4.4.3不同函数增长的差异课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

情境引入

据环球时报报道，今年9月22日，往返于美国迈阿密和奥兰多市的高铁线路正式开通运营，这一高铁线总长度约为378公里。然而，这趟高铁的时速却仅为每小时200公里。

据新华社报道，今年9月28日，我国首条时速350公里跨海高铁——福厦高铁开通运营。线路全长277公里，福州至厦门最快55分钟可达，两地实现“一小时生活圈”。我国高铁技术可以说是遥遥领先。情境引入长沙市珺琟高级中学思考：列车行进了多远？

在福厦高铁运行过程中，列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.你能求出这段时间内，列车行进的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系吗？长沙市珺琟高级中学，思考：列车行进了多远？长沙市珺琟高级中学

国王打算奖赏国际象棋的发明人。国王问他要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”长沙市珺琟高级中学情境引入思考：棋盘能放多少麦子？1+2+4+8+………+263=264-1=18446744073709551615（粒）长沙市珺琟高级中学每个格子放的麦子数量

本节课我们研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异。

我们首先选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？探究：不同函数增长的差异长沙市珺琟高级中学不妨以

为例研究一次函数与指数函数增长的差异探究1：一次函数与指数函数增长的差异长沙市珺琟高级中学0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386………探究1：一次函数与指数函数增长的差异长沙市珺琟高级中学0100.11.0720.20.21.1490.40.31.2310.60.41.3200.80.51.4141.00.61.5161.2………0100.21.1490.40.41.3200.80.61.5161.20.81.7411.61.0221.22.2972.4………探究1：一次函数与指数函数增长的差异长沙市珺琟高级中学0100.41.3200.80.81.7411.61.22.2972.41.63.0313.22.0442.45.2784.8………探究1：一次函数与指数函数增长的差异同学们绘制的函数图像是否准确呢？我们用MATLAB软件来检验一下。长沙市珺琟高级中学探究1：一次函数与指数函数增长的差异

如果我们把这两条图线看成是物理学中两个运动物体的位移-时间图像，你能得出什么结论呢？长沙市珺琟高级中学探究1：一次函数与指数函数增长的差异

如果我们把这两条图线看成是物理学中两个运动物体的位移-时间图像，你能得出什么结论呢？长沙市珺琟高级中学位移时间探究1：一次函数与指数函数增长的差异从数学角度分析，你能获得哪些信息？

函数

与

在[0,3]有

个交点，交点为

和

.两（1,2）（2,4）长沙市珺琟高级中学探究1：一次函数与指数函数增长的差异根据所作图像，你能获得哪些信息？

在区间[0,1)上，函数

的图象位于图象之上，

；在区间(1,2)上，函数

的图象位于

图象之下，

；在区间(2,3)上，函数

的图象位于

图象之上，.＞＜＞长沙市珺琟高级中学探究1：一次函数与指数函数增长的差异根据以上信息，你能获得什么结论？

以上信息表明，虽然这两个函数在区间[0,∞)上都

，但他们的增长速度

，函数

的增长速度

,而函数

的增长速度在

.单调递增不同保持不变变化长沙市珺琟高级中学探究1：一次函数与指数函数增长的差异

如果自变量的变化范围再大一些，图像会是什么样呢？长沙市珺琟高级中学0102444168664128256161010242012409624………探究1：一次函数与指数函数增长的差异长沙市珺琟高级中学探究1：一次函数与指数函数增长的差异

从图象可以看出，当自变量

越来越大时，

的图象就像与

轴

一样，

的值

增长；而函数

的增长速度保持

,与函数

的增长速度相比几乎

.快速不变微不足道垂直长沙市珺琟高级中学探究1：一次函数与指数函数增长的差异

综上所述，虽然函数

与

在区间[0,+∞)上都

，但它们的

不同，而且不在同一个

上.随着

的增大，

的增长速度

，会超过并

的增长速度.尽管在

的一定变化范围内，

会

，但由于

的增长最终会

的增长，因此总会存在一个

，当

时，恒有

.单调递增增长速度“档次”越来越快远远大于小于快于长沙市珺琟高级中学探究1：一次函数与指数函数增长的差异

一般地，指数函数

与一次函数

的增长差异都与上述情况类似.即使

的值远远大于

的值，

的增长速度最终都会

的增长速度.大大超过长沙市珺琟高级中学真的吗？要不要试一下？不妨以

为例研究一次函数与对数函数增长的差异探究2：一次函数与对数函数增长的差异长沙市珺琟高级中学0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786………探究2：一次函数与对数函数增长的差异长沙市珺琟高级中学0不存在0100.120.3010.230.4770.340.6020.450.6990.560.7780.6………探究2：一次函数与对数函数增长的差异根据所作图像，你能获得哪些信息？

函数

与

在(0,70]有

个交点，交点为

和

.两（10,1）?长沙市珺琟高级中学探究2：一次函数与对数函数增长的差异根据所作图像，你能获得哪些信息？

虽然它们在(0,+∞)上都

,但增长速度存在着明显的

.函数

的增长速度保持

，而

的增长速度在

.随着

的增大，函数

的图像离

轴

,而函数

的图像

,就像与

轴

.单调递增差异不变变化越来越远越来越平缓平行一样长沙市珺琟高级中学探究2：一次函数与对数函数增长的差异

例如lg10=1,lg100=2,lg1000=3,lg10000=4;而

，

，

，

，这说明，当

时，即

时，

与

相比增长得就很慢了.长沙市珺琟高级中学探究2：一次函数与对数函数增长的差异思考？

如果将

放大1000倍，再对函数

和

的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？长沙市珺琟高级中学探究2：一次函数与对数函数增长的差异长沙市珺琟高级中学探究2：一次函数与对数函数增长的差异

一般地，虽然对数函数

与一次函数

在区间(0，+∞)上都

，但它们的增长速度

.随着

的增大，一次函数

保持

的增长速度，而对数函数

的增长速度

.单调递增不同固定越来越慢长沙市珺琟高级中学探究2：一次函数与对数函数增长的差异

即使

的值很小，在一定范围内，

可能会

,但由于

的增长最终会

的增长，因此总会存在一个

，当

时，恒有.大于慢于长沙市珺琟高级中学探究3

类比上述过程，

（1）画出一次函数

，对数函数和指数函数

的图像，并比较它们的增长差异；

（2）试着概括一次函数

，对数函数

和指数函数

的增长差异；

（3）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.

长沙市珺琟高级中学探究3长沙市珺琟高级中学“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”练习