苏教版六年级数学上册：求比一个数多百分之几的实际问题练习与拓展

苏教版六年级数学上册：求比一个数多百分之几的实际问题练习与拓展一、教学内容分析  本节课隶属于“百分数”单元的应用深化部分，其教学坐标需锚定于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域对百分数的要求。从知识技能图谱看，学生此前已掌握百分数的意义、读写及与小数、分数的互化，并能解决“求一个数是另一个数的百分之几”的基础问题。本课的核心技能“求一个数比另一个数多（少）百分之几”，本质上是百分数意义与“求一个数是另一个数的几分之几”数量关系的综合与深化，是百分数应用承上启下的关键节点，直接关联后续的折扣、成数、税率、利率等复杂实际问题。其认知要求已从“理解”迈向“综合应用”。从过程方法路径看，课标强调模型意识和应用意识。本节课正是引导学生经历“实际问题—数学建模—解释应用”完整过程的绝佳载体。学生需要从具体情境中抽象出“（相差量÷单位‘1’的量）×100%”这一数学模型，并能在变式情境中准确识别与灵活应用，这一过程深刻蕴含着数学建模思想与归纳推理方法。从素养价值渗透看，该内容超越单纯的计算，指向数据分析观念与理性决策能力的培育。通过分析“增长”、“提高”、“超额”等现实情境中的数据变化关系，引导学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维分析比较优劣、评估发展态势，从而形成基于数据的理性判断力，实现知识学习向素养养成的自然升华。  学情诊断是实施有效教学的前提。学生已有的基础是百分数意义及简单应用，生活经验中对“增长百分之几”等表述有初步感知。可能的认知障碍集中在两点：一是受“求一个数是另一个数的百分之几”的思维定势影响，易混淆“比较量”与“标准量”；二是对“多百分之几”数量关系的理解易停留在机械记忆公式层面，面对单位“1”不直接或叙述方式变化的复杂情境时，易产生思维混乱。对策上，教学过程将设计多层次的形成性评估：在导入环节通过设问探测前概念；在新授环节通过小组讨论与板演暴露思维过程；在巩固环节通过分层练习诊断应用水平。基于动态评估，教学将提供差异化支持：对于基础薄弱学生，强化线段图等直观表象支撑与分步解析；对于多数学生，聚焦数量关系辨析与模型变式应用；对于学有余力者，引导其探究关系本质并解决开放性问题，实现从“学会”到“会学”的跃迁。二、教学目标  知识目标：学生能完整表述“求一个数比另一个数多（少）百分之几”问题的数量关系，理解其与“求一个数是另一个数的百分之几”问题的内在联系与区别。他们不仅能正确列式（A比B多百分之几：（AB）÷B×100%），更能清晰解释算式中每一步所对应的实际意义，实现算法与算理的统一建构。  能力目标：学生能够独立或在合作中，从生活化情境（如产量增长、价格变化、成绩提高）中准确提取数学信息，识别单位“1”，自主建立“相差量÷单位‘1’的量”的数学模型解决实际问题。进一步发展信息处理、数学语言转换（文字、算式、图表）及解决稍复杂实际问题的综合应用能力。  情感态度与价值观目标：在解决涉及比较、竞争、发展的实际问题中，学生能体会到数学的工具价值，增强用数学知识分析和解释生活现象的主动意识。通过小组协作探究，培养倾听他人观点、有序表达自己思路的合作习惯与严谨求实的科学态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的比较思维、抽象思维与模型建构思维。通过一系列对比性任务（如“是百分之几”与“多百分之几”对比，不同叙述方式的对比），引导学生学会在辨析中把握概念本质。经历从具体实例中归纳共同数量结构，并概括为一般数学模型的过程，强化模型思想。  评价与元认知目标：引导学生运用“找单位‘1’、析数量关系、列式计算、回顾检验”四步解题策略进行自我监控。能够依据清晰的数量关系逻辑评价自己或同伴的解题过程是否正确、表述是否完整，并能在解决问题后反思：“解决这类问题的关键是什么？我容易在哪里出错？”三、教学重点与难点  教学重点：理解并掌握“求一个数比另一个数多（少）百分之几”问题的数量关系与解题思路。