北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数》回顾与思考

分课时教学设计

第一课时《反比例函数的回顾与思考》教学设计

课型新授课口复习课口试卷讲评课口其他课口

教学内容分析函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念，

是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型.反比例函数在前面已经学习了“图

形与坐标”、“•次函数”基础上研究•类基本函数.本专题复习在反比例函数单元

复习基础上展开的，以函数图象为载体，以数形结合思想为主线，围绕''比较大小、

图象法解方程与不等式、函数实际应用”核心内容进行，学生在解决问题过程中进

一步领悟反比例函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点解决问题的经

验，为后维学习二次函数等产生积极的影响

学习者分析反比例函数是函数的重要知识，核心知识是反比例函数的概念，图象，性质与

应用.从学生学习情况分析，反比例函数的增减性与一次函数增减性容易相混，用函

数观点看待方程、不等式、函数间的关系在理解上、思维方式上存在一定困难，用

反比例函数解决实际问题需要建模的思想与策略，需要一定的生活背景知识，对学

生有较高的要求.基于以上分析，从学习函数最本质的思想一一数形结合思想为立

意，在学生疑难问题解决过程中加深对反比例函数乃至对三类函数的理解

教学目标1、经历反比例函数概念、图象与性质的知识点的梳理，通过相应知识点的配套练习

加深学生电反比例函数本章知识的理解与掌握.

2、通过对相关问题的变式探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问

题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神.

3、探索理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息提出问题，能用待定

系数法确定反比例函数表达式，并利用它们解决简单的实际问题.

4、创设教学情景，鼓励学生主动参与反比例函数复习活动，激发学习兴趣，获得问

题解决后的乐趣，继续渗透数形结合等数学思想方法.

教学重点进一步掌握反比例函数的概念、图像、性质并正确运用.

教学难点1.反比例函数性质的灵活运用：

2.数形结合思想的应用，从图像中获取信息，解题方法的渗透.

1

学习活动设计

教师活动学生活动

环节一：知识架构

教师活动1:学生活动1：

r定义知识回顾，对本

图象章知识有整体性

-X,y的取值范围

认识。

%-性质-增减性

对称性

L左的几何意义

「在实际生活中的应用

L应用-

.在物理学科中的应用

活动意图说明：

引导学生对本章的知识进行整体性的认识、及知识间相互的联系。并在此过程中发现自

己掌握不够或是理解错误的地方，及时完善或改正。

环节二：知识梳理

教师活动2：学生活动2：

考点1：反比例函数的定义1、对反比例函

1、一般地，函数)，二A(k#0)叫做反比例函数.数的定义进行梳

X理，并完成对应

2、自变量x取值范围x#0。练习。

3、反比例函数另外两种形式分别;y=kxT(k#O),xy=k(kKO)2、对反比例函

练一练：数的图像和性质

进行梳理，并完

1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数？

成对应练习。

]1

y=3x,y=2x2,y=—,y=3x-l,y=—,y---

■3x3x3、对反比例函

2.若y=(m-2)x3-mi是反比例函数，则m=-2

数的应用进行梳

理，并完成对应

练习c

2

3.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中是反比例函数关系

X1234Xi234是

B:

y5876y6897(l)).

X24

Xi23413

D:

1111

y8543y~23-4

考点2.反比例函数的图象和性质

1）反比例函数的图象：反比例函数y=三（kwo）的图象是双曲线，它既是轴

X

对称图形又是中心对称图形.

反比例函数的两条对称轴为直线，当K>0,对称轴足y=x,

当K<0,对称轴是y=-x；对称中心是原点.

2、比较正比例函数和反比例函数的异同

函数正比例函数反比例函数

解析式y=kx(k#))y=t(原0)

图象形状直线双曲线

位

置

/]'侬一次艮位好三象限

K>0

咸在每个象限内

y随x的增大而

增大、•随X的增大而减小

位上厂位于二醵限

_,酸

置

\限

K<0

增减在每个象限内

性y随x的增大而

y随x的增大而增大

砌、

练一练

1、（2010•桂林）已知反比例函数），二,下列结论不正确的是（I））

x

A、图象经过点（1,1）B、图象在一、三象限

3

4

8.已知点A（l,y,）,B（2,yj,C（—3,y3）都在反比例函数），二9的图象

X

上，则y—丫？，丫3的大小关系是（D）

<

A.y3<Y1<y2B.y,<y2y3C.y2<yf<y3D.｝匕<丫2<丫1

考点3：反比例函数的应用

1、k的几何意义：反比例函数图象上的点（x,y）具有两坐标之积（xy=k）为

常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐

标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.

