导数题型全归纳（题型专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题04导数题型全归纳

!目录

i

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

!佟］典例引领囱方法透视囱变式演练

j【解答题破译】

i题型01导数与函数的单调性、极值、最值

j题型02导数与函数的零点

I题型03导数与不等式证明

i题型04导数与三角函数向题

!题型05隐零点问题

\题型06极值点偏移与拐点偏移

!题型07切割线放缩

题型08必要性探路

\题型09端点值问题

题型10函数与导数创新叵题

I

i第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

解答题破译＜

题型01导数与函数的单调性、极值、最值

典例引颔

【例1-1］已知函数/（力=〃7（1-工）一山一1.

⑴当〃?=2时，求曲线y=/（x）在点（L〃l））处的切线方程;

⑵若/（力的极小值小于一1，求m的取值范围；

【答案】（l）3x+y-2=0

⑵加e（-oo,-l）u（-1,0）

⑶证明见解析

【分析】(1)利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程；

(2)函数求导后，根据参数〃?的取值分类讨论，得至时，极小值+构造函

m

数〃W)=l+/〃+ln(—刈(〃］<0),求导推得〃(加)心=〃(—1)=0,即可求得不等式的解集；

(3)由g(x)=0得।-一=0,令y(x)=e'-皿■一m,xw(0,+8),则/(%)="政,令

XXX

/•3=/，+1仅工«0,+8),求导判断《X)在区间(0,母)上单调递增，结合零点存在定理，推得切£已』］,

Ie/

使得r(%)=0,求出v(x)的最小值为丫(％)=十-—-〃?，由/伍)=0可得”="!"，/=-Inx^,故得v(x)

X。xo

的最小值v(x°)=l-加，由二>1即可判断函数'(X),即函数g(x)的零点个数.

【详解】(1)当m=2时，/(x)=l-2x-lnv,则/"(x)=-2-J,

所以/。)=-1，/'。)=-3,

则曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y+l=-3(x-l),

整理得：3x+y-2=0.

(2)函数/(送=4(1-力—--1的定义域为(0,+8),且/，(x)=r〃」=一也11,

XX

①当加之。时,易得/'(x)<0,/(X)在(0,+8)上单调递减，则/(X)无极小值，不合题意；

②当川<0时，由/'(x)>0,得x>—A，即/(刈在(：，1=］上单调递增；

由r(x)<0,得OCX〈一,时，即/(X)在jo,-'］上单调递减，

m\m7

所以f(x)的极小值为:/(--)=w+ln(-m),

m

因为/(X)的极小值小于一1,所以机+皿一机)<一1,即l+m+ln(-小)<0.

令〃(〃?)=1+〃?+In(-w)(/??<0),则/(〃?)=1+-!-=,

mm

所以当me(-8,一1)时，〃'(〃?)>0,当〃?£(一1,0)时，

则〃(〃?)在上单调递增，在(-1,0)上单调递减，

因为〃(一i)=o,所以由〃(〃?)<o可得机«-8,-I)U(TO).

【例1・2】己知函数/(x)=(x-a『(x-2a).

(1)若〃=；，求函数的图象在点。,0)处的切线方程；

（2）若。=1,求/（x）的极值.

【答案］（1）》一4»-1=0

4

⑵极大值为0,极小值为一万.

【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式直线方程化简即可得解;

（2）利用导数法求出单调区间，然后按照极值的定义求解即可.

【详角早】（1）当a—g时,/（＜）=1（1），则小）=卜-小心后

所以/'⑴="，又切点(1,0)，所以切线方程为y-0=:(x-l)，即x-4y-l=0.

(2)当”=1时，/(X)=(X-1)2(A-2),则/'(X)=(X—1)(3X—5),

当「（力=0时，％=1或x=g,当/'（x）＞0时，x＜lsEx＞|,当/。）＜0时，

列表如下：

5

X(-8,1)1

同3(*)

小）+0-0+

极小值

极大值

单调递增单调递减/（小吟单调递增

〃1）=。

当工=1时,/（x）的极大值为/⑴=0,

S/、/5、4

当：=♦时，/（X）的极小值为/-.

31312/

方依速现

1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时,

讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区

间.

2、导函数的形式为含参准一次函数，首先对/"（》）定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，

结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间.

3、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域,

判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.

4、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.

5、若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划

分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性

文式信於

【变式1-1】已知函数/(x)=ln(ot)+La(x-l),其中"0.

