北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》第2课时 销售问题与和差倍分问题 知识清单

北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》第2课时销售问题与和差倍分问题知识清单

一、核心概念与模型构建思想

【基础】【核心素养：数学建模】

本清单聚焦于二元一次方程组在实际问题中的两大经典应用场景：商品销售中的数量关系与总量计算中的和差倍分关系。其核心思想在于将文字描述的生活情境转化为抽象的数学符号系统。具体而言，即通过设定未知数，寻找题目中隐含的两个等量关系，从而列出方程组并求解。这不仅是本章的重点，也是后续学习不等式、函数应用的基础。解决此类问题的关键在于准确理解“售价”、“进价（成本）”、“利润”、“利润率”、“折扣”以及“和”、“差”、“倍”、“分”、“几倍多（少）几”等术语的数学含义，并能在复杂情境中识别出这些关系。

二、销售问题专题

【高频考点】【难点】

（一）、必备概念与基本关系式

【重要】在商品销售过程中，涉及的核心量包括进价（成本价）、标价（定价）、售价、利润、利润率以及折扣。

1、进价（成本价）：商家购进商品时的价格。

2、标价（定价）：商家出售商品时标注的价格。

3、售价：商家最终售出商品的实际价格。

4、折扣：几折出售，表示实际售价是标价的百分之几十。例如，打八折，即售价=标价×80%。

5、利润：商家销售商品所赚的钱。利润=售价-进价（成本）。

6、利润率：利润占进价（成本）的百分比。利润率=(利润÷进价)×100%。

【★必背公式】

（1）售价=标价×(折扣÷10)

（2）利润=售价-进价

（3）利润率=(利润÷进价)×100%

（4）进价=售价÷(1+利润率)（常用于已知利润率求进价或成本）

（5）总利润=单件利润×销售数量

（二）、常见题型与等量关系分析

【热点】销售问题通常有两种设问方式，一种是求单价（如每件衣服多少钱），另一种是求数量（如卖出多少件）。解题时，无论哪种，都需要从“单价”、“数量”、“总价”三个维度，结合“总销售额”、“总成本”、“总利润”来寻找等量关系。

1、单一商品销售变化问题

题型特征：题目描述某种商品因打折或调价，导致销量发生变化，最终给出总利润或总销售额。

解题策略：通常设该商品的进价为x元，标价为y元。利用“打折后的售价”与“打折前后的销量”来表示“打折前后的总利润”或“打折前后的总销售额”，从而列出方程组。

示例：某商品按标价出售，每件利润为进价的50%。后因滞销，按标价的八折出售，每件仍能获利20元，求该商品的进价和标价。

等量关系一：标价-进价=进价×50%

等量关系二：标价×80%-进价=20

2、两种或多种商品组合问题

题型特征：题目中涉及两种或两种以上的商品，分别给出它们的单价、数量、总价等信息，通常是已知总价和、总差价或某种数量关系。

解题策略：设两种商品的单价（或数量）分别为x和y。根据“总价和”或“总价差”列出一个方程，再根据题目中给出的另一种关系（如“甲商品单价比乙商品多…”、“甲商品数量是乙商品的2倍”等）列出第二个方程。

