2026高中数学一轮总复习：第三章 一元函数的导数及其应用（ 学生卷）

第一节导数的概念、运算及几何意义

课标要求

1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；通过函数图象直观理

解导数的几何意义.

2.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x^,），=：,了=«的导数.

3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如/

（or+b））的导数.

知识■逐点夯实»»由修斯RI■前自传

/蚯次植理夯基

1.导数的概念

（1）平均变化率：对于函数尸/⑴，我们把比值於即当=叫做函数），=/（x）从即到即+

心的平均变化率；

提醒可以是正值，也可以是负值，但不为（）.

（2）函数y=/（x）在x=xo处的导数：函数尸/⑴在x=xo处的瞬时变化率lim?=lim，十同）一，一。）叫

做函数y=f（x）在x=M）处的导数，记作f（Xo）或y'I丫_，即f（Xo）=lim?=lim'"；

（3）导函数：当x变化时，y=f（x）就是x的函数，我们称它为y=/（x）的导函数（简称导数），y=f（x）的

导函数有时也记作■即/（x）=了=△处。二三等^^；

提醒,「（的）代表函数f（x）在％=沏处的导数值；（/（次））'是函数值/（沏）的导数，而函数值/（xo）是一个

常量，其导数一定为0,即（/（xo））'=0.

（4）复合函数的导数：复合函数），=/（g（x））的导数和函数），=/（〃），〃=g（x）的导数间的关系为人

2.导数的几何意义

函数1y=/（x）在x=xo处的导数就是曲线），=/（x）在点P（xo»yo）处切线的________,相应的切线方程为），一y（）

=k（x-xo），其中k=lim/"（的）

△x-0政

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导数

f(x)=cCc为常数)f（%）=_____

/(x)=/(a£R,且aKO)f(x)=_____

f(x)=sinxf(x)=______

f(x)=cosxf(x)=_____

f(x)=evf(x)=_____

/(x)=aK(t/>0,且f(A-)=_____

f(x)=lnxf（X）=_____

f(x)=log(Ar(t/>0,且a#l)f（X）=_____

4,导数的运算法则

(1)[f(X)±8(X)r=；

(2)Y(X)G(X)r=；

(3)J'=(g(x)#0).

g<x)-------------------------°

口常用络论

I.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.

2.函数)，=f(x)的导数,「(x)反映了函数/(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，1/(x)I的大

小反映了/(x)图象变化的快慢，l/G)I越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

3.[af(x)±bg(x)Y=af(x)±bg,(x).

f市召篇咨断

I.判断正误.(正确的画“Y”，错误的画“x”)

(1)f(xo)是函数y=/a)在工=即附近的平均变化率.()

(2)求/Go)时，可先求/(沏)，再求/(xo).()

(3)函数y=sinE的导数为y，=cos;()

(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()

2.下列函数的求导正确的是()

A.(x-2)'=~2x

B.(xcos.v),=cosx-xsinx

C.(In10),=i-o

D.(e")r=2ev

4.(人A选二P81习题3题改编)已知函数/(x)=x(19+lnx),若/(刈)=20,则须=.

5.(人A选二P8I习题5题改编)曲线)，=詈在点P(p0)处的切线方程为.

考点•分类突破»»物造芍点I・宣演僮

的〉______________________导数的基本概念

(基础自学过关)

1.设/上)在X=xo处可导，下列式子与了(X0)相等的是()

A.lim小)一厂…)

AxW，AX

B所/(xo+a-y(x。-a

,△x-02Ax

C.lim厂…x)八°)

△X—OAx

D.lim…。尸……

△x->c-AX

2.若函数/(x)在K=1处的导数为2,则lim…+叩⑴=()

Ax-02AX

A.2B.lC.iD.6

3.已知函数/(文)在R上可导，其部分图象如图所示，设/=小则下列不等式正确的是()

X.a<f(2)<f(4)B.f(2)<a<f(4)

C.f(4)<f(2)<aD.f(2)<f(4)<a

练后悟通

求函数/(x)在x=xo处的导数的步骤

(()

(1)求平均变化率Ay_fx+Ax)-f(4)

AxAx

(2)求瞬时变化率，即取极限lim?,得到/(.to).

