导数与三角函数的综合-2026年高考数学二轮复习（原卷版）

专题2.4导数与三角函数的综合

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叁直向客箫裱”新…立»

近三年：1近三年导数与三角函数相结合已成为命题热点；

2三角函数与多项式、指数、对数的混合，导致求导后仍是混合形式，需多次求导或放缩化简。

重点考察周期性、有界性在放缩中的应用，例如：当XT+8,靖主导，三角有界可忽略；当％较小时，泰

勒展开近似比较：

3核心难点：①求导后形式复杂；②参数讨论繁琐：③放缩技巧要求高；

4解题策略：①分段讨论；②讲究“分离”技巧；③利用对称性和周期性简化；④数形结合辅助。

预测2026年：

1难度可能还是比较大，仍然作为压轴题出现；

2函数形式多样，可能为/(%)=easins%+c)+dx+e类型，增加参数，考查极值点、拐点、零点个数的

综合分析，或者/(%)=ln(x+1)+acosx在［0,+8)上的不等式证明；

3创新方向：可能引入复合函数如fQ)=esmx一%的零点问题，考查导函数的振荡性；

三角函数的参数方程形式与导数结合，例如％=《-$也£/=1-851的弧长、面积最值问题，用导数求单

调区间。

题型01三角函数型函数单调性的证明

逐一明折解感.僧的/

叁支数型突破

题型01三角函数型函数单调性的证明

解I题I策I略

1很多函数问题都是从求其单调性入手，在某个区间(a,b)内，若广(x)>0,则函数y=/(x)在这个区

间内单调递增；若(Q)VO,则函数y=/(%)在这个区间内单调递减；

2函数中存在三角函数，要求解不等式(。)<0(/'(%)>0),简单的话结合三角函数的图形进行求解；

若复杂些的话，要注意三角函数sin%、cosx的有界性避免过度讨论，有时候要分段进行分析，

1(25-26高三上•江苏苏州•开学考试)设函数/(%)=xsinx,若4,x2e卜„，且/(不)<八小)，则

下列不等式恒成立的是()

A.x1<x2B.x1>x2C.xx+x2<0D.xf<x1

2(2025•山东青岛•三模)若M+cos(a-/)+£=0,4优+cos£sin/?—：=0,则cos(a+2£]=()

A.1D.0

3(2025•福建•模拟预测)已知函数/(%)=cos2%cos2x.

⑴讨论函数人幻在区间(0,a)上的单调性;

⑵求函数/1(X)的最值.

题型02比较含三角函数值的数值大小

解|题I策|略

1解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：

(1)判断各个数值所在的区间；(2)利用函数的单调性直接解答.

2对于类似sin18sin：等三角函数值的估值，有时候用到三角函数sin%、cosx的有界性，如不够，会

2o

用到不等式sinx<x<tanx(x€较难估值的话也可构造函数利用单调性比较大小。

1（25・26高三上•湖南岳阳・月考）已知a=singb=^,c=；ln：,贝U（）

2422

A.a>c>bB.b>a>cC.b>c>aD.a>b>c

2（25-26局三•湖北荆州•月考）8sin:，cos•^三者之间的大小关系为（）

oo128

A。•1、1、127D。•1、127、1

A.8sin->cos->—B.8sin->—>cos-

8812881288

-127、门•1、1c1、c.1、127

C.—>8sin->cos-D.cos->8sin->一

1288888128

3（25-26高三•山东,开学考试）设。=sin0.2,b=0.2cos0.1,c=2sin0.1,则（

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<b<a

4(2023•北京房山•二模)已知函数fQ)=詈.

(1)求曲线y=/(%)在％=TT处的切线方程;

⑵当xG(0,旧时,求函数/(%)的最小值;

（3）证明：sin|>

题型03比较含三角函数的式子大小一直接构造函数法

解I题I策I略

1解答比较式子大小问题，简单的话直接构造函数，再利用函数单调性比较；

2构造函数，最简单的是作差法或作商法得到，若不行结合图形进行见到的变形或放缩.

