第02讲 集合间的基本关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）（人教A版必修第一册）（解析版）

第第页第02讲集合间的基本关系【人教A版】模块一集合的模块一集合的子集1．子集的概念定义一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集记法

与读法记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即；

(2)对于集合A,B,C，若，且，则2．真子集的概念定义如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集记法记作(或)图示结论(1)且，则；

(2)，且，则【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若，且，则.(6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.【题型1子集、真子集的确定】【例1】（24-25高三上·四川·期末）集合A=x−4<x<2的一个真子集可以为（

A．3 B．x−1<x<3 C．0 D．【答案】C【解题思路】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案.【解答过程】3∉A=x2.5∉A={x|−4<x<2}，故B错误；因为x−4<x<2是集合A=0是集合A=x故选：C.【变式1.1】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合M=x∣m+1x2−mx+m−1=0A．-1 B．233 C．±233【答案】D【解题思路】根据题意，由条件可得集合M有且只有一个元素，然后分m+1=0与m+1≠0讨论，即可得到结果.【解答过程】因为集合M=x∣m+1x当m+1=0时，即m=−1，则M=x当m+1≠0时，即m≠−1，则关于x的方程m+1x则Δ=m2综上所述，m=−1或m=±2故选：D.【变式1.2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合A=1,a−2,2a2(1)求a的值；(2)写出集合A的所有真子集.【答案】(1)a=−(2)∅，{1}，{−72}，{−3}，{1,−72【解题思路】（1）由−3∈A，求得a=−1或a=−3（2）由（1）知集合A={1,−7【解答过程】（1）当a−2=−3时，a=−1，A={1,−3,−3}不满足集合元素的互异性，a=−1不合题意；当2a2+5a=−3时，解得a=−1或a=−当a=−32时，综上，a=−3（2）由（1）可得A={1,−72,−3}∅，{1}，{−72}，{−3}，{1,−72【变式1.3】（25-26高一上·全国·课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？(1)A={1}(2)B=(3)C={6,7,8}【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【解题思路】（1）根据子集和真子集的概念进行辨析.（2）根据子集和真子集的概念进行辨析.（3）根据子集和真子集的概念进行辨析.【解答过程】（1）子集：∅，{1}共2个；真子集：∅共1个.（2）子集：∅，a，b，a,b共4个；真子集：∅，a，b共3个.（3）子集：∅，6，7，8，6,7，7,8，6,8，{6,7,8}共8个；真子集：∅，6，7，8，6,7，7,8，6,8共7个.元素个数为n，则子集个数为2n，真子集个数2【题型2\o"判断集合的子集（真子集）的个数"\t"/gzsx/zj135317/_blank"集合的子集（真子集）的个数问题】【例2】（24-25高一上·河南·期中）设集合A=1,2,3,4,5,9，B=x∣x∈A,x∈ZA．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解题思路】根据集合B的含义得到集合B的元素，然后求非空子集个数即可【解答过程】要使x∈A，x∈Z，则x=1,4,9所以B的非空子集有{1}，{4}，{9}，{1,4}，{1,9}，{4,9}，{1,4,9}共7个．故选：C.【变式2.1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设集合A={x∈N|y=12x+3∈A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解题思路】根据集合A对元素x的要求，求得集合A，即得其真子集个数.【解答过程】由y=12x+3∈N且x∈N可知，x+3可以取3,4,6,12即A={0,1,3,9}，故集合A的真子集个数为24故选：C.【变式2.2】（2024·河南·二模）已知集合M=x∈Z∣a≤x≤2a−1，若集合M有15个真子集，则实数aA．4,6 B．92,112 C．【答案】D【解题思路】根据真子集的定义，推断出集合M含有4个元素，即不等式a≤x≤2a−1的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数a的取值范围．【解答过程】若集合M有15个真子集，则M中含有4个元素，结合M=x∈Z∣a≤x≤2a−1，可知a<2a−1，即a>1，且区间[a,2a−1]①当1<a<4时，[a,2a−1]的区间长度2a−1−a=a−1<3，此时[a,2a−1]中不可能含有4个整数；②当a=4时，[a,2a−1]=[4,7]，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；③当a>4时，[a,2a−1]的区间长度大于3，(i)若[a,2a−1]的区间长度a−1∈(3,4)，即若2a−1是整数，则区间[a,2a−1]中含有4个整数，根据2a−1∈(7,9)，可知2a−1=8，a=9此时[a,2a−1]=[92,8]，其中含有5、6、7、8共若2a−1不是整数，则区间[a,2a−1]中含有5、6、7、8这4个整数，则必须4<a<5且8<2a−1<9，解得92(ii)若a=5时，[a,2a−1]=[5,9]，其中含有5、6、7、8、9共(iii)当a>5时，[a,2a−1]的区间长度a−1>4，此时[a,2a−1]中只能含有6、7、8、9这故2a−1<10，即a<112，结合a>5可得综上所述，a=4或92≤a<5或5<a<112，即实数a的取值范围是[9故选：D．【变式2.3】（24-25高一上·全国·周测）已知集合M满足{1,2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，那么这样的集合M的个数为（