婚Q_______________________导数的运算

(基础自学过关)

1.(多选)下列求导运算正确的是()

A.若/(x)=sin(2x+3),则/(x)=2cos(2x+3)

B.若/(x)=e-女+i,则/G)=e-2r+,

C.若/(x)=W，则/(“)=

~e^~

D.若/(x)=x\nxf则/(x)=lnx+1

2.(人A选二P81习题6题改编)己知函数/(x)=2f(3)x-^4-lnx(/(x)是/(x)的导函数)，则/(I)

-()

.20

A「B--Tc1

3.设函数/（x）=1，若,「（1）=3则。=.

练后悟通

函数求导应遵循的原则

（1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速

度，减少差错；

（2）道行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混：

（3）是合函数的求导，要正确分析的数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.

提醒当函数解析式中含有待定系数（如r（沏），a,。等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.

组Q____________________导数的几何意义及应用

（定向精析突破）

考向1求切线方程

[«11（1）（2024.全国甲卷理6题）设函数/（x）=个等，则曲线y=/（x）在点（0,1）处的切线与两坐标

轴所围成的三角形的面积为（）

A-R-

'6'3

C.|D.；

23

（2）过点（0,3）且与曲线n=/一〃+1相切的直线方程为（）

A.x-）-3=0B.x—y+3=0

C.x+y+3=（）D.叶厂3=0

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

1.求在切点P（&,f（xo））处曲线的切线方程

（1）求出函数y=/（x）在点X=M）处的导数，即曲线），=/（x）在点P（xo,f（xo））处切线的斜率；

（2）由点斜式方程求得切线方程为），一/•（%（））=f（xo）•（x-Ao）.

2.求过点。（松，加）的曲线），=/（x）的切线方程

（1）设切点坐标尸'（的,/（xi））；

（2）写出在点尸（即，/（汨））处的切线方程）一/（汨）=f（xP（A--vi）：

（3）将点P（沏，y0）代人求为的值.再代人得所求切线方程.

提醒注意“过”与“在”的区别，前者不一定为切点，而后者一定为切点.

考向2求切点坐标

【倒2】在平面直角坐标系xOy中，点八在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（一e,-1）（e为自

然对数的底数），则点A的坐标是.

听课记录

解题技法

求切点坐标的一般步骤

.，；q展出国敕的寻领/'（*）.通切发生除力（、讣

.出/'g]

J|根播血Weg.切义在切线上.电£]

篇二多0怅.R（n上，”才然（细）术ifc切且横殳M

\/|g・一而一出切点•一林.]

考向3求参数的值（范围）

IM31（人A选二P82习题11题改编）若曲线尸e",在点（0,I）处的切线与直线x+2），+l=0垂直，则片

（）

A.-2B.-1

C.1D.2

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不第式（组），进

而求出参数的值或取值范围.

提醒（I）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.

口跟踪训练

1.已知直线），=履是曲线），=lnx的切线，则切点坐标为（）

A.（-,-1）B.（e,1）

e

C.（友,1）D.（0,1）

2.若曲线），=（x-a）有两条过点（1,0）的切线，则。的取值范围是.

第二节导数与函数的单调性

课标要求

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.

工会利用函数的单调性判断大小,求参数范围等简单应JI1.

学识*逐点夯实'»»好知双I■•自传

曳直蛆夯基

函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

f(x)>0f（x）在区间（a,b）上

函数），=/（1）在区间（小b）上可导f(x)<0/（x）在区间（a,b）上

f(x)=0f（x）在区间（a,b）上是

提醒讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.

口常用结论

用充分、必要条件诠释导数与函数单调性的关系

（1）/（%）>0（<0）在区间（a,b）内恒成立是/（外在区间（a,b）内单调递增（减）的充分不必要条件：

（2）/（x）20（W0）在区间（a,2，）内恒成立是/（工）在区间（〃，万）内单调递增（减）的必要不充分条件；

（3）f（x）20（W0）在区间（a,b）内恒成立且在区间（〃，b）的任意子区间内都不恒等于零是/（x）在区间

（小b）内单调递增（减）的充要条件.