1（25-26高三•北京•期中）若不€G,1）,Q=2Hb=sinx,c=x,则a,b,c的大小关系为（）

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

2（2023・河北唐山•三模）已知30=0且。=cosm,b=1--in2,c=吧巴，e是自然对数的底数，则

2m

（）

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c

sina

3（25-26高三上•江苏扬州•月考）已知函数g（x）=：sinx-3若^^（（）*）,a=^（（Sina））,b=

g（（cosa）sina）,c=_g（_»则弧b,C的人小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

题型04比较含三角函数的式子大小一同构法

解I题I策I略

1根据题目中给出的不等式判断式子大小，可观察不等式的形式，通过变形做到不等式左右两边是“结

构相似”，从而构造函数，再利用函数单调性得到参数关系；

2若不等式难以发现那“相似的结构”，有时可能要用到一些常见的同构变形：

e*,1ex\

x+\nx=Inx,ex,x—Inx=In—,xex=ex+,n\—=ex",nxelnx-x

1（24-25高三•广西南宁•开学考试）已知卜去引，且asina-AsinSV0,则（）

A.a<0B.a2<p1C.a>pD.a2>p2

2（2025•广西•一模）己知a/ER,贝『'a十">0"是"a十夕>cosa-cos。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3（2025•山东济南•一模）已知则（）

A.sina—sin/?<a—PB.a-P<tana-tan/?

C.asinp<pcosaD.tan/?>ap

题型05比较含三角函数的式子大小一放缩法

解|题I策|略

1若在构造函数的过程中，找不到“相似的结构”，但乂好像差一点，可以想办法进行适当的放缩；

2了解一些常见的不等式，有助于想到放缩：

xx

e>x;e>x+l（<x=0时取到等号）；靖>ex（x=1时取到等号）；Inx<x-l（x=1时取到等号）;

Znx<（x=e时取到等号）：InxV1-%

3利用数形结合的方法，有时会找到“切线放缩”的方法，了解一些函数的凹凸性有所帮助；

1（2023•河北•三模）已知a==cos=c=3tan=d=en,巾=In'，则下列不等式成立的是（）

183318

A.c>b>aB.c>a>b

C.d>a>mD.a>d>m

2(25-26高三上•湖北•月考)已知ae(0,20e(0,)且供ana=2(1-cos/?),则()

A.-<a<-B.-</?<-

424产2

C.1B<aD.^<a<P

3(2025・全国•模拟预测)已知a€(0,§,/?e(0,^),且伏an^=4sin2“贝I]()

A.p<a<2pB.

C.汴/?<£D.f<a</?

题型06用求导公式构造函数比较大小

解I题I策I略

1遇到一些类似f'（x）cosx>f（x）sin（-x）>0含有导函数f，（x）,有可能要用到求导公式的逆运用构造函

数，了解其单调性再比较式子大小；

2掌握求导公式是基础，若不等式化简成g（x）>0的形式后，它是“和”形式，则构造的函数是“积”

形式；它是“差”形式，则构造的函数是“商”形式；

3注意(sinX)'=cosx,(cosx)'=-sinxo

1(24-25高三•四川广元•月考)已知尸(幻是函数/(%)的导函数，且Vx6(0,；),/'(%)cos%>

/Wsin(-x).则下列不等式一定成立的是().

B./(I)<y[2fQjcosl

C./(；)<V2/G)D.苧/①.I〉f⑴

2(25-26高三上•陕西西安•月考)已知定义在(0片)上的函数/'(X),f'(x)是/'(%)的导函数，且恒有

尸(x)sin%—f(%)cos%V0成立,则()

A./(》>&&)B.

C.75/(》>/(》D.&/(》<6)

3(24-25高三•四川阿坝•月考)已知/(%)是函数/Xx)的导函数，且Vxe(0,9，/'(x)cosx>

/•(A)sin(-x).则下列不等式一定不成立的是().

