专题1++集合讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1/20集合（原卷版）一、思维导图二、知识梳理1．元素与集合的概念（1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母，，，…表示．（2）集合：一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），常用大写拉丁字母，，，…表示．（3）集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系（1）属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作．（2）不属于：如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作．3．常见的数集（1）非负整数集（自然数集）：．（2）正整数集：或．（3）整数集：．（4）有理数集：．（5）实数集：．4．集合的表示（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法：一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．5．Venn图（1）通常用封闭曲线的内部代表集合．（2）形象直观．6．子集、真子集、集合相等的概念7．空集（1）不含任何元素的集合叫做空集，记为．（2）空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集．8．并集9．交集10．全集（1）定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．（2）记法：全集通常记作．11．补集（1）对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作．（2）．（3）图形语言：三、专题精讲一、集合的基本概念【例1】已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9【点拨】解决集合的概念问题应关注两点：①研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；②对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．【跟踪训练1】已知a∈R，若a∈{a2+3a，0}，则a＝．二、集合间的基本关系【例2】已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a<x≤a+1}，a<1，若B⊆A，则实数a的取值范围为．【点拨】已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．【跟踪训练2】（多选题）已知集合A={0，m，m2-3m+2}，且{2}⊆A，则实数m的取值不可以为（）A．2B．3C．0D．-2三、并集【例3】已知集合，QUOTEM={x|y=x-1}，N={x|-1≤x≤2}，则MN＝（）A．{x|1<x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≥﹣1}【点拨】对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性；对于元素个数无限的集合，进行并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．【跟踪训练3】已知集合，，则．四、交集【例4】已知集合A＝{x|y＝x2﹣2x﹣1}，B＝{y|y＝﹣x2+4x﹣5}，则A∩B＝．【点拨】对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”定义求解，但要注意集合元素的互异性；对于元素个数无限的集合，进行交运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．【跟踪训练4】设A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|1＜x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5}B．{x|2＜x＜5}C．{3，4}D．{3，4，5}【例5】已知全集U＝{x∈Z|﹣3＜x＜3}，集合A＝{﹣2，﹣1，0}，则＝（）A．（0，3）B．（0，2]C．{1，2，3}D．{1，2}【点拨】解决补集问题的三种方法：（1）定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解；（2）Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集；（3）数轴法：当元素连续且无限时，借助数轴求解，此时需注意端点问题．【跟踪训练5】已知全集U＝{x|﹣2≤x≤3}，集合A＝{x|﹣1＜x＜0或2＜x≤3}，则＝．六、混合运算【例6】（多选题）已知全集U＝{x∈N||x﹣5|≤4}，A、B均为U的子集，且A∩（）＝{1，9}，A∩B＝{3}，（）∩（）＝{4，6，7}，则下列说法正确的是（）A．8∈BB．6∉C．{2，5}⊆BD．A的不同子集的个数为8【点拨】如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解；如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．【跟踪训练6】如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AΔB为阴影部分表示的集合．