X

⑴当。=1时，若直线”-X+〃是曲线y=/(x)的一条切线，求右的值;

(2)讨论/(X)的单调性;

【答案】(l)b=2-ln2

⑵答案详见解析

【分析】(1)利用导数的几何意义可得答案；

(2)利用导数含参讨论函数的单调性即可.

【详解】(1)当口=1时，/(x)=lav+-+x-l(A>0),

X

则r(x)」」+i，

XX

当「("=’-4+1=-1时，解得x=:或x=-l(舍)，

xx2

则/(f5[1\=皿5|+2+51_1=53_姑2,可得切点([,1，53_ln2j、,

代入切线方程得3;-h[2=-1；+b,

22

解得6=2-ln2.

(2)己知/(x)=ln(oY)+,+a(x-l),

X

为，/、1]ax2+x-\

(J/(x)=-----+a=-------;

XXX

当4>0时.，定义域为(0,+8)，

、11ax+x-1

/(X=——F+”——2—，

XXX

二次函数^=尔+尤-1图象开口向上，且△=l+4a>0

令g(x)=尔+工一1=0,在(0,+oo)必有解x=―一

当0<》<±2叵9时，g(x)<0,/"(、)<0,/(、)在(0,二1言1士现'上单调递减,

2a

当x〉l+yE时,g(x)>o,r(x)>0,/(x)在一上单调递增;

2a[2a)

。<0时，定义域为(-8,0),则/。)=竺苧3<0恒成匕/(X)在(y,0)上单调递减，

X

综上所述：当。〉0时，/(X)在。上单调递减，在(一“下〃’+8上单调递增;

当"0时，/(力在(y,0)上单调递减.

【变式1-2］已知函数/(x)=xln(x+l).

⑴求/(x)的极值；

(2)求证：/(x)Nf-W.

【答案】(1)极小值/(0)=0,无极大值

(2)证明见解析

【分析】(1)求导可得/'(X),分析/'(X)的单调性和符号，进而可得/(x)的单调性和极值；

(2)构造函数〃(％)=ln(xM)xtX~(x>1),求导分析单调性和符号，进而分析证明.

2

【详解】(1)由题意可知:/(X)的定义域为

且((%)=ln(x+l)+^j=ln(x+l)——,

因为y=1na+1),y=-击+1在定义域(7,+功内单调递增，

所以/'(x)在(-1,+8)上单调递增，又/'(0)=0,

当—IvxvO时;f'(x)<0；当x>0时,r(x)>0；

可知/(x)在(-1,0)内单调递减，在(0,+8)内单调递增，

所以函数/(、)的极小值为/(0)=0,无极大值.

(2)/(x)>x2-^-<=>xln(x+l)>x2-^-<z>xln(x+l)-x+,>0,

2

令力(x)=In(x+l)-x+与(¥>-1)>

则力'(x)=」——1+X=-^―>0布(-1,+8)上恒成立，

X+lX+1

可知人(力为(T，”)上的增函数，且人(0)=。，

当-时，〃(x)<0,则x〃(x)>0；

当x>0时，〃(x)>0,则x〃(x)>0.

当彳=0时，xA(x)=O.

综上所述：xln(x+l)-x+^->0,即/(同2/一,.

【变式1-3】已知/(x)=e"Q-lnx,其中a>R,g(x)=cosx+xsinx.

⑴当。=-1时，求证：x=l是函数/")的极小值点；

⑵求g(x)在［-兀，兀］上的最小值；

【答案】(1)证明见解析

⑵-1

【分析】(1)利用导函数研究单调性，结合增函数加增函数是承函数得到函数的单调性，通过观察得到

r(i)=o,再讨论单调性结合极值的概念进行求解即可；

(2)直接求导后，分类讨论出函数的单调性，求出极值和端点的函数值进行比较即可.

【详解】(1)当0=7时，/(x)=ev-'-liiv,函数/(X)的定义域为(0,+8),则/。)=片」，

A

•・•V=在(0,+8)上单调递增，y=-,在(0,+8)上单调递增，

X

・•・r(力=e-」在(0,+8)上单调递增，・・・广⑴=e--?=0,

x1

・••当xe(O,l)时，r(x)<f(\)=0,则函数/(力单调递减,当xe(l,+8)时，/'(力>/'⑴=0,则函数f(x)

单调递增，

・。=1是函数/(力的极小值点.

