2025年世少赛初三数学竞赛真题通关版

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一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.若p是质数，且p+20和p+40都是质数，则p的可能值个数是（）A.0B.1C.2D.32.因式分解x³-4x²+6x-4的结果是（）A.(x-1)(x²-3x+4)B.(x-2)(x²-2x+2)C.(x+1)(x²-5x+4)D.(x+2)(x²-6x+2)3.在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长是（）A.1.5B.2C.2.5D.34.二次函数y=x²-2mx+m²+3的顶点坐标是（）A.(m,3)B.(-m,3)C.(m,-3)D.(-m,-3)5.从1到10这10个自然数中任取2个不同的数，它们的和是偶数的概率是（）A.2/9B.4/9C.5/9D.1/26.关于x的方程x²+kx+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>2或k<-2B.-2<k<2C.k≥2或k≤-2D.-2≤k≤27.圆O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，过P作圆O的切线PA，A为切点，则PA的长是（）A.3B.√39C.√69D.√898.不等式|x-2|+|x+1|≥5的解集是（）A.x≥3或x≤-2B.x≥2或x≤-1C.x≥1或x≤-3D.x≥4或x≤-39.将正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到正方形AB'C'D'，B'C'与CD交于点E，则∠B'ED的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.75°10.已知a+b=3，ab=1，则a³+b³的值是（）A.18B.21C.24D.27二、填空题（总共10题，每题2分）11.最小的正整数n，使得n+1，n+2，n+3都是合数，n=______12.若x²+y²=25，xy=12，则x+y=______13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB边上的高CD=______14.函数y=(x-1)/(x+2)的自变量x的取值范围是______15.已知a=2^55，b=3^44，c=4^33，则a,b,c的大小关系是______16.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是______17.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数组成三位数，其中偶数的个数是______18.圆O的弦AB长为8，圆心O到AB的距离为3，则圆O的半径为______19.已知x+1/x=3，则x²+1/x²=______20.若关于x的方程ax+3=2x+1的解为正整数，则整数a的值为______三、判断题（总共10题，每题2分）21.所有的质数都是奇数。（）22.对角线相等的平行四边形是矩形。（）23.若a>b，则ac²>bc²。（）24.圆的切线垂直于过切点的半径。（）25.任意两个等边三角形相似。（）26.若分式(x²-1)/(x-1)的值为0，则x=1。（）27.函数y=2x+1的图像经过第一、二、三象限。（）28.三角形的外心是三条角平分线的交点。（）29.若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。（）30.方差越大，数据的波动越小。（）四、简答题（总共4题，每题5分）31.已知实数a,b满足a²+b²=10，ab=3，求a+b和a-b的值。32.证明：等腰三角形底边上的高平分顶角。33.求函数y=x²-4x+5的最小值及此时x的值。34.一个口袋中有红球3个，白球4个，黑球5个，从中任取2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。五、讨论题（总共4题，每题5分）35.试讨论二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点个数和判别式Δ=b²-4ac的关系。36.请讨论如何用直尺和圆规作一个角等于已知角，并说明其依据。37.试讨论在三角形中，三边的长度满足什么条件时，三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。38.请讨论如何解一元二次方程，并举出每种方法的例子。答案一、单项选择题答案：1.B2.B3.A4.A5.B6.A7.B8.A9.C10.A二、填空题答案：11.712.±713.12/5（或2.4）14.x≠-215.b>c>a16.817.2418.519.720.0或1三、判断题答案：21.错22.对23.错24.对25.对26.错27.对28.错29.对30.错四、简答题答案：31.由完全平方公式，(a+b)²=a²+2ab+b²=10+6=16，故a+b=±4；(a-b)²=a²-2ab+b²=10-6=4，故a-b=±2。32.设等腰△ABC，AB=AC，AD⊥BC于D。在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，故Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），则∠BAD=∠CAD，即AD平分顶角∠BAC。33.将函数化为顶点式y=(x-2)²+1。因为(x-2)²≥0，所以当x=2时，y取得最小值1。34.总球数12个，任取2个的总情况数为C(12,2)=66。同色情况：C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)=3+6+10=19，故概率为19/66。五、讨论题答案：35.二次函数与x轴的交点个数由判别式Δ决定：Δ>0时，方程有两个不相等实数根，图像与x轴有两个不同交点；Δ=0时，方程有两个相等实数根，图像与x轴有一个交点（顶点在x轴）；Δ<0时，方程无实数根，图像与x轴无交点。36.步骤：①作射线O'A'；②以已知角顶点O为圆心画弧交OA、OB于C、D；③以O'为圆心OC长画弧交O'A'于C'；④以C'为圆心CD长画弧交前弧于D'；⑤作射线O'B'。依据SSS全等：OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，故△OCD≌△O'C'D'，∠COD=∠C'O'D'。37.设最长边为c（a≤b≤c）：c²=a²+b²时，直角三角形（cosC=0，∠C=90°）；c²<a²+b²时，锐角三角形（最长角∠C<90°，所有角为锐角）；c²>a²+b²时，钝角三角形（∠C>90°）。38.解一元二次方程方法：①直接开平方法，如(x-2)²=9，解x=5或x=-1；②配方法，如x²-4x-1=0，配方得(x-2