:对点自测

1.判断正误.（正确的画7”，错误的画“x”）

（1）函数/（X）在（4,b）内单调递增，那么一定有/（X）>0.（）

（2）如果/（x）在某个区间内恒有/（x）=0,则/（x）在此区间内没有单调性.（）

（3）若函数/（x）在定义域上都有/（x）>0,则/（外在定义域上一定是增函数.（）

2.（人A选二P86例1（2）改编）函数/（x）=l+x-sin工在（0,2太）上的单调性是（）

A.单调递增

B.单调递减

C.在（0,兀）上单调递增，在（心2兀）上单调递减

D.在（0,71）上单调递减，在（冗，2兀）上单调递增

3.(人A选二P87练习3题改编)函数y=f(x)的图象如图所示，则y=/(x)的图象可能是()

4.(人A选二P87例3改编)设/G)=2?-?,则/(x)的单调递减区间是()

A.(0,pB.g+8)

C.(—8,0)D.(—8,0)和(g,+8)

5.若函数/(x)=h一Inx在区间(1.+8)上单调递增，则上的取值范围是()

A.(—8,—21B.(—8,—I]

C.[2,+8)D.[1,+8)

考点*分类突破»»孵选考点I・曾演II

Wi

>|质数的单调性

(定向精析突破)

者向1不含参函数的单调性

【供1】(I)求函数/(X)=5黑的单调递减区间；

,-x

(2)已知函数/(x)=lnx+e-l,证明/(x)在(0,+-)上单调递增.

解题技法

单调区间的求法

(I)求函数的单调区间时应注意先求定义域；

(2)使/(x)>0的区间为了(X)的单调递增区间，使/(x)V0的区间为了(工)的单调递减区间；

(3)若函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.

考向2含参函数的单调性

【例2】(2023•新高考I卷I9题节选)已知函数/(x)=a(e'+a)-x,讨论/(x)的单调性.

解题技法

讨论函数/(幻单调性的步骤

(I)确定函数/(x)的定义域；

(2)求导数/(%),并求方程r(x)=0的根；

(3)利用=0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论/(x)的正负，由符号确定了

(x)在该区间上的单调性.

提醒研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

1.已知函数/(x)=3，则下列说法中正确的是()

A.函数，(x)是奇函数，且在(-8,-1)上单调递减

B.函数/(x)是奇函数，且在(一8,-1)上单调递增

C.函数/(X)是偶函数，且在(-8,-1)上单调递减

D.函数/(x)是偶函数，且在(-8,-1)上单调递增

2.(2024•全国甲卷文20题改编)己知函数/(x)=a(x-\)-lni+1,求/(x)的单调区间.

函数单调性的简单应用

(定向精析突破)

考向1比较大小

【例31(1)已知函数/(x)=vsinx,xeR,则/弓)，/(I),/(-^)的大小关系为()

A./(--)>/(1)>/(^)

35

>f(-^)>/(j)

CJ《)>f(1)>/(-^)

D./(--)>/(-)>/(1)

35

(2)若函数满足切(x)>-/(x)在R上恒成立，且〃>从则()

A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(/?)

C.af(a)<bf(b)D.qf(b)<bfCa)

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

由函数的单调性比较大小的方法

(1)若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小；

(2)若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性

比较大小.

考向2解不等式

【例4】已知函数/CO=21nx+；x,则不等式/(2x—l)的解集为()

A.(0,|)B,(|,I)

C.(1,1)D.(|,|)

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

利用函数的单调性解不等式的关键

(1)会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数；

(2)会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性：

(3)会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式(组)，通过解不等式(组)，得到未知数的取值范

围.

考向3已知函数单调性求参数

【依5】(2023•新高考II卷6题)已知函数f(x)=ae'-lnx在区间(1,2)上单调递增，则实数。的最小值为

()

A.e2B.e

C.e-1D.e-2

听课记录_________________________________________________________________________________________________

用结论

若可导函数/Cr)在(mb)上存在单调递增区间，则当(小b)时，f(A)>0有解；若可导函数/

(%)在(a,b)上存在单调递减区间，则当(a,b)时，f(x)V0有解.