）A．4 B．5 C．7 D．8【答案】A【解题思路】由集合子集，真子集的运算，集合M中必有1，【解答过程】因为集合M满足{1,2,3}⊆M，所以1∈M，2∈M，3∈M，又集合M满足M⊆{1,2,3,4,5}，所以集合M有：{1,2,3}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,3,4,5}，共有4个，故选：A.模块二模块二集合相等与空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.2．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观.(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.【题型3判断两个集合是否相等】【例3】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（

）A．A=x∈Nx≤2，B=x∈C．A=x|y=x，B=xy=x2x【答案】D【解题思路】根据集合相等的概念判断四个选项即可.【解答过程】对于A，A=x∈Nx≤2=对于B，A=x,y|y=x为点集，B=x|y=x对于C，A=x|y=x=R，B=对于D，数集A=x|x>0和数集B=y|y>0元素一样，故故选：D.【变式3.1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M=3,2，N=2,3 B．M=C．M=x,yx+y=1，N=yx+y=1 【答案】D【解题思路】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.【解答过程】对于A选项，M=3,2，N=2,3，则对于B选项，M=2,3，N=2,3，则对于C选项，M=x,yx+y=1为点集，N=y对于D选项，M=2,3，N=3,2，则故选：D.【变式3.2】（24-25高一上·上海·期末）已知集合A={x|x=2kπ+π3或x=2kπ+2π3A．A=B B．A⊆B C．A⊇B D．以上选项均不正确【答案】A【解题思路】化简集合B，用列举法表示集合A、B，即可判断.【解答过程】因为A={x|x=2kπ+=⋯,−又B=xx=kπ+={x|x=2tπ+=⋯,−所以A=B.故选：A.【变式3.3】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M=3,2，B．M=4,5，C．M=x,yx+y=1D．M=1,2，【答案】B【解题思路】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.【解答过程】对于A选项，M≠N；对于B选项，M=N；对于C选项，M为点集，N为数集，则M≠N；对于D选项，M为数集，N为点集，则M≠N.故选：B.【题型4根据两个集合相等求参数】【例4】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合A=0,4,a2，B=0,4,3a−2，若A=B，则aA．1或2 B．−1或0 C．1 D．−1【答案】C【解题思路】根据集合相等有a2【解答过程】由题设a2=3a−2⇒(a−1)(a−2)=0，可得a=1或当a=1时，a2当a=2时，a2所以a=1.故选：C.【变式4.1】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=aA．−2 B．1 C．−1 D．2【答案】B【解题思路】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出a2024【解答过程】∵ba，∴a≠0，∵a,ba,1∴a,0,1=a2,a,0，∴当a当a=1时，即得集合1,0,1，不符合元素的互异性，故舍去，当a=1a2=a时，a=1综上，a=−1，b=0，∴a故选：B.【变式4.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）由a，ba，1组成的集合中有3个元素，该集合和由a2，a+b，0组成的集合是同一个集合，求【答案】1【解题思路】由集合中元素的特点和相等集合的概念求出a,b，然后求解即可.【解答过程】由题意可得集合a,ba,1则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得：ba=0a结合互异性，联立解得：a=−1,所以a2024【变式4.3】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|−(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)a<−8或a≥2；(2)a=2【解题思路】（1）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A⊆B求解；（2）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A=B求解；【解答过程】（1）当a=0时，A=R，A⊆B当a<0时，A=x|4a≤x<−1a，因为当a>0时，A=x|−1a<x≤4a，因为综上：实数a的取值范围是a<−8或a≥2；（2）当a=0时，A=R，A=B当a<0时，A=x|4a当a>0时，A=x|−1a<x≤4a，因为综上：实数a的值是2.【题型5空集的判断、性质及应用】【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（