(2)g(x)=cosx+xsinx,则g'("=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

当xw-允时，g'(x)N0,J函数g(x)单调递增，

当时，g'(x)«0,・••函数g(x)单调递减，

当》时，g'(x)20，J函数g(x)单调递增，

当g〈x)W0,，函数g(x)单调递减，

g(-7T)=-I,g(O)=l,g(n)=-l,

••・g(x)在卜兀，句上的最小值为-1.

题型02导数与函数的零点

【例2-1］已知函数〃x）=（2x+3）e'-亦-a,aeR.

⑴若X=-1是/(X)的极值点，求。的值，并说明X=-1是极大值点还是极小值点；

⑵当时，/(X)有两个零点，求实数。的取值范围.

【答案】⑴。=3,极小值点

e

⑵陷

【分析】(1)求导数/'(不)，代入极值点即求得明然后利用导函数得到导数/'(工)的单调区间，结合/'(')

解析，得到函数/(X)的单调区间，即可判断极值点；

(2)分离常数可得〃,令小)=。£：)工<一1,求导，作出函数力U)的图象，由题意结合

图象可解.

【详解】(1)r(x)=2e、+(2x+3)e'-4=(2x+5)e、-a,

由题意可知/'(-1)=3厂-。=0,即”=|，

/.r(x)=(2x+5)ex--,

e

x

令g(x)=f(x)=(2x+5)Q--t则g[x)=2e、+(2x+5)ex=(2x+7)e、，

e

*7

〈xcR时e，>0，二令g'(x)<0,则工<一3，

7,7、

，当XV—不时，g'(x)<0,函数r(x)在区间-8,一不上单调递减，

7(1\

当时，g〈x)>o,函数/'(X)在区间-于+8上单调递增，

•・•当x<-2时，2x+5<0,即/'(x)<0且/'(-1)=0

・•・当X<-1时，r(x)<0,函数/(力在区间(-8,-1)上单调递减,

当x>T时，r(x)>0,函数/(%)在区间(->+8)上单调递增,

故x=-1是函数/(X)的极小值点.

(2)令/(x)=o,可得"(2X+3"，令“力=(2工+3户

则/(X)有两个零点，等价于y=Q与y=〃(x)图象有两个交点，

(X+1)

令力'(X)>0得X<—2,即h(x)在(9,-2)上单调递增，

令h,(x)<0得一2<x<-1,即(x)在(-2,-1)上单调递减.

且［f-co时，_2)=4，x->-「时，

e

故力(X)的大致图象为：

要使得V=。与y="X)图象有两个交点，则。c(0,2).

【例2-2】已知函数〃%)=(工+2)小

⑴求函数/(》)在x=0处的切线方程；

(2)求函数/(4)的单调性区间；

⑶若函数g(x)=/(x)-a,aeR有2个零点，求a的取值范围.

【答案】⑴3ex-y+2e=0；

⑵答案见解析；

⑶-j<”0

【分析】(1)求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.

(2)根据导函数正负得出函数的单调性即可；

(3)先根据g(x)=/(工)-。的零点个数得出/(x)=d有两个解，即得y=/(x),y=“有两个交点，再结合

函数的单调性及值域即可求参.

【详解】(1)因为/'(x)=lxeR+(x+2)xeZ=(x+3)xe。

所以切线斜率为/'(0)=(0+3)x8=3c,

又因为〃0)=(0+2)xj=2e,

所以切线方程为J-?.e=3e(r-O),即北丫一^+2。=0；

(2)因为/'(x)=lxe**+(x+2)xeM=(x+3)xeZ,

所以当不«-00,-3),/'(司<0,/3在.(-«),-3)上单调递减；

当工e(—3,+oo),/'(x)>0,/(x)在xe(—3,+oo)上单调递增；

所以/("的单调递减区间为(-8,-3),/(x)的单调递增区间为(-3,+8)：

(3)因为函数g(x)=/(x)-a有2个零点，所以/(x)=a有两个解，

转化为函数y=/(x)图象与直线)'=。有两个交点，

由(2)知,/(X)的单调递减区间为(-8,-3),/(力的单调递增区间为(-3,+8)；

所以/()「/(一3)=(-3+2)-1,

又因为xe(-8,-2)时/(x)<0,xw(—2,+8)时/(x)>0,

旦xff,/(工)一>0；x—>+<»,/(%)—>■+oo,

所以当_e-2vavO时,函数y=/(x)图象与直线y=〃有两个交点.

即函数g(x)=/(x)-。有2个零点时，-e4vavO.

方法透视

解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种：

(1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解.