已知全集U＝{x∈N*|x≤10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{x∈U|x是偶数}，则集合（AΔB）∩C＝．四、专题精练1．下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为或QUOTE1，2，3或3B．与是同一个集合C．集合QUOTEx|y=x2-1与集合QUOTEy|y=x2-1是同一个集合D．集合QUOTExx2+5x+6=0与集合QUOTEx2+5x+6=02．满足条件{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合A有（）A．3个B．5个C．7个D．8个3．如图所示，若A={x|0≤x≤2}，B={x|x>0}，则阴影部分表示的集合为（）A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|x=0或x>2}4．已知集合A={x|x<a}，B={x|1<x<2}，且A∪(RB)=R，则实数a的取值范围为（）A．{a|a≤2}B．{a|a<1}C．{a|a≥2}D．{a|a>2}5．已知集合M=，QUOTExx=k4-18，k∈Z，N=，QUOTEyyA．M=NB．MNC．NMD．M∩N=6．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(UA)∪B=B，则下列关系一定正确的是（）A．A∩B=B．A∩B=BC．(UA)∪(UB)=UD．(UB)∪A=A7．（多选题）已知集合M={1，m+2，m2+4}，且5∈M，则m的值为（）A．-1B．1C．2D．38．（多选题）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1<x≤3}，则下列判断正确的是（）A．A∪B=BB．(RB)∪A=RC．A∩B={x|1<x≤2}D．(RB)∪(RA)={x|x≤1或x>2}9．（多选题）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域．现有两个数域E=与F=QUOTEa+b3|a，b∈Q．下列说法中正确的为（A．数域E，F中均含元素0，1B．有理数集Q⊆EC．E∪F是一个数域D．整数集Z⊆(E∩F)10．已知集合A={a，b，1}，B={-1，2，a2}，若A=B，则ab=．11．某小学在课后给同学们增设了各种兴趣班．为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为．12．已知集合A={x|ax-1=0}，B={x|x2-3x+2=0}，且A∪B=B，则实数a的值为．13．已知集合A={-4，a2}，B={a-1，1-a，9}，且A∩B={9}．(1)求实数a的值；(2)写出集合A的所有子集．14．已知集合A={x|0≤x≤1}，B={x|1-a<x<2a}．(1)若(RA)∪B=R，求实数a的取值范围；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．集合（解析版）一、思维导图二、知识梳理1．元素与集合的概念（1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母，，，…表示．（2）集合：一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），常用大写拉丁字母，，，…表示．（3）集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系（1）属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作．（2）不属于：如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作．3．常见的数集（1）非负整数集（自然数集）：．（2）正整数集：或．（3）整数集：．（4）有理数集：．（5）实数集：．4．集合的表示（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法：一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．5．Venn图（1）通常用封闭曲线的内部代表集合．（2）形象直观．6．子集、真子集、集合相等的概念7．空集（1）不含任何元素的集合叫做空集，记为．（2）空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集．8．并集9．交集10．全集（1）定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．（2）记法：全集通常记作．11．补集（1）对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作．（2）．（3）图形语言：三、专题精讲一、集合的基本概念【例1】已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9【答案】C【解析】①当x=0时，y=0，1，2，此时x-y的值分别为0，-1，-2；②当x=1时，y=0，1，2，此时x-y的值分别为1，0，-1；③当x=2时，y=0，1，2，此时x-y的值分别为2，1，0．综上可知，x-y的可能取值为-2，-1，0，1，2，共5个．【点拨】解决集合的概念问题应关注两点：①研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；②对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．【跟踪训练1】已知a∈R，若a∈{a2+3a，0}，则a＝．