）A．∅ B．x∈R|C．x|x<4，或x>8 D．【答案】B【解题思路】根据空集的定义进行判断可得答案.【解答过程】对于A，∅不是空集，故A错误；

对于B，x2+1=0无解，所以集合对于C，集合x|x<4，或x>8对于D，集合x|x故选：B.【变式5.1】（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与∅说法不正确的是（）A．0∉∅ B．0∈C．0=∅ D．【答案】C【解题思路】根据∅的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解答过程】因为∅是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：0∈0对于选项D：因为∅是任何集合的子集，所以0⊇∅故选：C.【变式5.2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程2x−1x−3=1+kx−3的解集为空集，则A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解题思路】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.．【解答过程】方程2x−1x−3=1+k则有x+2−k=0x−3≠0，解得x=k−2且x≠3由方程2x−1x−3=1+kx−3的解集为空集，所以故选：D.【变式5.3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系：∅是{∅}的一个元素，故∅∈{∅}，①正确；∅是任何非空集合的真子集，故∅⊂≠{∅}∅没有元素，故0∉∅，④正确；且∅≠{0}、∅≠{∅}，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C.模块三模块三集合间关系的性质1．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，①若AB，且BC，则AC；②若AB，B=C，则AC.(3)若AB，A≠B，则AB.【题型6判断集合间的关系】【例6】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合M=xx=m+16,m∈Z，N=xx=A．M=N⊆P B．M⊆N=P C．M=P⊆N D．N⊆P⊆M【答案】B【解题思路】先将集合M,N,P中元素化为统一形式，然后进行判断即可.【解答过程】M=xN=xP=x故M⊆N=P，故选：B.【变式6.1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆BC．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B【答案】C【解题思路】先化简集合A,B,C，再结合集合的包含关系判断集合间关系即可.【解答过程】依题意，A={x|x=k+66,k∈C={x|x=4k+36,k∈Z}={x|x=因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即B⊆A，所以C⊆B⊆A.故选：C.【变式6.2】（24-25高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系：(1)A=−1,1，B=(2)A=−1,4，B=(3)A={x∣x是等腰三角形}，B={x∣x是等边三角形}.【答案】(1)A⊆B(2)A⊆B(3)B⊆A【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论．【解答过程】（1）A中唯一元素−1,1∈B又∵−1,−1所以A⊆B；（2）∵A=−1,4，A的元素都是B的元素，而B的元素−5不是A的元素，所以A⊆B；（3）∵A={x∣x是等腰三角形}，B={x∣x是等边三角形}，又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形；所以B⊆A.【变式6.3】（24-25高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系.(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}.【答案】(1)无包含关系(2)A(3)A(4)N(5)A＝B【解题思路】（1）由集合A和集合B的代表元素判断；（2）利用数轴求解判断；（3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断；（4）由n∈N*判断；（5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断.【解答过程】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.（2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⊊B.（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⊊B.（4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊊M.（5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.【题型7根据集合的关系求参数】【例7】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合A=x−1≤x≤3，集合B=x1−m≤x≤1+m.若B⊆A，则mA．mm≤2 B．C．mm≤0 D．【答案】A【解题思路】由题意，分B=∅和B≠∅两种情况讨论即可.【解答过程】因为B⊆A，①当B=∅时，1−m>1+m，解得m<0，②当B≠∅时，1−m≤1+m1−m≥−1解得0≤m≤2，综上所述，m的取值范围是为：mm≤2故选：A.【变式7.1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合A=xx≤−2或x>1，B=xax+2≤0，且B⊆A，则A．a0<a≤1 B．C．a−2≤a≤1 D．a−2<a<0【答案】B【解题思路】分a=0、a>0、a<0三种情况讨论，求出集合B，在a=0时，直接验证即可；在a>0、a<0这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.【解答过程】因为集合A=xx≤−2或x>1，B=x（1）当a=0时，B=∅⊆A，合乎题意；（2）当a>0时，B=xax+2≤0=因为a>0时，解得0<a≤1；（3）当a<0时，B=xax+2≤0=因为a<0，解得−2<a<0.综上所述，实数a的取值范围是a−2<a≤1故选：B.【变式7.2】（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合A=2,6(1)若集合B=a+1，a(2)若集合C=xax2−x+6=0，且A【答案】(1)5(2)a【解题思路】（1）利用集合相等的条件求a的值；（2）由A与C有包含关系得C⊆A，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.【解答过程】（1）因为A=2,6，且A=B所以a+1=2a2−23=6解得a=1a=±29或故a=5.（2）因为A与C有包含关系，A=2,6，C=所以C⊆A.当a=0时，C=6当a≠0时，当C=∅时，Δ=1−4a×6<0，解得a>当C=2时，Δ=1−4a×6=0且当C=6时，Δ=1−4a×6=0且当C=2,6时，Δ=1−4a×6>0且综上，a的取值范围为aa=0【变式7.3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合A=xx2(1)若B⊆A，求实数a的取值范围；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围【答案】(1){a|a≤−1或a=1}(2)a=1【解题思路】（1）由B⊆A，对集合B进行分类讨论：①若B=∅，②若B为{0}，{−4}，③若B=A=−4,0，由此求得a（2）先化简集合A，B，再由A⊆B，能求得a的值．【解答过程】（1）集合A={x|x2B⊆A，①若B=∅，则Δ则a<−1；②若B={0}或{−4}，则Δ解得：a=−1，将a=−1代入方程x2+2(a+1)x+a2−1=0得：x③若B=A={−4,0}，则Δ=8a+8>0，即即x2+2(a+1)x+a则有a2−1=0且则a=1，综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤−1或a=1}．（2）∵A⊆B，∴B=A={0,−4}，则Δ=8a+8>0，即即0和−4是方程x2∴0−4=−2(a+1)=−40×(−4)=解得：a=1或a=−1（舍去）故a=1．【题型8集合关系中的新定义问题】【例8】（24-25高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合A=8,23,81,153,254,370，B={x∈A|x是自恋数}，则B的真子集个数为（