(2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题.

(3)将/*5)=0进行参变分离,转化为a=g(。的形式;有时为了避免出现“断点”,可以考虑“倒数分参”.

变式演秣

【变式2・1］已知函数/(x)=xe、-a(x+l『+l,a为实数.

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若函数/(、)有3个零点，且。GZ,求a的最小值.

【答案】(1)答案见解析：

(2)1.

【分析】(1)求导后因式分解得了'(x)=(x+D(e，-2。)，再对。分和〃>0讨论即可；

(2)首先分析aWO或。=二时都不合题意，然后再分析.二。〉丁的情况，从而有〃ln(2a))=lv0,再构造

2e2e

新函数求导分析得到。的范闱，最后分析边界值满足题意即可.

【详解】(1)f\x)=(x+l)er-2a(x+1)=(x+1)(er-2a).

当aWO时，令/'(x)>0,解得x>—1,令/(劝<0,解得x<—l,

・•.J\x)在(-0),-1)上单调递减，在(-1,+a))上单调递增；

当a>0时，令/'(x)=O,X|=-1,超=ln(2a).

(1\

①。€0,—时，石>马，

x<ln(2a)或》>一1时，f\x)>0,xG(ln(2fl),-1),f\x)<0,

「J(x)在(-8,ln(2a)),(T+oo)上单调递增,在(ln(2a),-l)上单调递减；

②当a=J时，x,=x2,f(x)>0,/(x)在R上单调递增；

ze

③当时，x,<x2,

x<-1或x>ln(2a)时，f'(x)>0,xe(-1,ln(2a))Iff,f\x)<0,

.•J(X)在(-00,-l),(ln(2a),+8)上单调递增,在(7,ln(2a))单调递减.

综上：当。40时，在(-8,一|)单调递减，在(T,y)上单调递增；

当时，/J)在(-8/n(20),(-l,+8)上单调递增，在(ln(2“),-1)上单调递减;

当"?时，/⑴在R单调递增;

当时，/'(X)在(-8,-l),(ln(2*+8)单调递增，在(-l』n(2a))单调递减.

2e

(2)由(1)知‘当心。或"：时’/⑴至多2个零点，不合题意;

°,白时’“X)在(5n(2〃))，(T，+3)上单调递增，在(m(2a),-l)上单调递减.

当aw

而〃ln(2a))>〃T)=l一>0,

e

・・・/(X)在(-%ln(2a))上至多1个零点，在(ln(2a),+8)上无零点，不合题意:

>瓦,小)在ST),(in.收)单调递增,在(-?哈))上单调递减.

因为/(-D>0,所以需/(ln(2a))=2aln(2a)-a(l+ln2a)2+l<0.

令t=2a>—,g(/)=ZIn/--(1+In/I2+1,

e2

gz(0=--(1+Ino2<0,g(0在［9叼上单调递减.

1

g(l)=->0,g(2)=-ln202<0,A/>2,t7>l.

2

乂当。=1时，/(2)=2e2-8>0,/(-2)=-/<0,

根据函数在R匕的连续性以及零点存在性定理知/(X)在(-%-1),(7,皿2a)),(ln(2a),x)匕分别有一个零点.

综上，。的最小值为1.

【变式2-2】已知函数/(x)=“In(x+1)-2siru-.

⑴若曲线y=/(x)在点(oj(o))处的切线方程为y=%求实数〃的值;

(2)当"(0,1)时,

⑴证明：/(力在(0")上存在唯一极小值点演和唯一零点》2；

(ii)证明：X2<2X1.

【答案】⑴a=3

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【分析】(1)对函数求导，求出函数在切点处的函数值和导数，直，根据切线方程即可求出参数.

(2)(i)对函数/(')两次求导，判断单调性，根据零点存在定理确定极小值和零点；(ii)阂造新函数

g(x)=/(2x)-/(x),进行化简，求导，判断单调性，进而证之.

【详解】(1)已知/(x)=aln(x+l)-2sinx,则/(O)=aln(O+l)-2sin(0)=0,

对/(x)求导得/'(切=含-28",则/")=--------2cos0="-2

0+1

因为曲线》=/(》)在点(oj(o))处的切线方程为丁=彳，所以切线斜率为1,

即/'(0)=1,所以。—2=1,解得4=3.

(2)(i)由(1)知/(%)=，—2cosx,令s(x)=/〈x),对s(x)求导得s'G)=—；~£^+2sinx.