A・渥B./(1)>V2/(£)COS1

C.吧<句图D.竽/①cosl"⑴

题型07三角函数型中导数几何意义的应用

解I题I策I略

函数交点问题或不等式问题，利用数形结合转化为函数图像的相切关系，注意是否能够利用导数的几何

意义求解。

1(2024•江西上饶•二模)函数f(x)=k=呼(k>0)有且仅有两个不同的零点6,(p(e><p),则以下

有关两零点关系的结论正确的是

A.sm(p=(pcos0B.s\n(p=­(pcos6

C.sin0=0cos(pD.s\n0=-0cos(p

2(25-26高三•安徽黄山・期中)已知函数/(%)=|cos%|-k%在(0,+8)恰有两个不同的零点a,§(a<

0),则下列结论正确的是()

A.cos/?=/?sin/?B.cosa=asina

C.cos/?=—psinpD.cosa=-asina

3(2024・广东•一模)已知函数/'(无)=卜°$6+“)，”4°,6为自然对数底数，若/(X)2QX—1恒成立，则

ex—l,x>0

实数a的取值范围是()

A.[0,4-co)B.[0,e]C.10,1]D.[e,4-oo)

题型08三角函数极值问题

解I题I策I略

1若在点x=a附近的左侧/■'(>)<0，右侧尸(》)>0,则a称为函数y=fO)的极小值点，f(a)称为函数

y=/(%)的极小值；

若在点x=b附近的左侧广(无)>0,右侧尸(x)<0,则b称为函数y=/(x)的极大值点，f(b)称为函数、=

/(%)的极大值.

2求函数的极值的方法

解方程广(乃=0,当/(々)=0时:

(1)如果在初附近的左侧f'(x)>0,右侧/''(>)<0,那么/(而)是极大值；

(2)如果在a附近的左侧/•‘(%)<0,右侧f(x)>0,那么户,0)是极小值.

1(25-26高三•全国•单元测试)设函数/(x)=xsinx在x=xo处取得极值，则(1+疝(1+cos2x0)的值为()

A.1B.3

C.0D.2

2(25-26高三上•江苏盐城•月考)已知函数/'(%)=sin(wx)+acos(a)x),fQ=。，且/'(%)在汇=£处取到

极值，记n£Z.则()

A.a=±V3B.a=±1C.co=6n—|D.&)=6n—y

3(24-25高三上•山东济南•月考)已知3>0,若函数/(%)=5而(3%+9在(0万)上有且只有两个极值点,

则3的取值范围是()

题型09三角函数最值问题

解I题I策I略

1函数y=f(x)在［a,句上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y=f(%)在(a,b)内的极值;

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个

是最小值.

2函数的最值问题，本质是单调性问题，其解题思路与函数单调性差不多。

1(24-25高三,重庆城口•月考)若函数/(%)=asinx+gsin3%在父=：处有最值，则a等于()

A.2B.1C,0D.竽

2(2025・四川宜宾•三模)函数/(%)=黔(0<%<与，设球0的半径为/•(%)8$@一9,则()

A.球。的表面积随x增大而增大B.球。的体积随x增大而减小

C.球O的表面积最小值为号D.球。的体枳最大值为普

e23e3

3(2025高三•全国•专题练习)已知x,y,若e'TW(y-%—l)e，+i,则％?+y?-2xcos。—2ysin。

的最小值等于.

题型10三角函数零点问题

解I题I策I略

利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图

象，然后将问题转化为函数图象与不轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形

结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交力、问题；

(3)参变量分离法：由/•(%)=()分离变量得出Q=g(%),将问题等价转化为直线y=a与函数y=g(x)的

图象的交点问题.

1(2025•安徽淮南•模拟预测)若Q是/(x)=sinx-xcosx在(0,2瓦)内的一个零点，则对于Vx£(0,2九)，下列

不等式恒成立的是()

.sinx、sina„、sinx-3〃一一一、、

A.—B.cosa>—C.T<a<27rD.a-cosa>x-cosx

2(2025•湖北•三模)己知;<(%)=砒三-8—)-所以(£1>0)存在唯一零点,则实数。的取值范围().

A-(3+8)B.玲+8)C.&+8)D.悖，+8)

3(2024•内蒙古赤峰•二模)己知xe(^,Tr).

⑴将sinx,cosx,x,一12+i按由小到大排列，并证明;

(2)令/(x)=xex+xccifix—2sin^—sin2x,求讦：f(x)在工6C,11)内无零点.

题型11三角函数型不等式的证明

解|题|策|略

1证明三角函数型不等式，最简单的方法是直接构造函数，利用函数单调性证明;

2也可以把证明的不等式构造出两个函数，利用函数的最值或凹凸性证明；

3放缩法也是常见的方法之一。

1(2025•陕西安康•一模)已知函数/(%)=(%+m)・e*.