示例：购买5件甲商品和3件乙商品需付240元，购买3件甲商品和5件乙商品需付200元，求甲、乙两种商品的单价。

等量关系一：5x+3y=240

等量关系二：3x+5y=200

3、含有“利润率”或“折扣”的销售问题

【非常重要】此类问题信息量大，条件隐蔽，是考试中的压轴题常客。

解题步骤：

（1）仔细审题，分清每个量是“进价”、“标价”还是“售价”。

（2）找出题目中关于“利润”或“利润率”的直接或间接描述。

（3）利用利润率公式，将“利润”用“进价”或“售价”表示出来。

（4）特别注意“打折”是在“标价”的基础上进行的。

示例：某商场将某品牌服装按进价提高50%后标价，再以八折销售，结果每件仍可获利60元。求这种服装每件的进价是多少元？

解析：设进价为x元，则标价为(1+50%)x元，售价为(1+50%)x×80%元。

等量关系：售价-进价=60，即(1+50%)x×80%-x=60。

（三）、【易错点警示】

【难点】

1、折扣混淆：务必记住“打n折”是指标价的十分之n（即n/10），而不是百分之n。例如打八折是乘0.8，而非乘8。

2、利润率基准混淆：利润率是相对于“进价（成本）”而言的，不是相对于标价或售价。题目中说“利润是进价的50%”与“利润率是50%”是等价的。

3、单位问题：在涉及“总价”时，要确保单价和数量的单位一致。如果题目给出的是“每斤”、“每千克”，而问的是“总价”，要注意是否需要换算。

4、理解“获利”与“亏损”：获利即为正利润，亏损即为负利润（利润为负数）。亏损20%即利润率为-20%。

三、和差倍分问题专题

【基础】【高频考点】

（一）、概念理解与关系转化

和差倍分问题是描述两个或多个量之间通过“和”、“差”、“倍”、“分”等形式关联起来的数学问题。这类问题的核心是将自然语言中的关系词准确地翻译成数学符号（即方程）。

1、“和”：表示两个量相加。如“A与B的和是10”表示为A+B=10。

2、“差”：表示两个量相减。需注意谁减谁。如“A比B多5”表示为A-B=5或A=B+5；“B比A少5”同样表示为A-B=5或A=B+5。

3、“倍”：表示一个量是另一个量的几倍。如“A是B的3倍”表示为A=3B。

4、“分”：常指分数或几分之几。如“A的1/3等于B”表示为(1/3)A=B。

5、“几倍多几（少几）”：这是复合关系。如“A比B的2倍多3”表示为A=2B+3；“A比B的一半少4”表示为A=(1/2)B-4。

（二）、典型情境与等量关系挖掘

【热点】这类问题往往依附于特定的生活情境，如数字问题、年龄问题、分配问题、配套问题等。

1、数字问题

题型特征：涉及两位数、三位数的数字问题。关键要理解十进制数的表示法。

核心关系：一个两位数=十位数字×10+个位数字。

一个三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字。

常见描述：“十位数字与个位数字的和是9”，“对调十位和个位后得到的新数比原数大9”。

示例：一个两位数，十位数字比个位数字大3，将十位与个位数字对调后，所得新数比原数小27，求这个两位数。

设十位数字为x，个位数字为y。

等量关系一：x-y=3

等量关系二：(10x+y)-(10y+x)=27(注意原数与新数的大小关系)

2、年龄问题

题型特征：涉及不同对象在不同时间的年龄关系。其核心特点是“年龄差”永远不变。

解题策略：通常设现在两人的年龄分别为x和y。根据“过去”、“现在”、“将来”的时间节点，利用年龄差不变构造等量关系。

示例：父亲今年比儿子大30岁，5年后父亲的年龄是儿子的3倍，求今年父亲和儿子各多少岁？

设今年父亲x岁，儿子y岁。

等量关系一：x-y=30

等量关系二：x+5=3(y+5)

3、分配与配套问题

题型特征：常见于工程或生产场景，如“一部分人生产螺栓，一部分人生产螺母，一个螺栓配两个螺母”等。或者是“将一些物资分给若干人，每人分多少，则多多少；每人分多少，则少多少”（盈亏问题）。