X+1(X।1)

则+在上单调递增，

(x+1)I2；

根据零点存在定理，存在使得s'(x°)=0.

当工£(0,飞)时，5(x)<0,s(x)单调递减；当XC时，51(x)>o,s(x)单调递增;

s(0)=/'(0)=

根据零点存在定理，存在百｛。,；)，使得“%)=0；

*\

当XW二,7：时，f,(x\=———2cosX>0,

L2/x+1

所以当时，/'(x)<0,f(x)单调递减；当工«不㈤时，/'(x)>0,/(')单调递增;

所以/(可在(0,劝上存在唯一极小值点芭.

/(0)=aIn(0+1)-2sin(0)=0,/(it)=aln(7t+l)-2sinn=aln(7t+l)>0,

根据零点存在定理，存在使得/(占)=0.

所以/(X)在(0,冗)上存在唯一零点X2.

(ii)令g(x)=/(2x)-/(x)=aIn(2x+1)-2sin2x-aIn(x+1)+2sinx,xw(0,兀)，

对g(x)求导得g'(x)=——4cos2x———+2cosx,

2x+1x+i

因为xe(0,兀)，47G(0,1),所以［"］>0,-4cos2x>0,——\(0,2cosx)0.

所以g'(A)=二^——4cos2x———+2cosx>0,即w(x)在(0,冗)上单调递增，

2x+1x+1

因为是极小值,g(x)在(0,工)上单调递增,

所以g&)=/(2玉)-/($)>0,即/(2再)>/&).

因为/(x)在(百,九)上单调递增，所以2须>々.

综上，x2<2x,.

【变式2-3］已知函数/(%)=ex-asiiu+b在x=0处取得极值1.

⑴求实数。、/)的值；

⑵证明：/(4)在(-2冗,-外上有两个零点，且两个零点的和小于-3兀.

【答案】(l)a=l,b=0

⑵证明见解析

【分析】(1)根据题意得出/”(0)=0,/(0)=1,即可求得实数。、b的值；

(2)利用导数分析函数/(x)的单调性，结合零点存在定理可证得/")在(-2%-劝上有两个零点为、x2,

推导出不<一3兀一玉，可得出炉<e-f,由/(一3几-)>/($)=/(/),结合函数/(外在［上的

单调性可证得结论成立.

【详解】(1)由/(x)=e'-asinx+b,得/z(x)=e'-acosx.

由题意，得/'(0)=1-〃=0,/(0)=1+^=1,解得。=1,/>=0,

经检验，符合题意.

(2)由(1),得/(x)=e'-situ,f'(x)=ex-cosx

令g(x)=e"-cosx,xe(-211,-Tt),

因为当-2兀时，sinx>0,

所以g'(x)=e'+sinx>0,

所以g(x)=/'(x)在(-2兀㈤上单调递增.

Xr(-2n)=e-2n-l<0,/'(F)=尸+1>0,

所以存在唯一的修,(-2元,r)，使得/(%)=0,

所以当xe(—2兀,/)时，r(x)<Ot/(x)在(一2兀,x。)上单调递减,

当工«,%,-兀)时，/(x)>0,/(x)在(/，-兀)上单调递增.

又/(—27t)=eZ>0,/(F)=e-*>0,/卜£)=3^1<0,

▼-3肩f3nA

所以存♦在,x2e---,-nJ,

使得/(占)=/(。)=0,所以/(x)有两个零点.

因为/'(_3兀_xj=e"f_sin(_3兀_玉)=曰”一项一sinX],

又％<-3%-演，所以^〈小加一商,

所以/(一3兀一%)>炉一sinX1=/(斗)=/(々)=0.

因为/'(一手)=e>0,/'⑺在(-2兀，-劝上单调递增，

所以-3冗-王>/，所以玉+吃<-3冗.

题型03导数与不等式证明

共例引41

【例3・1】已知函数/(x)=xlnx-；4e”.

⑴若Vxc(l,+8),/(x)KO,求〃的取值范围.

(2)当a=0时，g(x)=/(x+l)-/sinx.

①判断函数g(x)在(01)内的零点个数；

②证明：-sin1+—sin—+—sin-+•••+11sin^—<In(ZH-1).

^23243〃+lnv)

【答案】(1)jx)

⑵①答案见解析；②证明见解析

【分析】(1)对不等式进行化简变形，构造新函数〃卜)二犹"然后求导判断单调性，从而得到。2次,

X

然构造新函数刑(力=网土，求导判断单调性求出最值即可求出a的范围.