其确立依据源于课标要求与学科逻辑：从课标看，该内容是百分数应用的核心“大概念”，是发展学生应用意识和模型观念的重要载体；从学业评价看，这是小学阶段解决百分数实际问题的关键能力点，是考查学生是否真正理解百分数意义、能否进行复杂数量关系分析的典型题型，在中高年级学业水平测试中属高频、高分值考点。  教学难点：准确判断单位“1”的量，并理解“多（少）百分之几”是“求相差量是单位‘1’的量的百分之几”。难点成因在于其思维抽象性与前摄干扰：首先，问题中的单位“1”（即作为比较基准的量）往往隐含在叙述中，需要学生逆向解读，认知跨度较大；其次，学生极易受旧知“求一个数是另一个数的百分之几”的负迁移影响，直接使用“大的数÷小的数”等错误算法。突破方向在于设计从具体到抽象、从对比到概括的认知阶梯，并借助线段图等直观手段，让抽象的数量关系“可视化”。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境图片、动态线段图演示、分层练习题）。实物投影仪。1.2学习材料：设计并印制《学习任务单》（含探究记录区、分层练习区、自我评价区）。准备若干磁贴用于板书结构化呈现。2.学生准备2.1知识预备：复习百分数的意义及“求一个数是另一个数的百分之几”的解题方法。2.2学具：直尺、彩笔（用于画线段图）。3.环境布置3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于讨论与交流。3.2板书记划：黑板分区规划：左侧核心问题与模型区，中部探究过程区，右侧练习反馈与小结区。五、教学过程第一、导入环节  1.创设情境，激活旧知：“同学们，咱们班图书角上学期有图书120本，这学期新增了一些，现在有150本。你能用学过的百分数知识提一个数学问题吗？”（预设学生提出：“现在的图书本数是上学期的百分之几？”）“好，谁能列式解答？（150÷120）这是求一个数是另一个数的百分之几，我们已经掌握了。”  1.1制造冲突，引出新知：“如果我这样提问：‘这学期的图书本数比上学期增加了百分之几？’还能直接用150除以120吗？这个问题的意思和刚才一样吗？感觉哪里不一样了？”（引导学生感知“是百分之几”与“多百分之几”的差异）。“看来，这里藏着一个新的百分数问题。它和旧知识有什么联系？又该怎么解决呢？这就是我们今天要攻克的堡垒。”  1.2明晰路径，树立目标：“我们将通过几个闯关任务，一起从具体例子中寻找规律，总结方法，最后成为解决这类问题的高手。首先，请拿出任务单，进入我们的第一个探究。”第二、新授环节  本环节通过搭建渐进式认知脚手架，引导学生自主建构数学模型。预计用时28分钟。任务一：建立模型——从“具体量”到“关系式”教师活动：首先，聚焦导入问题：“这学期图书150本，上学期120本，求‘增加了百分之几’。”教师引导：“‘增加百分之几’比较的是哪两个量？（增加的本数和…？）”利用课件动态演示线段图：先画一条线段表示上学期的120本（标为“单位‘1’”），再画一条更长的线段表示这学期的150本，突出多出来的一段。“多出来的这一段表示什么？（增加的本数）那‘增加百分之几’就是求谁是谁的百分之几？”（增加的本数是上学期本数的百分之几）。教师板书核心分析：“比上学期增加百分之几→就是求‘增加的本数’是‘上学期本数’的百分之几。”接着，引导学生列式：先求增加量（150120=30本），再求增加量是单位“1”的百分之几（30÷120）。最后，将具体数字抽象：“如果这学期是A本，上学期是B本，求A比B多百分之几，该怎么表示？”引领学生得出：（AB）÷B。学生活动：观察线段图演示，理解“增加百分之几”的实质是比较“增加量”和“上学期本数”。跟随教师引导，口头表述数量关系。尝试列式计算。参与抽象过程，尝试用字母表示一般关系式。即时评价标准：1.语言表达：能否用自己的话说出“求增加百分之几就是求增加量是单位‘1’的百分之几”。2.图示理解：能否在线段图上正确指出比较的哪两个量。3.列式迁移：在教师引导下，能否从具体数字计算顺利过渡到抽象字母表达式。形成知识、思维、方法清单：4.★核心模型：“求甲比乙多百分之几”的数学模型是：（甲乙）÷乙×100%。其本质是求“相差量”是“单位‘1’（乙）”的百分之几。（教学提示：务必强调“÷”后面是单位“1”的量，这是易错核心。）5.关键方法——线段图辅助分析：当数量关系较抽象时，画线段图能直观显示谁和谁比，谁是标准（单位“1”），谁是比较量，谁是相差量。