【烹钠若函数"(x)=lnx—刎2A在[1,4]上存在单调递增区间，则实数〃的取值范围为()

A.[-1,4-oo)B.(-1,+8)

C.(—8,——]D.(—8,——)

1616

解题技法

根据函数单调性求参数取值范围的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理，函数y=/(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集；

(2)函数/(%)在(小b)上单调递增的充要条件是对任意的(a,b)都有/(x)20,且在(小b)的任

一子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

口跟辞训谯

1.若函数/J)的单调递减区间是[-1,4],则。=()

A.-4B.-I

C.1D.4

2.已知函数/(x)=ex-e-r-2r+l,则不等式/(21—3)>1的解集为.

3.已知函数/(x)=一$2—3x+41nx在(/,/+2)上不单调，则实数，的取值范围是.

提示：完成课后作业第三章第二节

第三节导数与函数的极值、最值

课标要求

1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.

2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.

3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.

I知识•逐点夯实通苗对1.苜自传

/研祗理夯基

1.函数的极值与导数

条件f(xo)=0

xo附近的左侧/（X）0,右侧/（X）沏附近的左侧/G）0,右侧（x）

00

极值f（Ao）为极一____值f(xo)为极——值

极值点M为极___值__点戈0为极_—_值__点

提醒/（必）=0是KO为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件,如；fCx）=/，/<0）=0,但x=0不是极

值点.

2.函数的最值与导数

（1）如果在区间［小切上函数V=/（K）的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值；

（2）若函数/（外在［小加上单调递增，则/（。）为函数的,,/*"）为函数的；若函

数/（x）在［a,M上单调递减，则/（〃）为函数的,/（b）为函数的.

口常用络论

1.若函数/（X）在（a,b）上是单调函数，则在（小b）上元极值.

2.若函数/（x）在［m切上是单调函数，则/（x）一定在区间端点处取得最值.

3.若函数/（x）在区间（mb）内只有-一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点.

We.诊断

1.判断正误.（正确的画7”，错误的画“义”）

（1）函数的极大值不一定比极小值大.（）

（2）闭区间上的连续函数必有最值.（）

（3）函数的极大值一定是函数的最大值.（）

（4）开区间上的单调连续函数无最值.（）

（5）设函数y=/（x）在区间（〃，/?）内有极值，那么y=/（x）在区间（mb）内不单调.（)

2.如图是函数y=/(x)的导函数)，=了(幻的图象，下列结论正确的是()

A.y=/(x)在x=-1处取得极大值

B.I是函数y=/(x)的极值点

C.-2是函数)，=/(x)的极小值点

D.函数y=/(x)在区间(—1,1)上单调递减

3.(人A选二P93例6改编〉函数/&〉=lnx-x在区间(0,c]上的最大值为(〉

A.1-eB.-1

C.-eD.O

4.(苏教选一P2I5例4改编)函数/(x)=/一1〃的极小值为，极大值为.

5.(人A选二P104复习参考题9题改编)若函数/(x)在x=2处取得极值，贝。a=.

考点•分类突破»»H选百点I假■演博

函数的极值

(定向精析突破)

考向1由图象判断函数的极值

【僧1】(多选)(2025•玉溪阶段练习)设函数/(x)在R上可导，其导函数为.[(x),且函数产(l-x)/

(X)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数/(x)有极大值/(一2)

B.函数/(x)有极大值/(2)

C.函数/(x)有极小值/(I)

D.函数/(x)有极小值/(2)

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

由图象判断函数)，=/(»的极值要抓住两点

(1)由(x)的图象与x轴的交点，可得函数y=/(x)的可能极值点；

(2)由导图数y=f(x)的图象可以看出j，=f(x)的值的正负，从而可得函数y=/(x)的单调性.两者结合可得

极值点.

考向2求函数的极值(极值点)

【做21已知函数f(x)=\nx-ax(aER).

(1)当时，求，(幻的极值；

(2)讨论函数/(x)在定义域内极值点的个数.

解题技法

求函数的极值或极值点的步骤

(1)确定函数/(x)的定义域；

(2)求导数/G),求方程/Q)=0的根；

(3)检查在方程的根的左右两便J/'(x)的符号，确定极值点和函数的极值.

考向3已知函数的极值求参数

【僧3】若函数/a)=2/+(。-2)有两个极值点，则〃的取值范围是()

A.(—8,—2)B.(—8,—1)

C.(一8,I)D.(一8,2)

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

已知函数极值点或极值求参数的2个要领

(1)刃式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

(2)脸证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

提醒若函数y=/(x)在区间(。，b)内有极值，那么y=/(x)在(a,b)内不是单调函数.