规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围

成的三角形的面积为常数^

2

2、利用待定系数法确定反比例函数：

k

①根据两变量之间的反比例关系，设），=—;

X

②代入图象上一个点的坐标，即x、y的一对对应值，求出k的值；

③写出解析式.

3、反比例函数与一次函数的图象的交点的求法

求直线y=lx+b（k］#0）和双曲线y=&（k?WO）的交点坐标就是解这两个

X

函数解析式组成的方程组.

4、利用反比例函数相关知识解决实际问题

过程：分析实际情境一建立函数模型一明确数学问题

注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.

练一练

1.如图，点P是x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,交双曲线于点Q,连结

CQ,当点P沿x轴正半方向运动时,RtZXQOP面枳（C）

A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定

2、双曲线丫［、y2在第■—象限的图象如图所示，过丫］上的任意一点A,作x轴

平行线交y,于点B,交y轴于点C,SZXAOB=1则y,的解析式为y=-

X

5

3.（2009•泰安中考）如图，双曲线），二七（k>0）经过矩形0ABC的边BC的中点

x

E,交AB于点D.若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的表达式为（B）

1n236

A.y=-B.y=-C.y=-Doy=—

xxxx

第1题第2题第3题

4.如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=l/x（x>0）

的图象上，则点E的坐标是：（木+1,■-1）

22

5.根据图象写出反比例函数的值大于•次函数的值的x的取值范围。

观察图象得：当x<T或0<x<2时，反比例函数的值大于一次函数的值

第4题第5题第6题

6.如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=&交于M（2,m）、N（—1,一

x

4）两点

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求一次函数的解析式

6

(1)•・•点N(-1,-4)在反比例函数图象上

4

k=4,y=—

x

⑵•・•点M(2,m)在反比例函数图象上

/.m=2m(2,2)

,:点M、N都y=ax+b的图象上

，解得a=2,b=-2

/.y=2x-2

42

7.如图，两个反比例函数旷=一和)，=一在第一象限内的图象分别是C1和

第7题第8题

8.如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线1

〃y轴，且直线1分别与反比例函数)，=§(x>0)和y=-(x>0)的图象

XX

交于P,Q两点，若SZ\P0Q=14,则k的值为20.

9.已知函数y=k/x的图象如下右图，则丫=1^-2的图象大致是(D)

活动意图说明：

使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获

7

取信息、分析问题、解决问题的能力。并通过具体的练习及时评价学生对知识的掌握及

应用情况，发现问题及时总结、强调。

板书设计

r定义

图象

r不y的取值范围

展增减性

率.性质■对称性

协L左的几何意义

「在实际生活中的应用

L应用」

L在物理学科中的应用

课堂练习【知识技能类作业】

必做题：

1.下列函数中，是反比例函数的是(B)

X11।1

A.尸一一B.尸一一C.y=-----1D.y=—

22xxx~

2.己知点P(-1,4)在反比例函数片-(A=0)的图象上，则4值是(D)

X

A.--B.--C.4D.一4

44

3.下列各点中，在函数片--图象上的是(C)

X

A.(-2,-4)B.(2,3)C.(-1,6)D.3)

2

m—5

4.反比例函数片——的图象在第二、四象限内，那么初的取值范围是(D)

X

8

A.正0B.m>0C.ZP>5D.欣5

5.如图，已知点A在反比例函数图象上，AM_Lr轴于点M,且AAOM的

2

面积为1,则反比例函数的解析式为产・上.

x

第5题

6.如图，一次函数产自+b与反比例函数产里的图象交于A（2,1）,B

x

3

（-1,n）两点.连接OA,0B,则三角形OAB的面积为一

2

选做题:

7.对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方

米含药量），（亳克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中

线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息、，解答

下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y与工之间的函

数关系式及自变量的取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量

低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从

消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进

入教室？

解：（1）设双曲线解析式为y=与

x

过（25,6）・・・依肛=25x6=15（）

150

.・旦15

当）=10

10

9

AA(15,10)I.y=—(x>15)

设0A解析式为)=〃优

・••过(15/0)・・・10=15机

・.・，〃二一2

3

2

y=—x(O<x<15)

2

y%(0<%<15),

综上：y=<

150,

——("15);

X1

2

(2)当)；=2,由2二—x,解得％=3

3

由2="9解得x=75

x

・・・师生不能进入教室的时间是75・3=72（min）.