（认知说明：这是将抽象问题形象化的关键策略。）6.一般化过程：从具体数字算例到抽象字母公式，是数学建模的重要步骤，体现了数学的概括性。任务二：解剖算法——理解“先求差，再除法”的算理教师活动：“我们得到了公式（AB）÷B。可老师有个疑问，为什么非得‘先求差’呢？直接A÷B不行吗？”组织小组讨论2分钟。请小组代表发言。教师总结并利用课件强化：“A÷B求的是‘A是B的百分之几’，它包含了‘B本身（100%）’和‘多的部分’。比如150÷120=125%，这125%里，有100%是上学期本数自身，多出来的25%才是增加的百分比。所以，要求‘纯增加’的部分，必须先把B自身的那100%减掉，也就是先求A与B的差。”学生活动：开展小组讨论，思考并辩论“为什么不能直接用A÷B”。尝试结合具体例子（如150是120的125%）解释125%的构成。倾听教师总结，深化理解“先求差”的必要性。即时评价标准：1.讨论深度：小组讨论是否围绕核心问题展开，能否举例说明。2.解释能力：发言学生能否清晰解释A÷B结果的含义，并与“多百分之几”的含义进行区分。形成知识、思维、方法清单：3.★算理辨析：A÷B求得的是“A是B的百分之几”（或称“对应分率”），其结果包含两部分：单位“1”（即100%）和“多出的分率”。（教学提示：此辨析是突破难点的关键，务必让学生想透。）4.对比思维：通过对比“A是B的百分之几”与“A比B多百分之几”这两个相似问题的算法与结果含义，可以更深刻地理解每一个算式的意义。（认知说明：比较是澄清概念、避免混淆的利器。）任务三：对比迁移——探究“少百分之几”教师活动：变换情境：“如果这学期图书是100本，上学期是120本，求‘这学期比上学期少百分之几’。”提问：“‘少百分之几’又是在求谁是谁的百分之几？单位‘1’是谁？”引导学生类比“多百分之几”进行分析，得出：求“减少的本数”是“上学期本数”的百分之几。列式：（120100）÷120。追问：“如果直接用B÷A（100÷120）可以吗？为什么？”强化理解。学生活动：模仿任务一的思维路径，独立分析“少百分之几”的数量关系。尝试画线段图说明。回答教师追问，巩固算理。即时评价标准：1.类比应用：能否将“多百分之几”的分析方法迁移到“少百分之几”问题中。2.单位“1”确认：能否明确指出“少百分之几”问题中，单位“1”仍是作为比较基准的“原来的量”（上学期）。形成知识、思维、方法清单：3.★模型统一：“求甲比乙少百分之几”的模型为：（乙甲）÷乙×100%。本质是求“少的量”是单位“1”（乙）的百分之几。（教学提示：强调模型结构一致，只是“相差量”的计算方向不同。）4.易错点预警：在“少百分之几”问题中，学生易错将单位“1”误判为“现在的量”。需通过反复提问“跟谁比？”来强化判断。（认知说明：单位“1”的判断是此类问题的命门。）任务四：变式应用——灵活识别单位“1”教师活动：出示一组表述变式题，引导学生只列式不计算。①苹果有20箱，梨有25箱，梨比苹果多百分之几？②苹果有20箱，梨比苹果多5箱，梨比苹果多百分之几？③一件衣服原价200元，现价160元，降价百分之几？教师活动：逐题引导：“第①题，谁和谁比？单位‘1’是？怎么列式？”“第②题，直接给了‘多5箱’，这个量对应模型里的哪一部分？”“第③题，‘降价百分之几’就是求什么？”重点对比①和②，让学生体会当直接给出“相差量”时，计算更简洁。学生活动：独立审题，识别每道题中的比较对象与单位“1”。口头列式，并说明理由。在对比中感受题目条件的多种呈现形式。即时评价标准：1.信息提取：能否从不同的文字叙述中准确找出比较的两个量和单位“1”。2.模型识别：无论条件是否直接给出相差量，都能正确对应到模型（相差量÷单位“1”）进行列式。形成知识、思维、方法清单：3.★问题变式：实际问题中，“多（少）的量”可能直接给出，也可能需要间接求出。关键在于始终抓住核心关系：（比较量标准量）÷标准量，或（相差量）÷标准量。（教学提示：训练学生从多变表述中识别不变结构的能力。）4.生活语言转化：“提高”、“增长”、“增产”、“降价”、“打折”、“节约”等生活词汇，都对应“多百分之几”或“少百分之几”的数学问题。（认知说明：这是数学应用意识的具体体现。）