【答案】﹣2【解答】因为a∈{a2+3a，0}，所以a＝0或a＝a2+3a，当a＝0时，不满足元素的互异性，舍去；当a＝a2+3a时，解得a＝﹣2或0（舍去）；当a＝﹣2时，集合为{﹣2，0}，符合题意．综上所述，a＝﹣2．二、集合间的基本关系【例2】已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a<x≤a+1}，a<1，若B⊆A，则实数a的取值范围为．【答案】QUOTEaa<-2或12≤a<1【解析】因为a<1，所以2a<a+1，所以B≠．画数轴如图所示．由B⊆A知，a+1<-1或2a≥1，解得a<-2或a≥．由已知a<1，所以a<-2或≤a<1，所以实数a的取值范围是QUOTEaa<-2或12≤a<1．【点拨】已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．【跟踪训练2】（多选题）已知集合A={0，m，m2-3m+2}，且{2}⊆A，则实数m的取值不可以为（）A．2B．3C．0D．-2【答案】ACD【解析】由{2}⊆A可知，若m=2，则m2-3m+2=0，这与m2-3m+2≠0相矛盾；若m2-3m+2=2，即m2-3m=0，解得m=0或m=3，因为m≠0，所以m=3，此时A={0，3，2}符合题意，故m的值可以为3．三、并集【例3】已知集合，QUOTEM={x|y=x-1}，N={x|-1≤x≤2}，则MN＝（）A．{x|1<x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≥﹣1}【答案】D【解答】因为x﹣1≥0，所以x≥1，即M＝{x|x≥1}，因为N＝{x|﹣1≤x≤2}，所以MN＝{x|x≥﹣1}．【点拨】对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性；对于元素个数无限的集合，进行并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．【跟踪训练3】已知集合，，则．【答案】{﹣1，0，1，2}【解答】＝QUOTEA={x|y=1-x2，x∈Z}={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}＝{1，﹣1，0}，B＝{y|y＝x2+1，x∈A}＝{1，2}，所以＝{﹣1，0，1，2}．四、交集【例4】已知集合A＝{x|y＝x2﹣2x﹣1}，B＝{y|y＝﹣x2+4x﹣5}，则A∩B＝．【答案】{x|x≤﹣1}【解答】根据函数的性质可知A＝{x|y＝x2﹣2x﹣1}＝R，又y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1，所以B＝{y|y≤﹣1}，所以A∩B＝{x|x≤﹣1}．【点拨】对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”定义求解，但要注意集合元素的互异性；对于元素个数无限的集合，进行交运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．【跟踪训练4】设A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|1＜x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5}B．{x|2＜x＜5}C．{3，4}D．{3，4，5}【答案】C【解答】A＝{x∈N|2＜x＜6}＝{3，4，5}，因为B＝{x|1＜x＜5}，所以A∩B＝{3，4}．五、补集【例5】已知全集U＝{x∈Z|﹣3＜x＜3}，集合A＝{﹣2，﹣1，0}，则＝（）A．（0，3）B．（0，2]C．{1，2，3}D．{1，2}【答案】D【解答】U＝{x∈Z|﹣3＜x＜3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，因为A＝{﹣2，﹣1，0}，所以＝{1，2}．【点拨】解决补集问题的三种方法：（1）定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解；（2）Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集；（3）数轴法：当元素连续且无限时，借助数轴求解，此时需注意端点问题．【跟踪训练5】已知全集U＝{x|﹣2≤x≤3}，集合A＝{x|﹣1＜x＜0或2＜x≤3}，则＝．【答案】{x|﹣2≤x≤﹣1或0≤x≤2}【解答】因为全集U＝{x|﹣2≤x≤3}，集合A＝{x|﹣1＜x＜0或2＜x≤3}，所以＝{x|﹣2≤x≤﹣1或0≤x≤2}．六、混合运算【例6】（多选题）已知全集U＝{x∈N||x﹣5|≤4}，A、B均为U的子集，且A∩（）＝{1，9}，A∩B＝{3}，（）∩（）＝{4，6，7}，则下列说法正确的是（）A．8∈BB．6∉C．{2，5}⊆BD．A的不同子集的个数为8【答案】ACD【解答】U＝{x∈N||x﹣5|≤4}＝{x∈N|1≤x≤9}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为A∩（）＝{1，9}，所以集合A中有且集合B中没有的元素只有1，9；因为（）∩（）＝{4，6，7}＝，所以既不在集合A中也不在集合B中的元素只有4，6，7；因为A∩B＝{3}，所以集合A与B的公共元素只有3；所以B中有且集合A中没有的元素只有2，5，8，即B∩（）＝{2，5，8}．作出韦恩图，所以8∈B，{2，5}⊆B，故A、C正确；因为6∈，故B错误；因为集合A中有3个元素，所以A的不同子集的个数为23＝8，故D正确．【点拨】如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解；如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．