⑴若/(外在(-8,1)上存在最小值，求实数m的取值范围：

(2)当7九=-1时，证明：对任意的xWR,/(x)>cos2x+2sinx-3.

2(24-25高三上•辽宁丹东•月考)已知函数f(x)=sin(x+a)-tana-%.

(1)当a=：时，求/'(x)在x=%处的切线方程；

(2)当aw[o,可，时，求正：/(x)<0.

3(25-26高三上•广西南宁・月考)已知函数f(%)=sin%+/+3.

⑴求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若对任意》€6①)，/(%)>(1-a)M+口”一手+4恒成立，求实数。的取值范围;

⑶若函数g(x)=-％+In(cosx)-：，证明：当时，g(x)</(x).

题型12恒成立求参-一三角函数型之直接法

解I题I策I略

恒成立求参数，直接构造含参的函数是思路较为简便的方法，但是要注意计算量与对参数分类讨论是否

难度较大等问题。

1(202。山西太原•一模)已知函数f(%)=x-ahur,aER.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)当％e(0,+8)时，若/(%)>cos(x-1)恒成立，求Q的值.

2(25-26高三上•湖北黄冈•期中)已知函数f(x)=e%—2[一期函数g(x)=a/-sinX,

⑴求/(%)的单调区间;

⑵若曲线y=/(%)在(沏,/(&))处的切线方程为y=p(x),证明：/(x)>p(x)恒成立；

⑶若对任意的％e[0,+8),/(切zgQ)恒成立，求实数Q的取值范围.

题型13恒成立求参-一三角函数型之分离参数法

解|题|策|略

1恒成立求参问题，分离参数法有其优点，构造的函数不含参数，不存在分类讨论的可能；

2但是要注意构造的函数是否会出现计算量较大，或者求不出最值等问题。

1(2025高三•全国•专题练习)对于任意的JE[。曰，不等式/(。)=cos20+2ksm0-2k-2<0恒成立，

则A的取值范围是.

2(2024・福建龙岩•一模)已知函数/(%)=4因+C0S7TX,对于x€[0,2],都有/(ax-e"+1)43,则实数

Ql论取值范围是()

A.[#一1,#]B.[W，e]C,[1e2,e]D.[e,+oo)

3(25-26高三上•陕西咸阳・月考)⑴讨论函数/(x)=e*—ax-1,aWR的单调性,并求出的极值;

(2)当％W(0,+8)时，证明：sinx4-cosx>x-x2+1；

(3)若对任意xE(0,+8),都有sin》+cosx+e"—ax>2,求a的取值范围.

题型14恒成立求参-一三角函数型之放缩法

解I题I策I略

1恒成立求参数问题，放缩法难度较大，技巧性较强；

2一般多要结合图形，利用函数的凹凸性与切线进行放缩；了解一些函数图形有所帮助:

3了解常见不等式有所帮助：

ex>x;ex>x+l(x=0时取到等号)：ex>ex(x=1时取到等号)；InxWx—l(x=1时取到等号):

1nx&式无=e时取到等号)；Inx<1-

1(24-25高三上•陕西咸阳•月考)设函数/(%)=9+8,g(x)=sin%/I(X)=QX,若对于任意的xe

(0,+8),g(x)<h(x)<f(x)都成立，则a的取值范围为()

A.[1,同B.11,6]C.[I，6)D.[1,y]

2(24-25高三・上海•开学考试)已知存在6€R,当无€(0,+8)时，都有cosW%-k)+

sini?(lnx-1+k)<0,贝味的取值范围是.

题型15恒成立求参一一三角函数型之必要性探路法

解I题I策I略

往往可以利用题目中第一问的提示，得到参数a的临界值，先证明求a在与临界值有关的一个区间内是能

够满足题意，再证明在其范围之外是不成立的。

1(25-26高三上•广东湛江•月考)已知函数/(%)二"厚.

(1)求/(%)在(0,3丘)上的极值;

(2)若对于任意的%G[0,+8),ex[/(X)+1]>ax+2恒成立,求实数a的取值范围.