任务五：归纳概括——形成解题策略教师活动：引导学生回顾以上探究过程，共同总结解决“求一个数比另一个数多（少）百分之几”问题的步骤与关键。教师板书提炼：“解题三步曲：1.找：找准单位‘1’（跟谁比，谁就是单位‘1’）。2.算：算出相差量（或多量，或少量）。3.除：用相差量除以单位‘1’的量。”“核心口诀：‘多（少）谁百分之几，就是求多（少）的量是谁的百分之几’。”学生活动：参与总结，复述解题步骤。记录关键点。即时评价标准：1.概括能力：能否清晰、有条理地总结出解题的关键步骤和注意事项。形成知识、思维、方法清单：2.★解题策略：“找、算、除”三步法，为解决此类问题提供了清晰的思维路径和操作程序。（教学提示：策略性知识能帮助学生有效迁移，应要求内化。）3.元认知提示：解决问题后养成反思习惯：我找的单位“1”对吗？我的算式符合“相差量÷单位‘1’”这个结构吗？（认知说明：培养解题后的反思习惯是提升正确率的重要保障。）第三、当堂巩固训练  设计分层练习，限时10分钟，随后进行针对性讲评。  基础层（全体必做）：1.根据条件，只列式不计算。①50比40多百分之几？②80比100少百分之几？【反馈：投影展示列式，重点提问单位“1”，全班核对。】  综合层（多数学生完成）：2.实际问题。①某工厂上月计划生产零件2000个，实际生产了2500个，实际产量比计划增产百分之几？②一种电器，原价1200元，国庆节促销，现价1020元，价格降低了百分之几？【反馈：学生独立完成，教师巡视，选取典型解法（包括正确与错误）用实物投影展示，引导学生互评。重点分析错误原因，如单位“1”找错、列式顺序错误等。】  挑战层（学有余力选做）：3.拓展题。王师傅加工一个零件，原来需要10分钟，技术革新后只需要8分钟。他的工作效率提高了百分之几？（提示：工作效率可用“每分钟完成几个零件”或“每个零件需要几分钟”来衡量，选择一种方式思考）【反馈：请完成的学生分享思路，突出对“工作效率”这一概念的理解和转化，表扬创新思维。】  “同学们，做完后可以对照黑板上的‘解题三步曲’自己检查一下，也可以和同桌轻声交流一下你的解法。”第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与反思，用时约5分钟。  “这节课我们聚焦于一个核心问题。谁来分享一下，你最大的收获是什么？”（引导学生从知识、方法、思维层面总结）。教师随后用课件展示简洁的思维导图，梳理本课核心：中心问题——求一个数比另一个数多（少）百分之几；核心模型——（相差量÷单位“1”的量）；解题关键——找准单位“1”；思想方法——模型思想、比较思维。  “看来大家都抓住了精髓。那么，在解决这类问题时，你认为最需要提醒自己和同学注意的是什么？”（引导学生关注易错点，强化元认知）。  最后布置分层作业：【必做】完成练习册第X页基础题。【选做】（二选一）①寻找生活中两个相关的数据，编一道“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的应用题并解答。②思考：如果已知甲比乙多25%，能否求出乙比甲少百分之几？为什么？这个问题留给大家课后琢磨，下节课我们来揭秘。六、作业设计  基础性作业（必做）：  1.直接写出下列问题的算式（不计算）。   (1)30是25的百分之几？(2)30比25多百分之几？(3)25比30少百分之几？  2.解决问题。   (1)小华家去年收稻谷8吨，今年收稻谷9.6吨。今年比去年增产百分之几？   (2)从甲地到乙地，客车需要4小时，货车需要5小时。客车的速度比货车快百分之几？（提示：把路程看作单位“1”）  拓展性作业（建议完成）：  3.调查报告：请你查阅（或询问家长）家里近两个月的水费或电费账单，计算本月用量比上月增加或减少了百分之几，并简要分析可能的原因。  探究性/创造性作业（选做）：  4.数学小探究：如果甲数比乙数多a%（a>0），那么乙数比甲数少百分之几？这个百分比也是a吗？请通过举例、计算、推理等方式进行研究，并尝试得出结论。七、本节知识清单及拓展  1.★核心概念：“求一个数比另一个数多（少）百分之几”是百分数应用的一类典型问题，其本质是求两个数的相差量占标准量（单位“1”）的百分之几。  2.★基本模型：若甲数比乙数多百分之几，则模型为：(甲数乙数)÷乙数×100%。