-X,

(2)①对函数两次求导，根据/«0,0。41/〉1三种情况分别讨论函数的零点个数；②结合①，中的结论可

得到W*sinx<m(、+l)’然后令x=十对不等式进行化简即可证明.

【详解】(1)因为八£(1,转)，/W<0,所以xlnx«$e”对xe(l,+e)恒成立.

因为xlnx>0,所以a>0.

由工InxV；qe"',可得x'Inx2<ave"»I'Pcln'Inx2<axear，其中In->0，ax>0.

令力(x)=xe、，xe(l,+oo),

因为〃(力=(%+1厅>0,所以MH在(°，+功上单调递增.

不等式em-nfvox*等价于人心/)4/?(如)，所以心/工如，所以。之0”.

X

令阳(力=劲廿，则W(x)=2。-”),当xe(l,e)时，仆)>0；当x«e,+oo)时，r(力<0；

XX

所以加(力在(l,e)上单调递增，在(e,+句上单调递减，

所以〃?(4)〃(e)=2,所以”的取值范围是「2,心］.

'/max-C\_e)

(2)①因为g(x)=(x+l)ln(x+l)Tsinx,所以g'(x)=ln(x+l)+l-/cosx.

令A(x)=g'(x),则。'(x)=」一+fsinx.

a.当YO时,因为x€(0,7t),所以(x+l)ln(x+l)>0,rsinx<0,所以g(x)>0恒成立,

此时,g(x)在(0㈤内无零点.

b.当0<Yl时,因为xe(0,兀),所以，(x)>0,则g'(x)单调递增.

因为g'(x)Ag'(O)—,所以g(x)单调递增.g(x)>g(O)-O,

此时,g(x)在(0,兀)内无零点.

c.当/>1时，因为xe(Oi),所以〃(x)>0,则g")单调递增.

因为g'(0)=l-/<0，g，［f)=1+ln［?'+1j>oT所以存在与吟,使得g'(Xo)=。,

所以当X£(O,.%)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,当XW&㈤时,g'(x)>0.g(x)单调递增.

因为g(0)=0,所以g(%)<0.

因为g(兀)=(兀+l)ln(兀+1)>0,所以g(x)在区间(口,允)内有1个零点,

所以当£«田川时,g(x)在(0㈤内的零点个数为0,

当/€(1,+8)时，g(x)在(0㈤内的零点个数为1.

②证明：由①知，当/=1且无«0,兀)时，g(x)=(x+l)ln(x+l)-sinx>0,所以(x+l)1n(x+l)>sinx,

即一^・sinx<ln(x+1).

令工=一,贝I」"•sinLvIn"+1=In(〃+1)-In〃,

n/?+!nn

।Cl1

所以一sinl<ln2-lnl,—sin—<ln3-ln2,sin—<ln(〃+1)—hi〃，

232n+\n

4O11

所以一sinl+—sin—+…+」-sin-<In(/?+1).

232n+\nV7

【例3・2】已知函数/(x)=ax+ln(x+l),x>-l,

⑴讨论函数/(x)的单调性：

⑵若不等式/(x)K0在xw上恒成立，求实数a的所有取值构成的集合；

⑶当a=l时，定义数列｛2｝满足：4=1,"=/伍+3〃wN‘，证明：T-----；>2，V//GN*.

【答案】⑴答案见解析

(2)1-0

⑶证明见解析

【分析】(1)求导，分。20和。<0两种情况，利用导数判断函数的单调性；

(2)根据题意可知/(。)=0,根据端点效应可得，(0)=0,并壬。=-1代入检验即可；

(3)根据/(力的单调性和符合分析可得">〃川>0,设1=4“>0,分析可知原题意等价于

『―2f+(/+2)ln(l+z)>0,构造g(/)=/—2/+(/+2)ln(l+/),(/>0),利用导数证明g(f)>0即可.

【详解】(1)由题意可知：/(x)的定义域为(T+8),且/'3=。+击="'；：「，

①当心0,/'(力>0,可知/(X)在(-1,+8)上单调递增；

②当4<0,令/'(x)=0,解得％=」—1,

a

当xwj-l,1］，/f(x)>0,可知/(X)住一1,一~--1上单调递增；

\a)ka)

当/'(x)<0,可知/("在(一上单调递减.

综上所述：当a20时，/(x)在(-1,+巧上单调递增；

当°<0时，/(》)在上单调递增，在，工-1,+「|上单调递减.