口果踩训练

1.函数/1(X)=?—3x+21nx的极大值与极小值之和为()

A.21n2-6B.In2--

2

C.In2-6D.21112g

2.(2024•邢台高三开学考试)已知函数/(x)=(x-«)(『一x)在x=a处取得极小值，贝U〃=()

A.-1B.0C.1D.0或1

3.若函数/'(X)=ln(2t)+or有大于零的极值，则实数a的取值范围是()

A.(一8,B.0)

ee

C.(0,-)D.(-,十3)

ee

有,____________.函数的最值

(定向精析突破)

考向1不含参函数的最值

【例4】(1)函数/(x)=；x+sinx在［0,2兀］上的最大值是,最小值是

(2)函数/(%)=：—21nx+2v的最小值为.

听课记录

解题技法

利用导数求给定区间上的最值的步骤

(1)求函数/(X)的导数/(X)；

(2)利用/(A)=0求/G)在给定区间上所有可能极值点的函数值；

(3)求/(工)在给定区间上的端点值；

(4)将/(k)的各极值与/(x)的端点值进行比较，确定/(x)的最大值与最小值.

提醒若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则/(%)的最值不存在.

考向2含参函数的最值

【例5】若函数/&)—$3+/一,在区间(a,a+5)内存在最小值，则实数a的取值范围是()

•5

A.[-5,0)B.(一5,0)

C.[-3,0)D.(一3,0)

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的

大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决.

口跟歌训排

1.(2024.东北三省四市联合体模拟)在同一平面直角坐标系内，函数y=/'(x)及其导函数y=/(x)的图象如图

所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1),则()

A.函数丁一/(x)e'的最大值为1

B.函数)，=/(%)©的最小值为I

C.函数)，=等的最大值为1

D.函数)，=等的最小值为1

2.已知函数/(x)=〃”|1工+2的最小值为一〃?，则机=.

提示：完成课后作业第三章第三节

第四节函数中的构造问题

重点解读

高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体的函数解析式，而是给出函数/(x)及其导数满足的条件，这

就需要根据条件构造函数，利用所构造函数的单调性、奇偶性、极值、最值等性质解决问题.

弋点•分类突破>»>■选秀点I■堂落博

闻—>________________________.由导数运算构造函数

(定向精析突破)

考向1利用/(X)与父构造

【例1】已知偶函数/(工)(xWO)的导函数为/(x),且满足/(一1)=0,当人>0时，2f(x)>xf(x),则使

得f(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(-1,1)

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

利用/(x)与炉构造函数

(I)如果题目中出现力'(X)+n'G)形式，构造函数/(x)=Vf(x)；

(2)如果题目中出现.炉(不)-nf(A)形式，构造函数尸(x)=，^二

考向2利用/(X)与8构造

【例2】(多选)己知/(犬)是定义在(一8,+8)上的函数，导函数/Q)满足/(x)</(x)对于x£R恒成

立，则()

A./(2)<e2f(0)B./(2)>e2f(0)

C.e2f(-l)>f(l)D.e2f(~l)<f(l)

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

利用/CO与&'构造函数

(1)对于/(x)+/?/'(x)>()(或〈0),构造函数/(x)=en7,(x)；

(2)对于/(A)-nf(x)>0(或V0),构造函数/(x)

考向3利用/(x)与sin%,cosx构造

【供3】已知函数f(x)的定义域为(一］，］)，其导函数是,「(x).有/(x)cosx+/(x)sin%<0,则关于x的不

等式<2f(^)cosx的解集为()

A.弓，9B.(p；)

3262

C.(一9--)D.T，--)

3626

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

利用/（X）与sinx,cosx构造函数的常见类型

(1)F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f(x)sinx~\~f(x)cosx；

_f(x)l，/、_r(x)sinx—f(x)cosx

(2)F(%)9I\X).；

sinxsin?zx

(3)F(x)=f(x)cosx,F'(x)=f(x)cosx-f(x)sinx：

_f(x)「，/、_/Xx)cosx+/(x)sinx

(4)F(x)9r\X).

cosxcoso^x

口噩踩训练

L函数/1(!•)的定义域为R'/(-I)=2,对任意r£R,f(r)>2,则>2r+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,+«>)

C.(—8,—1)D.(—8,4-00)

2.设函数/(x)是定义在(0,7c)上的函数/(x)的导函数，有.[(x)cosx—f(x)sinx>0,若a=，(g)，b

=0,c=-与f(^-)>则a,b,。的大小关系是()

K.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

3.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x)+f(x)>0,且有/(3)=3,则/(x)>3e3r的解集为.