若求“少百分之几”，则将分子改为（乙数甲数）。  3.★单位“1”的判定：这是解题的基石。口诀：“比谁，谁就是单位‘1’”。例如“A比B多…”，则B是单位“1”。  4.★与旧知的区别：“求A是B的百分之几”用A÷B；而“求A比B多百分之几”先用(AB)，再除以B。前者结果可能≥100%，后者结果则直接表示“多出”的比例。  5.关键技能：能熟练运用线段图辅助分析，将文字描述的数量关系可视化，明确谁与谁比，谁是基准。  6.解题策略（三步法）：一找（单位“1”），二算（相差量），三除（相差量÷单位“1”）。  7.易错点警示：常见错误有：①列式时忘记“先求差”，误用大数直接除以小数；②在“少百分之几”问题中，误将“现在的量”当作单位“1”。  8.生活语言链接：“增产/增长/提高/上涨…%”对应“多百分之几”；“降价/减少/节约/下降…%”对应“少百分之几”。  9.算理深化：为什么是“(AB)÷B”而不是“A÷B”？因为A÷B得到的是A对应于B的“分率”，它包含了B自身的“1”（即100%）和多的部分。要求纯“多出”的比例，需减去B自身的那一份。  10.模型变式：当题目直接给出“多的量”或“少的量”时，可直接用这个“相差量”除以单位“1”的量，简化计算步骤。  11.▲思想方法：本节课深刻体现了数学模型思想——从具体问题中抽象出统一的数学结构（公式）。以及比较与辨析的思维方法。  12.▲拓展思考：已知甲比乙多a%，乙比甲少百分之几？二者并不相等。因为前后两次比较的单位“1”不同。前者单位“1”是乙，后者单位“1”是甲。设乙为1，则甲为(1+a%)，乙比甲少：[(1+a%)1]÷(1+a%)=a%/(1+a%)。八、教学反思  （本反思基于假设的课堂教学实况展开）  （一）目标达成度分析  从课堂观察和随堂练习反馈看，预设的知识与能力目标基本达成。绝大多数学生能正确运用模型解决基础及常规变式问题，表明对核心数量关系的理解是到位的。在“挑战层”练习中，约三分之一的学生能尝试解决工作效率问题，体现出一定的思维灵活性和迁移能力。情感目标在小组讨论和分享生活实例环节有所体现，学生参与积极性较高。然而，科学思维目标中的“模型建构”过程，部分学生可能更多处于“跟随验证”而非“主动发现”的状态，思维的深刻性有待进一步激发。元认知目标在课堂小结的自我提醒环节有初步渗透，但形成稳定的反思习惯还需长期训练。  我注意到，在“任务二”的算理辨析环节，当提问“为什么不能直接用A÷B”时，教室里出现了短暂的沉默和思考的迹象。这正是我希望看到的认知冲突点。“好，看来这个问题问到点子上了，有点难度。我们不急着回答，同桌之间先交换一下想法。”这种适时的等待和引导，比直接给出答案更有价值。  （二）教学环节有效性评估  1.导入环节：以班级图书角数据创设情境，真实且贴近学生，成功引发了“是百分之几”与“多百分之几”的认知冲突，驱动了探究欲望。  2.新授环节（任务链）：五个任务构成的阶梯总体流畅。“任务一”建立模型是基础，“任务二”解剖算理是深化理解、破除迷思的关键，这个环节投入时间是值得的。“任务四”的变式应用及时检验并巩固了模型的应用灵活性。但“任务三”到“任务四”的过渡略显平铺直叙，或许可以设计一个整合了“多”与“少”的对比情境，让学生在一次审题中完成双重判断，思维挑战性会更强。  3.巩固与小结环节：分层练习满足了不同需求，挑战题的设计为学优生提供了发展空间。但讲评时，对典型错误（如单位“1”判断错误）的归因分析还可以更透彻，可以请出错学生讲述当时想法，暴露思维过程，再针对性纠正。课堂小结由学生主导生成思维导图的核心部分，效果会优于教师直接呈现。  （三）学生表现深度剖析  课堂中，学生大致呈现三类状态：第一类是“顺畅迁移者”，能快速理解模型并应用，在挑战题中表现出色。对这类学生，应鼓励他们探究更本质的关系（如知识清单第12点）或承担“小老师”角色。第二类是“稳步跟随者”，占大多数，能通过课堂学习掌握方法，但在独立面对新情境时需要时间反应。他们最受益于清晰的步骤指导和充足的变式练习。第三类是“存在困惑者”，个别学生在单位“1”判断和列式上反复出错。他们可能需要更个性化的支持，如使用颜色笔在线段图上做标记，或使用“先口头陈述‘谁比谁多，多的是谁的百分之几’，再列式