核心关系：对于配套问题，关键是找到配套比例，并将其转化为等量关系。例如，螺栓与螺母1:2配套，意味着“螺母数量=2×螺栓数量”。

对于盈亏问题，关键是抓住“总人数”和“物资总数”不变。设人数为x，物资为y。第一种分配方式：y=5x+3；第二种分配方式：y=6x-4。

4、几何图形问题

题型特征：利用长方形的周长、面积等公式，结合边长之间的和差倍分关系列方程。

核心关系：长方形周长=2×(长+宽)；长方形面积=长×宽。

示例：一个长方形的长比宽的2倍少1cm，周长为22cm，求长和宽。

设长为x，宽为y。

等量关系一：x=2y-1

等量关系二：2(x+y)=22

（三）、【易错点警示】

【重要】

1、倍数关系谁是谁的几倍：务必分清主体。“A是B的几倍”写作A=kB；而“A比B增加了k倍”则写作A=(k+1)B。

2、和差关系中的减法方向：“A比B多m”和“B比A少m”是同一个等量关系的两种说法，即A-B=m或A=B+m。

3、数字问题中位数的表达：容易漏掉位权。例如，将两位数直接写作x+y是错误的，必须写成10x+y。

4、年龄问题中时间点的同步性：描述“几年后”时，所有人的年龄都增加了相同的年数，不能只加一个人。

四、综合拓展与思维提升

【难点】【核心素养：逻辑推理】

（一）、方程组解的实际意义检验

列方程解应用题的最后一步，也是至关重要的一步是“检验”。这不仅是检验计算是否正确，更是检验解是否符合实际情境。

1、是否符合实际意义：例如，人数、商品件数、长度等应为非负数，有时还必须是整数（如人数）。如果解出人数为小数，则需回头检查方程是否列错，或者题目是否有特殊说明。

2、是否满足题目中所有隐含条件：例如在销售问题中，售价是否合理（通常售价大于进价才有利润），折扣是否在规定范围内（如0到10折）。

（二）、多角度寻找等量关系

同一个题目，往往可以有不同的设元方式和等量关系选择。例如，在销售问题中，既可以直接设进价和售价，也可以间接设成本价和利润。学会多角度分析，可以优化解题过程，减少计算量。

例如：已知某商品打九折后，利润率为44.1%，求该商品原来的利润率。

常规解法：设进价为a，标价为b。则0.9b-a=44.1%a。

技巧解法：利用“售价”作为桥梁。将进价看作单位“1”，则打九折后的售价为1×(1+44.1%)=1.441。由此可反推标价为1.441÷0.9≈1.601。所以原利润率为(1.601-1)×100%=60.1%。

（三）、与其他知识模块的交汇

【热点】二元一次方程组常与以下知识结合考查：

1、与不等式结合：题目中不仅有等量关系，还有不等关系（如“至少”、“最多”、“不超过”）。通常先利用方程组求出相关量的表达式或值，再根据不等式确定取值范围。

2、与一次函数结合：在方案决策问题中，常需要列出两种方案的函数表达式，然后通过解方程组求交点，再结合不等式讨论最优方案。

3、与数据的收集与整理（统计）结合：给出统计图表（如条形图、扇形图），要求从图表中提取信息，列出方程组解决实际问题。

五、解题步骤规范与策略总结

【重要】【核心素养：数学运算】

（一）、通用解题六步法

1、审题：通读全题，分清已知量和未知量，理解问题背景，明确题目所求。圈出关键词，如“共”、“比…多”、“是…几倍”、“打折”、“获利”等。

2、设元：

（1）直接设元：题目问什么，就设什么为未知数。

（2）间接设元：当直接设元不易列出方程时，可选择设与所求量相关但更易表达等量关系的量为未知数（如在数字问题中设数位上的数字）。

（3）设辅助元：在某些情况下，可以设一个或多个参数作为桥梁，这些参数可能在求解过程中被消去。

3、列方程组：

（1）寻找等量关系：这是最关键的一步。从题目描述中找出两个能代表问题核心的等量关系。

（2）用代数式表示：将等量关系中的文字用含有未知数的代数式表示出来，形成方程。

4、解方程组：选择代入消元法或加减消元法，准确求解。

5、检验：

（1）检查解是否正确，即代入原方程组看是否成立。

（2）检查解是否符合实际意义（如人数为整数，价格为正数等）。

6、作答：完整、清晰地写出答案，单位要准确。

（二）、常见考查方式与应对策略

1、选择题与填空题：通常考查概念理解和简单计算。常用技巧包括验证法（将选项代入题目验证）、特殊值法等。

2、解答题：要求完整的解题过程。必须严格遵循“设-列-解-验-答”的步骤。过程要清晰，等量关系可以在草稿纸上分析清楚后再落笔。

3、实际应用题（方案设计）：题干较长，信息量大。需要学生具备较强的信息筛选和整合能力。答题时，可以先列出所有可能的情况，然后通过计算或比较得出结论，并给出合理建议。

六、考点预测与复习建议

【重要】

1、基础考点：直接考查基本关系式的辨析，如根据利润率公式求进价或利润。

2、中档考点：结合简单的生活情境，如购物打折、图书馆借书、学校分配宿舍等，考查学生建立方程组模型的基本能力。

3、高档考点（压轴题）：常以“方案决策”或“最优选择”的形式出现，将方程组与不等式（组）或函数结合。例如：“某商场计划购进两种型号的电视，给出进价、售价和资金限制，问有几种进货方案？哪种方案获利最