）A．7 B．15 C．31 D．63【答案】A【解题思路】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得.【解答过程】812282132333所以集合B=8,153,370所以真子集个数：23故选：A.【变式8.1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集M的“和睦数H”如下：将M中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合1,2,3,4,5的“和睦数”是5+4−3+2−1=7，2,4的“和睦数”是4+2=6，1的“和睦数”是1.对于集合A=n6−nnA．82 B．74 C．12 D．70【答案】A【解题思路】分别列举子集M，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解.【解答过程】A=n6−nn当子集M为单元素集1，2，3，6时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；当子集M为双元素集1,2，1,3，1,6，2,3，2,6，3,6时，“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；当子集M为三元素集1,2,3，1,2,6，1,3,6，2,3,6时，“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；当子集M为四元素集1,2,3,6时，“和睦数”为6+3−2+1=8.故“和睦数”的总和为12+36+26+8=82.故选：A.【变式8.2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意m,n∈A（m,n可以相等），都有1+mn≠0，则集合B=x|x=m+n1+mn(1)求集合A=3,4的生成集B(2)若集合A=a,2，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a(3)若集合−1≤A≤1，A的生成集为B，求证A=B．【答案】(1)B=(2)a=1或a=−1或a=(3)证明见解析【解题思路】（1）根据定义计算即可求解B；（2）根据定义计算出集合B中的元素，再根据B的子集个数为4个得出B中有2个元素，分别列出方程，求解即可；（3）∀m，n∈−1,1=A，根据作差法得出−1≤m+n【解答过程】（1）由题可知：①当m=n=3时，x=3+3②当m=n=4时，x=4+4③当m=3，n=4或m=4,n=3时，x=3+4所以B=3（2）①当m=n=2时，x=2+2②当m=n=a时，x=a+a③当m=2，n=a或m=a，n=2时，x=2+aB的子集个数为4个，则B中有2个元素，所以45=2a1+a解得a=1或a=−1或a=12（（3）证明：∀m，n∈−1,1m+n1+mnm+n1+mn∴−1≤m+n1+mn≤1∴B⊆A，又A=−1,1，所以A⊆B综上可得A=B．【变式8.3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，4,6,9的元素和是4+6+9=19；交替和是9−6+4=7；而5的元素和与交替和都是5.(1)写出集合1,2,3的所有非空子集的交替和的总和.(2)已知集合M=1,2,3,4,5,6①求集合M所有非空子集的元素和的总和；提示：∀x∈M，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；②求集合M所有非空子集的交替和的总数.【答案】(1)12；(2)①672；②192.【解题思路】（1）先求出集合1,2,3的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；（2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合1,2,3,⋯,n的所有非空子集的交替和的总和.【解答过程】（1）集合1,2,3的非空子集为1，2，3，2,1，3,1，3,2，3,2,1，集合1，2，3的交替和分别为1，2，3，集合2,1的交替和为2−1=1，集合3,1的交替和为3−1=2，集合3,2的交替和为3−2=1，集合3,2,1的交替和为3−2+1=2，所以集合1,2,3的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）①集合1,2,3所有非空子集中，1，2，3，2,1，3,1，3,2，3,2,1，数字1、2、3各出现4=2集合1,2,3,4所有非空子集为：1，2，3，4，2,1，3,1，4,1，3,2，2,4，3,4，3,2,1，4,2,1，4,3,1，4,3,2，4,3,2,1，其中数字1、2、3、4各出现8=2在集合1,2,3,4,5所有非空子集中，含1的子集的个数为24因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现24同理在集合1,2,3,4,5,6所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现25所以集合M所有非空子集的元素和的总和为32(1+2+3+4+5+6)=672.②1,2,⋅⋅⋅,n的子集一共有2n个，按照子集是否含有n每一个含n和去掉n的两个配对子集交替和之和为n，因为不含n的子集共有2n−1所以1,2,⋅⋅⋅,n的所有非空子集的交替和总和为Sn=n⋅2所以集合M所有非空子集的交替和的总和S6一、单选题1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合A={x|x=2n+2,n∈N}，B={x|x=4n,n∈N}，则（