【综合拓展类作业】

8.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用

了8天时间.

（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时

间1（单位：天）之间有怎样的函数关系？

（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那

么平均每天至少要卸多少吨货物？

板厂、240

解：（I）v=-----

⑵・・・—

v

,、240

•・uN-----

5

10

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

解：(1)・・•反比例函数y=2过点4(42)

X

2=­,w=-8

-4

・・・反比例函数解析式为丁=-»

X

.一80

・・n=——=2

-4

・・・伏2,-4)

・・・点A(-4,2)8(2-4)在一次函数产区+b的图象上

.[2=-4k+b

•[-4=2攵+〃

解得

b=-2

・•・一次函数的解析式为)=*2

(2)-4V<O或心>2

作业设计【知识技能类作业】

必做题：

1.下列函数是反比例函数的是(B)

x2

A.y=~B.y=~

C.y=—2x—lD.y=8x—4

k

2.点4-2,5)在反比例函数y=[(kHO)的图象上，则k的值是(D)

A

A.10B.5C.-5D.-10

3.为了更好地保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容枳Mm?)一定的长方体

污水处理池，他的底面积S(m2)与深度6(m)满足关系式V=Sb(30),则S关于力

的函数图象大致是(C)

PRIL12

O|h/mh/vt}01/t/m

ARCD

4.如果反比例函数y=5的图象经过点(1,标+i),那么这个函数的图象位于(A)

A

A.第一、三象限B.第二、四象限

11

C.第一、二象限D.第三、四象限

5.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=9与一次函数y=kx—l(k为常数，k>

0)的图象可能是(B)

ABCD

3

6.若点4(一5,yi),8(—3,%)，C(2,左)在反比例函数的图象上，

则yi,%，丫3的大小关系是yi<yi<y3.

7.已知函数y=(m2-2)xm2+m—3是反比例函数，且它的图象在第一、

三象限，那么m=-2.

选做题：

O

8.如图，点8是反比例函数yi=7(x>0)图象上一点，过点8分别向坐标轴

作垂线，垂足为4c.反比例函数y2=§(x>0)的图象经过。8的中点

与八8,BC分别相交于点D,£连接DE并延长交x轴于点F,点G与

点。关于点C对称，连接BF,BG.

(1)填空：k=;

⑵求△3DF的面积；

⑶求证：四边形BDFG为平行四边形.

解：⑴2

(2)解：易知AB〃OC,

...8…m8

设8(m，-),则。(^，­)»

m3

.,.BD=m一工=工刀.

138

•“△8开=旌4n»=3.

8m8则E(m,$,C(/7?,0),

⑶证明：由(2)知B(m,—),。(了-)

2826

・、BE=——=一,

CE=—mm,mm

易得AECFsAEBD,

12

••丽=靛，•,6=%

•・•点G与点。关于点C对称，・・・CG=OC=m,

m3

••FG=CG—CF=m—'T_=^/7?,•・BD=FG.

又•：BD〃FG,

・•・四边形BDFG是平行四边形.

【综合拓展类作业】

9.如图，直线y=/x+b与x轴负半轴交于点4与y轴正半轴交于点8,

线段。口的长是方程X2-7X-8=0的一个根.什

⑴求点B的坐标；

⑵双曲线y=%krO,x>0）与直线48交于点C,且o|----------；

AC=5&求k的值.

解：⑴解方程*2-7X-8=0,得X=8或X=-1.

•・•线段0A的长是方程X2-7X-8=0的一个根，

・・・04=8.・・・4一8,0).

将点A(-8,0)的坐标代入y=5+b,得-4+b=0,

解得b=4,

・・・8(0,4).

(2)在RtZXAOB中,04=8,08=4,

：.AB=ylOA2-\-OB2=yj32-\-42=4y[s.

如图，过点C作CH_Lx轴于点片则NAHC=NAO8=90。.

又・.・/aH