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到）？解析(1)，，，，当时，，，．令，，，．即盛水筒出水后至少经过15.24s就可到达最高点

1.（24-25高一下·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（

）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的【答案】C【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程【分析】根据三角函数平移伸缩转换即可判断.【详解】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到.故选：C2.（24-25高一下·四川绵阳·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（

）A．向上平移个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移个单位 D．向左平移个单位【答案】B【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程【分析】根据给定条件，利用函数图象的平移变换判断即得.【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位.故选：B3.（24-25高一下·北京朝阳·期末）要得到函数的图象，只要将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程【分析】利用三角函数的平移法则逐项计算判断即可.【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度得：的图像，故A错误；对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得：的图像，故B错误；对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得：的图像，故C错误；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得：的图像，故D正确.故选：D.4.（24-25高一下·四川宜宾·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程【分析】根据正弦函数平移原则即可得到答案.【详解】，则只需将函数的图象向左平移个单位.故选：B.5.（2025·湖南永州·模拟预测）2025年“九三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为.将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】求图象变化前（后）的解析式【分析】根据函数的平移求解即可.【详解】由题意，可得.故选：C.6.（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质【分析】根据正弦函数图象的性质，确定函数的周期，从而得，即可得的最小值.【详解】由题可知是该函数的周期的整数倍，即，解得，故的最小值为故选：D.7.（25-26高一上·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【知识点】求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质【分析】由函数伸缩变换得，进一步由得即可求解.【详解】因为将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象，所以.因为，所以，即，所以正数的最小值为6.故选：C.8.（多选题）（25-26高三上·山东德州·阶段练习）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（

）

A．的图象关于点对称B．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象C．若在上有3个极值点，则m取值范围是D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是【答案】BC【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式【分析】根据三角函数解析式的求法求出的解析式，利用代入检验法可判断；利用三角函数图象平移及诱导公式可判断；利用换元法结合正弦函数的图象及性质分析可判断.【详解】由图知，，所以，所以，，因为，所以，所以，对于：，故错误；对于：，故正确；对于：，，

根据正弦函数的图象可得，在上有3个极值点，则，解得，故正确；对于：，，，

由图可知，在上只有一个实数根，则，故错误.故选：.9.（多选题）（24-25高一下·内蒙古包头·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度【答案】BC【知识点】求图象变化前（后）的解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解.【详解】对于A，将先向右平移个单位长度，可得，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故A错误；对于B，将先向左平移个单位长度，可得，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故B正确；对于C，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，再向左平移个单位长度得，故C正确；对于D，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，再向左平移个单位长度得，故D错误.故选：BC.10.（2025·浙江·三模）已知函数和函数的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【知识点】三角函数综合【分析】先计算两个函数的交点坐标，得出相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，即可计算其面积，得出的值，再利用得出.【详解】由得，，则，即，则当时，（为奇数）或（为偶数），则交点坐标为（为奇数），（为偶数），则相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，因相邻的交点之间的横坐标差的绝对值为，则平行四边形的面积为，得，由，得，即，因为，所以.故选：C1.（2025·全国·模拟预测）已知函数的最小正周期为，最小值为，则（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．先将上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位可得到的图象D．先将向左平移个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可得的图象【答案】C【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、辅助角公式【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，根据周期与最值求出的值，即得函数解析式，根据正弦函数的图象对称性和平移伸缩变换的规律即可对各选项逐一判断.【详解】，其中，因为函数的最小正周期为，，则，解得，又函数的最小值为，所以，因，则可得，所以．对于A，因为，即函数图象不关于直线对称，故A错误；对于B，因为，即函数图象不关于点对称，故B错误；对于C，将上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，再将图象向左平移个单位可得到即函数的图象，故C正确；对于D，将向左平移个单位，可得的图象，再将图象上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，而不是函数的图象，故D错误.故选：C．2.（2022·山东青岛·一模）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（

）．A． B． C． D．【答案】A【知识点】求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、利用正弦函数的对称性求参数【分析】利用三角恒等变换先化简，由图象的平移变换得，又，即，结合即可求解.【详解】由题意有，由的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数，故，所以，，，由于，所以．故选：A.3.（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）将函数的图象向左平移（）个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】正切函数对称性的应用、求图象变化前（后）的解析式【分析】先通过平移法则得新函数解析式为，根据对称中心列方程得，由即可求解.【详解】函数的图象平移后得到，