）A．A≠B B．A∈B C．A⊆B D．AB【答案】A【解题思路】根据集合A，B中元素的特征可判断各选项.【解答过程】由题意知，集合A=2,4,6,8,⋅⋅⋅因为0∉A,2∉B，所以C、D不正确；“∈”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确所以A≠B．故选：A.2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A=x∣x−7<0,x∈N*，则集合B=A．4 B．8 C．14 D．15【答案】C【解题思路】根据集合A,B的性质，依次求出集合A,B，即可求得答案.【解答过程】由A=又由y∈A,6y∈N*故B的非空真子集的个数为24故选：C.3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合A=0,2,B=1,2,3,C=A．16 B．15 C．4 D．8【答案】A【解题思路】根据题意先求集合C，进而得集合C元素个数n，利用子集个数公式2n【解答过程】因为A=0,2,B=1,2,3所以ab=0或ab=2或ab=4或ab=6，故C=ab∣a∈A,b∈B即集合C中含有4个元素，所以集合C的子集个数为24故选：A.4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合{a,b,c}=−1,0,1，若①a≠−1；②b=−1；③c≠0中有且只有一个正确，则a2023−2b+4c=A．2 B．3 C．5 D．8【答案】B【解题思路】根据集合相等的定义分类讨论求解.【解答过程】假设③对，则①②错，又a,b,c=−1,0,1，所以此时a2023假设②对，则①③错，必有a=−1，而b=−1，不符合集合元素的互异性，假设不成立；假设①对，则②③错，所以c=0，b≠−1，而a≠−1，因此只能a=b=1，不符合集合元素的互异性，假设不成立.综上所述，a2023故选：B.5．（24-25高一上·全国·期末）已知m∈R，n∈R，若集合m,nm,1=mA．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】B【解题思路】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得m,n，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为m,n所以nm=0m=m+nm当m=1时，不满足集合元素的互异性，故m=−1，n=0，m2023故选：B.6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1，若B为A的真子集，则A．2,3 B．2,3 C．−∞,3 【答案】C【解题思路】分集合B是否是空集进行讨论即可求解.【解答过程】当B=∅时，满足B为A的真子集，此时m+1>2m−1，解得m<2.当B≠∅时，则m+1≤2m−1,m+1≥−2,2m−1<5或m+1≤2m−1,m+1>−2,综上，m≤3，即m的取值范围是−∞