(2)因为不等式/(x)KO在X«T+8)上恒成立，且/(。)=0,

则((0)=。+1=0,解得

若a=-1,由(1)可知/(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减,

则/(x)</(0)=。，符合题意：

综上所述：实数。的所有取值构成的集合为{7}.

(3)当。=1时,由(1)可知f(x)=x+1(l+x)在(-1,+8)上趋调递增,

且"0)=0,则/(x)〉0等价于x>0;/(x)<0等价于-l<x<0；

因为“=/(鼠)=加+凤1+如)，且”=1>0,

则，他)>0,可得%>0,

且a—仄=m(i+“)>o,所以a>b2>o.

以此类推可得：V〃eN"bn>bn+l>0.

设1=々.1>0，则，=/+ln(l+/),

要证」一一->2f---L即为！_1〉2(——[~---1,

%2[bn2)।勺2J+ln"l)2)

等价于，+5"+ln(/+l)'两边乘以24z+ln(，+l)],

整理为/一2/+(f+2)111(1+1)>0,

令g(z)=J_2f+(，+2)ln(l+z),

则g(0)=0，g()=2"2+ln(l+f)+霍，

令力")=g'(/),*")=2+5•-油产0，

可知人⑺在(0,田)上单调递增，则力⑺>/?⑼=0,即g'(f)>0,

可知g(£)在(0,切)上单调递增，可得g(f)>g(O)=。

--

即/一2，+(/+2)ln(l+/)>0,所以--^>2|y-^|»V/JeN*.

%232)

方依电规

在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处

曲线可以近似的用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，

所以有时采用曲线来代替直线.

切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切

线放缩可以深入理解数学的本质.

变式信体

【变式3-1]已知函数/(x)=xahix-x(x>0).

(1)当。=1时，求/(戈)的单调区间;

⑵当X>1时，/(*•)<-1,求。的取值范围；

⑶设—.‘证明：7F77+7F^+-"+77Z>ln(M+1)-

【答案】⑴单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8)

(2)卜8,5

⑶证明见解析

【分析】(1)直接求导，分析函数的单调性即可；

(2)求导可得/'(x)=x"T(Hnx+1-x〜)，设〃(x)=alnx+l-进而分a=0、〃<0、。>0三利1

情况分析求解即可；

(3)由(2)可知，取。=一，lav<—,>1,进而得到ln(l+x)<-f—,>0,令x=—,“J'得

2\JxX\J\+xnx

In(〃+1)-In〃<Y=,进而结合裂项相消法求证即可.

【详解】(1)当口=1时，/(x)=xlnx-x(x>0),则/'(x)=hu,

当%>1时,r(x)>o,当o<x<i时，r(x)<o.

所以函数/(X)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+8).

(2)由/(x)=x"lnx-x,x>|,

则f'(%)=+xa~l-\=xa~'(tzluv+1-),

设"(》)=。用+1—¥"(工>1),则=~~-,

Xxa

当G=0时，/(x)=lnr_x,X>1,则/'(尤)=，—[<0,

x

所以函数/(x)在(1，+8)上单调递减，

则/(x)<〃l)=T，符合题意；

当"0时，/(x)〈0,则“(X)在(1,+<»)上单调递减,

所以M%)<〃(i)=o,则/'(x)<(),

所以/(X)在(l,y)上单调递减，

则=符合题意；

当0>0时，/(切=3(/」-41,

(i)当时，/6)>0,则〃(X)在(1,+8)上单调递增,

所以〃(人)>〃(1)=0,则/'3>o,

所以/(X)在(l,y)上单调递增，则/(%)>/⑴=-1,不符合题意；

(ii)当0<。<1时，若则0<犬7<1«

2a

所以〃'(x)<o,则"(x)在(1,+8)上单调递减，

所以〃(x)<〃(1)=0,则r(x)<0,

所以/(X)在(l,y)上单调递减，则/(x)</(l)=-l,符合题意；

(iii)当，<avl时，令/(x)>0=》"">'!~~-=>1<x<x0,其中,

2aa

所以当X€(l』)时，〃(x)单调递氟则〃(力>〃(1)=0,即广(1)>0,

所以/(力在(16。)上单调递增，则/(x)>/⑴=7,不符合题意.

(r

综上所述，。的取值范围为-00,7.