【跟踪训练6】如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AΔB为阴影部分表示的集合．已知全集U＝{x∈N*|x≤10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{x∈U|x是偶数}，则集合（AΔB）∩C＝．【答案】{2，6}【解答】因为A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，所以AΔB＝{1，2，5，6}，因为全集U＝{x∈N*|x≤10}，所以C＝{x∈U|x是偶数}＝{2，4，6，8，10}，所以（AΔB）∩C＝{2，6}．四、专题精练1．下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为或QUOTE1，2，3或3，2，1B．与是同一个集合C．集合QUOTEx|y=x2-1与集合QUOTEy|y=x2-1是同一个集合D．集合QUOTExx2+5x+6=0与集合QUOTEx2+5x+6=0【答案】A【解析】集合中的元素具有无序性，故A正确；是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；集合，集合，故C错误；集合中有两个元素，，集合中只有一个元素，为方程，故D错误．2．满足条件{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合A有（）A．3个B．5个C．7个D．8个【答案】D【解析】因为{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，所以集合A可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．3．如图所示，若A={x|0≤x≤2}，B={x|x>0}，则阴影部分表示的集合为（）A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|x=0或x>2}【答案】D【解析】阴影部分表示的集合是A∪B(A∩B)，因为QUOTEA⋂B，A={x|0≤x≤2}，B={x|x>0}，所以A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x≥0}，所以A∪B(A∩B)={x|x=0或x>2}．4．已知集合A={x|x<a}，B={x|1<x<2}，且A∪(RB)=R，则实数a的取值范围为（）A．{a|a≤2}B．{a|a<1}C．{a|a≥2}D．{a|a>2}【答案】C【解析】由题意可得RB={x|x≤1或x≥2}，又因为A∪(RB)=R，且A={x|x<a}，所以a≥2，所以实数a的取值范围为{a|a≥2}．5．已知集合M=，QUOTExx=k4-18，k∈Z，N=，QUOTEyyA．M=NB．MNC．NMD．M∩N=【答案】A【解析】当k=2n时，x=，QUOTEk4-18=2n4-18=n2-18=n-12+38，n∈Z，当k=2n-1时，x=，QUOTEk4-18=6．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(UA)∪B=B，则下列关系一定正确的是（）A．A∩B=B．A∩B=BC．(UA)∪(UB)=UD．(UB)∪A=A【答案】D【解析】令U={1，2，3，4}，A={2，3，4}，B={1，2}，满足(UA)∪B=B，但A∩B={2}≠，A∩B={2}≠B，故A，B均错误；(UA)∪(UB)={1，3，4}≠U，故C错误；由(UA)∪B=B知UA⊆B，则UB⊆A，所以(UB)∪A=A，故D正确．7．（多选题）已知集合M={1，m+2，m2+4}，且5∈M，则m的值为（）A．-1B．1C．2D．3【答案】BD【解析】当m+2=5时，解得m=3，则M={1，5，13}，符合题意；当m2+4=5时，解得m=1或m=-1．若m=1，则M={1，3，5}，符合题意；若m=-1，则m+2=1，不满足元素的互异性．综上，m=3或m=1．8．（多选题）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1<x≤3}，则下列判断正确的是（）A．A∪B=BB．(RB)∪A=RC．A∩B={x|1<x≤2}D．(RB)∪(RA)={x|x≤1或x>2}【答案】CD【解析】由x2-3x+2≤0，即(x-2)(x-1)≤0，解得1≤x≤2，所以A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，由B={x|1<x≤3}，所以A∪B={x|1≤x≤3}，故A错误；A∩B={x|1<x≤2}，故C正确；又RB=(-∞，1]∪(3，+∞)，所以(RB)∪A=(-∞，2]∪(3，+∞)，故B错误；RA=(-∞，1)∪(2，+∞)，所以(RB)∪(RA)=(-∞，1]∪(2，+∞)，故D正确．9．（多选题）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域．现有两个数域E=与F=QUOTEa+b3|a，b∈Q．下列说法中正确的为（）A．数域E，F中均含元素0，1B．有理数集Q⊆EC．E∪F是一个数域D．整数集Z⊆(E∩F)【答案】ABD【解析】对于A，当a=0，b=0时，0∈E，0∈F，当a=1，b=0时，1∈E，1∈F，故A正确；对于B，对∀a∈Q，当b=0时，a=a+b∈E，则Q⊆E，故B正确；对于C，取x=1+∈E，y=1+∈F，则x-y=QUOTE2-3∉(E∪F)，则E∪F不是一个数域，故C错误；对于D，因为E∩F=Q，Z⊆Q，所以整数集Z⊆(E∩F)，故D正确．10．已知集合A={a，b，1}，B={-1，2，a2}，若A=B，则ab=