故选：C.7．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）设M=xx=m+16,m∈Z，P={x|x=n2−13,n∈A．PQM B．MP=Q C．P=QM D．Q=MP【答案】C【解题思路】首先要理解集合的定义以及元素之间的关系.对于这三个集合，需要通过对集合中元素表达式的变形来分析它们之间的包含关系.我们将分别对三个集合中的表达式进行分析和转化，然后比较它们的关系.【解答过程】先化简集合M、P、Q的表达式：对于集合M，已知M={x|x=m+16,m∈对于集合P，已知P={x|x=n2−对于集合Q，已知Q={x|x=q2+再分析集合P和Q的关系：对于集合P中的表达式3n−2，我们可以进行变形：3n−2=3(n−1)+1，这里n∈Z这意味着对于任意的n∈Z，3n−2表示的数和3q+1（q∈Z）表示的数是一样的形式，都是3的某个整数倍加所以集合P和Q中的元素是相同的，即Q=P.最后分析集合M与Q（P）的关系：对于集合M中的表达式6m+1=3×2m+1，m∈Z这表明6m+1表示的是3的偶数倍加1，而集合Q（P）中的素是3的整数倍加1.所以集合M中的元素都是集合Q（P）中的元素，但集合Q（P）中存在元素不属于集合M，综上，MQ=P.故选：C.8．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合A=x1,x2,x3,x4∣xi∈−1,1,i=1,2,3,4A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解题思路】不妨设1,1,1,1∈B，则B中其他元素包含2个1和2个−1，最多共有6个元素，又1,1,−1,−1,−1,−1,1,1，1,−1,−1,1,−1,1,1,−1【解答过程】不妨设1,1,1,1∈B由a1b1+a又1,1,−1,−1,−1,−1,1,1，1,−1,−1,1,所以1,1,−1,−1,1,−1,1,−1,1,−1,−1,1,若B⊆A，且B中任意两个元素均正交，则B中元素个数最多是4.故选：C.二、多选题9．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列关系中正确的是（

）A．0∈0 B．C．a,b=b,a 【答案】AD【解题思路】根据元素与集合、集合与集合间的关系逐项分析判断.【解答过程】对于A，0∈0对于B，集合0,1表示数集，集合0,1表示点集，两者不相等，故B错误；对于C，因为点a,b与点b,a不一定重合，所以两个集合不一定相等，故C错误；对于D，空集是任意集合的子集，故D正确．故选：AD．10．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知集合A=0,1，B=xax2+x−1=0，若A．0 B．1 C．−1 D．1【答案】AC【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论集合B中的原式，即可求解.【解答过程】当a=0时，B=1当a≠0时，若B=1，则Δ若B=0，则Δ若B=0，1若B=∅，则Δ=1+4a<0，得a<−综上可知，a=0或a<−1故选：AC.11．（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（m≤n）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（4≤t≤n）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（