同构法构造函数

_

（定向精析突破）

考向1同结构构造函数

[1141（1）（2025•温州高三统一测试）己知x,y£R,则ux>y>Vf是ax-\nx>y-\nyM的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）[2024•新乡第三次模拟）设。=净，b=\nV3,c=匕普，其中e是自然对数的底数，则（）

2eL

A.b<a<cB.a<c<b

C.b<c<aD.c<b<a

听课记录_________________________________________________________________________________________________

解题技法

根据所给代数式（等式、不等式）中教学运算的相同点或者结构形式的相同点，构造具体的函数解析式，利

用导数研究该函数的性质从而解决问题.

考向2指对互化构造函数

【假51（2025・烟台期末）已知函数/（x）=e'+x—2,g（x）=ln%+x—2,若X2>0,使得/（乃）=g

（必），则汨工2的最小值为.

听课记录

解题技法

利用恒等式X=^^和X=阴。通过寐转指或紧转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进

行研究.

□KttKtt

1.已知a=?+ln?,b=1+-,c=-+ln2,则（）

32e2

A.c<h<aB.b<c<a

C.c<a<bD.a<c<b

2.设〃，力都为正数，e为自然对数的底数，若ae“〈加nA,则（）

A.ab>eB.b>ea

C.ab<QD.b<ea

提示：完成课后作业第三章第四节

第五节不等式中的恒（能）成立问题

重点解读

用导数解决不等式恒（能）成立问题的常用方法有分离参数法、分类讨论法、拆解法等，其解题思路是构造

新函数分类讨论，将不等式恒（能）成立问题转化为函数的最值问地处理.

解题技法

分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法.一般地，若4>/（X）

对x£Z）恒成立，则只需n>/（x）max；若4（X）对X仁。恒成立，则只需4</（幻mix若存在沏任。，使

（沏）成立，则只需4>/（X〉min；若存在的£。，使4</（松）成立，则只需（X）max.由此构造不等式，求

参数的范围.

己知函数/（x）=lnX—

（1）当4=—I时，求/（X）的极值；

（2）若/（幻20恒成立，求实数ai勺取值范围.

嬲瓢》一分类讨论法解决恒（能）成立问题

（师生共研过关）

「例2】已知函数/（工）=[（〃-1）地一”]+十，若对于任意的XW0,都有/（文）21,求实数4的取值范围.

解题技法

根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参教分类讨论，在

参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题

意即可.

□噩踩训练

(2025遥明“三诊一模”质量检测)已知函数/(x)=署.当时，/(x)Wa(x-1),求a的取值范围.

般翩》.拆解法求解双变量的恒(能)成立问题

(师生共研过关)

2

供3】已知/(JV)=/+xlnx,g(x)=—-x—3.

(1)如果存在即，足£[0，2],使得g(bi)—g(X2)2M成立，求满足上述条件的最大整数M；

(2)如果对于任意的s,[p2],/(j)Ng(f)成立，求实数〃的取值范围.

解题技法

“双变量”的恒(能)成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有：(1)vxi,x2en,f

(为)>g(X2)弓‘(X)min>g(X)max；(2)VjieDi，3X2^Dl，f(Xl)>g(X2)(A)min>g(X)min；(3)

3X|eD|,VX2eD2,f(X|)>g(X2)弓(X)max>g(X)max・

□«KK1C

v

已知函数/(x)=ae—4,g(x)=lnx—x-I,其中e为自然对数的底数，R.若对任意的足£(0,1],总存

在国£(0,1],使得/(即)2g(X2)，求。的取值范围.

提示：完成课后作业第三章第五节

第六节不等式的证明

重点解读

在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造的教，把不等式的

证明问题转化为