2(2024•全国•模拟预测)己知函数/(%)=ax-阻？，xE(0,^).

⑴求证：2tanx+3sinx>5%；

(2)若/(%)<sin2x,求Q的取值范围.

题型16含九三角函数型不等式证明

解|题|策|略

1对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放

缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2含兀的不等式，可利用数学归纳法证明；

3含n的不等式，往往会利用到裂项求和或者放缩法等，了解以下公式有所帮助：

1=-----~—2(赤一,九-1),InnWn-1等。

n(n+l)nn+1\/n+Vn-l'7

1(24-25高三•吉林延边•月考)下列不等式错误的序号是.

®-+-+-+———<ln2025

7?342025

②;<ln7-ln4<

③sin」—+sin」—+…sin->ln2(nGN*)

Jn+ln+22nv7

(4)sinx—1>Inx--x2

2

2(25-26高三上•陕西•月考)已知/(%)=tanx+2sinx_3x,xG(_p0-

(1)求/(%)的单调区间;

(2)证明：sinj+sin：>：cos/(n€N)

3(25-26高三上•山东德州•月考)已知函数/1(幻=xlnx-x+Q(Q€R),且f(x)20.

⑴求实数Q的取值范围；

(2)己知九£/V*,证明：sin^y-^+sin^T；+,,,+sin^—<ln2.

题型17新定义问题

解|题|策|略

1判断是否符合新定义，只需要严谨根据新定义判断便可，理解新定义中各参数的次序和含义是关键；

2利用一些特例，找其共性，有助于理解所给的新定义。

1(24・25高三•湖北武汉・期中)我们比较熟悉的网络新词，有“yyds〃、“内卷”、"躺平〃等，定义方程=

f'(X)的实数根不叫做函数/(X)的“躺平点”.若函数g(x)=ex+x+2,h(x)=Inx,(p(x)=2025/+2025

的“躺平点〃分别为a，b，c,则a,b,c的大小关系为()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a

2(2025•四川•三模)定义二元函数WR),且同时满足:①f(m,1)=sirnn；@f(m,n+1)=

f(科功+型舞辿两个条件.

⑴求/&2)的值;

(2)当0VmVTC时，比较/'(m,几)(ri6N")和0的大小；

(3)若％=0为g(x)=ln(l+%)-/(x,2)+?+ax?的极大值点，求a的取值范围.

附：参考公式：

sinacos/?=[sin(a4-/?)+sin(a-/?)]cosasin^=[sin(a+.)—sin(a-/?)]

cosacosp=1[cos(a+夕)+cos(a-/?)Jsinasin/?=—1[cos(a+/?)—cos(a-

3(24-25高三•河南信阳•期中)电脑或计算器计算e',Inx,sinx,cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒

展开式"程序或芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数/(%)在含有X。的某个闭区间阿药上具有〃

阶导数，且在开区间(a,b)内具有九+1阶导数，则对于闭区间口切上的任意一点x=x。，有f(x)=

23zxn

/(而)+牛(工一/)+(x-xo)+(x-xo)+-<-o)+<((x-xoy)(ne

N*),我们称上式为函数/(%)在％=%o处的泰勒展开式，其中。(％-须)尸)为的高阶无穷小量

户文约二［八n-l)w］.特别地，当/(X)在x=0处〃阶连续可导，则称/。)=/(0)+/，(0)工+萼/+

一/+…+5”+Q(X〃)为函数〃切的麦克劳林公式.如f(%)=sinx的麦克劳林公式为sin%=x-

Y>3丫62n-1

方+为一...+(-1产】不v+也2标］),

⑴利用麦克劳林公式估算sinl、cos｝的近似值(精确到0.01)；

⑵当％N0时，比较cosX与1-9的大小并证明：

⑶若xNslant。,e°xNslantsinx-cos%+2(a£R,a工0),求实数。的取值范围.

八我点限时制栋爪叱.»

(建议用时：90分钟)

1(2025•河南•二模)已知Q=eSin"i,b=sinl,则()

A-^<b<l<aB.X"b<l

C.\<b<a<lD.bV；VQ<1

2(2024・四川内江•三模)Vx6(0,1),记。=学，匕=要，。=(学)、则。、氏c的大小关系为()

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>