）A．3数集A有6个非空真子集B．4数集B有6个2子集C．若集合C=1,2,3,4,6，则CD．若集合D=1,2,3,4,6,13,20,40，则D【答案】ABD【解题思路】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可.【解答过程】3数集A有23假设B=x,y,z,p则B的2子集有x,y，x,z，x,p，y,z，y,p，z,p，共6个，B正确.C的等和子集有1,2,3,4，1,3,4,6，1,2,3,4,6，共3个，C错误.因为4+6<13，6+13<20，13+20<40，所以在D中，只有1+4=2+3，1+6=3+4两组符合条件的等式.在D的4子集中，D的等和子集有1,2,3,4，1,3,4,6，共2个；在D的5子集中，D的等和子集有1,2,3,4,6，1,2,3,4,13，1,2,3,4,20，1,2,3,4,40，1,3,4,6,13，1,3,4,6,20，1,3,4,6,40，共7个；在D的6子集中，D的等和子集有1,2,3,4,6,13，1,2,3,4,6,20，1,2,3,4,6,40，1,2,3,4,13,20，1,2,3,4,13,40，1,2,3,4,20,40，1,3,4,6,13,20，1,3,4,6,13,40，1,3,4,6,20,40，共9个；在D的7子集中，D的等和子集有1,2,3,4,6,13,20，1,2,3,4,6,13,40，1,2,3,4,6,20,40，1,2,3,4,13,20,40，1,3,4,6,13,20,40，共5个；在D的8子集中，D的等和子集有1,2,3,4,6,13,20,40，共1个.综上，D的等和子集有2+7+9+5+1=24个，D正确.故选：ABD.三、填空题12．（24-25高一上·安徽·期中）若1,a,b−1a=0,【答案】2【解题思路】由a为分母可得a≠0，再利用集合相等的性质计算即可得解．【解答过程】由题意可得a≠0，则b−1a=0，即则a=1a，解得a=1或若a=1，则违背集合元素的互异性，舍去；若a=−1，则有1,−1,0=综上所述，a=−1，则b−a=1−−1故答案为：2．13．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若A=1,2,3，B={x|x=mn,m∈A,n∈A,m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为【答案】6【解题思路】用穷举法求出集合B=2,3,6，再求集合B【解答过程】由题意，当m=1，n=2或n=3时，mn=2或mn=3；当m=2，n=1或n=3时，mn=2或mn=6；当m=3，n=1或n=2时，mn=3或mn=6；综合以上可知，B=2,3,6所以集合B的非空真子集的个数为23故答案为：6.14．（23-24高一上·上海·期中）已知集合A=x|x2+5x−6=0,B=x|x2+2(m+1)x+【答案】−【解题思路】由B⊆A，分集合B为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可.【解答过程】因为A=x|由于B⊆A，所以可以分为三种情况：①当B为空集时，Δ=4m+12②当B不为空集时，当Δ=4m+12此时B=x|当Δ=4m+121−6=−2m+1−1×6=m综上：故实数m的取值范围是−∞故答案为：−∞四、解答题15．（2025高一·全国·专题练习）已知A=x∣x2(1)若A是B的子集，求实数a的值；(2)若B是A的子集，求实数a的取值范围.【答案】(1)a=1(2)a≤−1或a=1【解题思路】（1）首先求出集合A，依题意可得B=A，则−4和0为方程x2（2）分B=∅、B为单元素集合、B为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围.【解答过程】（1）因为A=x∣若A是B的子集，则B=A=−4,0所以Δ>0−4+0=−2(a+1)−4×0=（2）若B是A的子集，则B⊆A.①若B为空集，则Δ=4(a+1)2②若B为单元素集合，则Δ=4(a+1)2将a=−1代入方程x2+2a+1x+a2−1=0③若B为双元素集合，B=A=−4,0，则a=1综上所述，a≤−1或a=1.16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合P=x∈Rx2(1)若b=4，存在集合M使得PMQ，求这样的集合M；(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围．【答案】(1)−4，−1，1，−4,−1，−4,1，−1,1(2)b【解题思路】（1）根据集合间的包含关系可直接写出符合题意的集合M；（2）对集合P是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出b的取值范围.【解答过程】（1）当b=4时，方程x2−3x+b=0的根的判别式Δ=又Q=x∈R∣x+1x2+3x−4由已知得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为−4,−1,1,−4,−1,−4,1,−1,1．（2）当P=∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x2−3x+b=0，有Δ=9−4b<0当P≠∅时，因为Q=−4,−1,1，所以当−1∈P时，−12−3×此时P=x∣x2−3x−4=0=4,−1，因为同理，当−4∈P时，P=7,−4，也不是Q当1∈P时，P=1,2，也不是Q综上，满足条件的b的取值范围是bb>17．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合A=x(1)若A⊆∅，求实数a的取值集合.(2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合.(3)若1∈A且B⊆A，求实数b的取值集合.【答案】(1)a(2)0,3(3)0,−1,3【解题思路】（1）根据A⊆∅，可得A=∅，再分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（2）由题意可得集合A中只有一个元素，再分a=0和a≠0