\2_

1।X—1

(3)由(2)可知，取。=5，得Jlnx-xv-l，x>1,则lnx</,

Y

所以In(1+x)<"I十1,x>0,

i.(.IA.n+\

令x=一,有In1+-=In——

nIn)n

所以In2-In1+In3-In2+ln4-In3+•••+In(/7+1)-Inn<*+.1.+…+/],

Vl2+1V22+2y/n2+n

,z111

贝I」1n(〃+1)<F=+-T^~1+•,•+『='，得证•

vr+lV22+2\ln-+n

【变式3-2]已知函数/(xhZlnx+g-].

XX

(1)若4=5,求曲线y=在点处的切线方程.

⑵若/'(X)有两个极值点.

(i)求实数。的取值范围；

(ii)设凡是/(x)的极小值点，证明:fM>3.

【答案】(1)丁=一工+5

(2)(i)(4,+oo).(ii)证明见解析

【分析】(1)求导，利用导数的几何意义和点斜式方程求解；

(2)(i)求导，根据/(1)有两个极值点得到对应方程有两个根，根据根的判别式和韦达定理建立不等式,

求出取值范围；

(ii)根据⑴求出函数的极小值点与=马，根据韦达定理进行变形得到/(W)=ln±+±+2,令"土，

为x2X]

r>l,构造函数ga)=lnz+：+2,利用导数判断单调性，得出结论.

【详解】(1)若4=5,则/I)=21nx+3—3/切=±-彳+彳，

XXXXX

所以，(1)=7,/(1)=4,

故所求的切线方程为尸=〜十5.

/r\2a22x2-ax+2

⑵(i)/(x)=-----+—=----------------A>0.

xx7-xx

设百双(玉</)为/(力的两个极值点，则均/是方程/'(x)=0的两个实数根，即方程"-2=0的两

个正实数根.

A=a2-16>0,

所以解得。>4,

XjX,=1>0,

即。的取值范围是(4,+8).

(ii)根据⑴可知,当X«0,再)或工£(/，+。)时，/'(4)>0,单调递增，当彳«西口2)时，r(x)<0J(x)

单调递减，

所以多是/(力的极大值点，%是/(X)的极小值点，即%=%2・

又再+超-^,X{X2-1,

所以/(%)=2111工2+2一-；=加三一|2(演+再)=]心/！+：

〜x2¥x}x2x2x2X]x2

设1=上，由0<X1<工2可知”上>1.

x\X1

令g(f)=lnf+；+2,则

当1G(O,1)时,g()vO,g(z)单调递减,

当时，g'a)>o,g(z)单调递增，

所以当f>l时，g(/)>g(l)=3,即/(%)=/(%)>3.

【变式3-3】已知函数/(x)=siiu-xcosx.

⑴判断函数/(x)在区间(-兀，兀)上的零点个数，并说明理由；

⑵若函数以""/sinr在区间上恒成立，求正整数k的最小值:

(11)/n3>/3KT»

(3)求证：—兀<gtan1<；-,〃wN.

【答案】⑴有且仅有1个零点，理由见解析

(2)3

⑶证明见解析

【分析】(1)利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理判断零点个数；

(2)先利用当x=；时不等式成立，得k>2,然后利用导数法证明在区间(0弓)上恒成立;

(3)先由(2)得于是tan2>H-二一;卜，利用累加法证明左边；再令

3-x3\3-13-17

g)—迈出w利用导数法研究单调性，求得tamw£Ir,xw[o，U，于是tan^K^,利

71呜兀I3)3"3”|

用累加法证明右边，即可证明.

【详解】⑴/(力在区间(-兀㈤上的零点个数为1,理由如下:

/1(x)=cosx-(cos.r-xsinx)=xsinr,当xe(一兀，兀)时，/f(x)>0,

故/(“在区间(-兀述)上单调递增，又因为"0)=0,

故“X)在区间(-兀,兀)上有且仅有1个零点.

⑵当w时，左传-%卦言争于是">^^>2,

下面证明：3/(力>代加在区间’0,£)上恒成立.

令g(x)=3(sinx-xcosx)-x2sinx,xe0,,

则g'(x)=3xsinx-(2xsinx+x2cosx)=x(sinx-xcosx),

由(1)可知sinx-xcosx>0在区间(o,"恒成立，

了是g(4)在区间(。目上单调递增，所以g(x)>g(°)=0，

综上，正整数人的最小值为3.

(3)先证明左边：

3x

由(2)知，3(sinx-xcosx)-/sinx>0在区间0,g上恒成立，即tame

\2)37?

兀3"