二次根式的概念（课件）2025-2026学年人教版数学八年级下册

MATH2205119.1二次根式及其性质课时1二次根式的概念第十九章

二次根式MATH22051学习目标01理解二次根式的概念，能用二次根式表示实际问题中的数量关系.02能根据二次根式的概念求出二次根式有意义的条件.MATH22051复习导入【问题3】什么数有算术平方根?我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.【问题1】什么叫做平方根?一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.【问题2】什么叫做算术平方根?如果x2=a(x≥0),那么x称为a的算术平方根.用

表示.在学习了算术平方根的概念后，我们还可以用含有根号的式子表示数量和数量关系MATH22051探究学习任务一：理解二次根式的概念、用二次根式表示数量关系(1)一个长方形的围栏，长是宽的

2倍，面积为130m²，则它的宽为

m.(2)一个大正方形的面积是一个边长为a

的正方形与另一个边长为1

的正方形的面积之和，则大正方形的边长为

.

活动1：请大家用带根号的式子填空，思考得出的结果分别表示什么意义，有怎样的特点，说说你的看法.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间

t

(单位：s)与开始落下时离地面的高度

h(单位：m)的关系近似为

h=5t2，如果用含有

h的式子表示

t，那么

t为

.

（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？上面的问题结果分别是：

，

，

．

分别表示65，a2+1，

的算术平方根．

①根指数都为

2；②被开方数为非负数.

一般地，我们把形如

的式子叫作二次根式.“”称为二次根号.

注意：a可以是数，也可以是式.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数

a≥0

MATH22051探究学习活动2：你能判断下面各式中哪些是二次根式吗？简要说说你的判断方法.××××被开方数是否为非负数二次根式不是二次根式是是否否方法提炼是否含二次根号MATH22051巩固练习1.若某物体下落高度h与下落时间t满足关系h=4.9t2,则t=

.

2.下列式子中，是二次根式的有

.（1）

；

（2）6；

（3）

；

（4）（5）(x,y异号)；

（6）

；

（7）（1）（4）（6）MATH22051探究学习小组活动：请解答下列问题，尝试归纳二次根式有意义的条件.任务二：运用二次根式的概念求出二次根式有意义的条件（2）当x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义？（1）当x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义？x≥6.(2)由

≥0，得当x≥6时，

在实数范围内有意义.解：（1）依题意可知，当x≥0时，

在实数范围内有意义.MATH22051归纳

MATH22051巩固练习3.若式子

在实数范围内有意义，则x的取值范围是

.x≥0且x≠2

此类题要注意结合二次根式的概念和分式的意义，即被开方数大于等于0且分母不等于0这两个条件，列不等式(组)求解．方法提炼思

考当

x满足什么条件时，

在实数范围内有意义？因为

x²≥0，所以

x可以为任意实数.要使

x³≥0，必须

x≥0.

呢？

练

习1.要画一个面积为18cm2

的长方形，使它的长与宽

之比为3∶2，它的长、宽各应取多少？解：设长为3x，宽为2x。3x×2x=186x2

=18x=

所以3x=，2x=。

2.当

a

满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？（1）

；（2）

；（3）.

解：（1）因为

a－1≥0，所以

a≥1.（2）因为5－a≥0，所以

a≤5.（3）因为2a+1≥0，所以

a≥.

3.当

a=5时，

的值是______.

MATH22051基础随堂小练1.下列式子中，不属于二次根式的是（

）C2.若式子

在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥0

B．x＞0

C．x＜0

D．x为全体实数DMATH22051基础随堂小练3.一物体由静止开始沿斜坡下滑的距离s(单位：m)与运动时间t(单位：m)满足关系

，如果用含有s的式子表示t，则t=

；当s=5时，t的值是

.MATH22051提升随堂小练4.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）

；

（2）

；

（3）

解:(1)由题意得-a≥0，∴a≤0.∴当a≤0时，

在实数范围内有意义.(2)由题意得5-a＞0，∴a＜5.∴当a＜5时，

在实数范围内有意义.(3)由题意得x+3≥0，x-1≠0，∴x≥-3，x≠1.∴当x≥-3且x≠1时，

在

实数范围内有意义.解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.典例精析5、若求a-b+c的值.6

已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3