二次根式及其性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.1二次根式及其性质第十九章二次根式人教2024版八年级下册第1课时二次根式的概念难点:二次根式有意义的条件重点:二次根式的概念及二次根式有意义的条件；问题1什么叫做平方根?一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2什么叫做算术平方根?如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么x称为a的算术平方根.用表示.0的算数平方根为0.问题3什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.复习导入情境引入

数量和数量关系整式分式表示含有根号的式子探究用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m²,则它的宽为

m.(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为

.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为

.

h＝5t2

0）一、二次根式的定义合作探究

（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？

都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．①根指数都为

2；②被开方数为非负数.二次根式的定义

注意：a可以是数，也可以是式.

在

二次根式中，为什么a不能是负数？练一练

二次根式是否含二次根号被开方数是不是非负数√××√×81；√√√B练一练

2

式子

只有在满足条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是

为二次根式的前提条件.1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即：有意义⇔a≥0.2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，即：无意义⇔a＜0.二、二次根式有意义的条件探究例1当

x

满足什么条件时，

在实数范围内有意义？

解：由

x－2≥0，得x≥2.当

x≥2时，

在实数范围内有意义.

典例分析当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）

（2）

（3）x可以为任意实数x≥0x可以为任意实数（4）

（5）

（6）x＞0x＞-1x≤1且x≠0合作探究要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.(1)单个二次根式如

有意义的条件：(2)多个二次根式相加如

有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如

有意义的条件：(4)二次根式与分式的和如

有意义的条件：归纳总结A≥0；A＞0；A≥0且B≠0.课本练习P31.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？

2.当

a

满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？（1）

；（2）

；（3）.

解：（1）因为

a－1≥0，所以

a≥1.（2）因为5－a≥0，所以

a≤5.（3）因为2a+1≥0，所以

a≥.

课本练习P33.当

a=5时，

的值是______.

课本练习P3

解：当

a=5时，B4拓展练习B课本P5习题5.已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和.如果大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为2和3，求r的值.

6.△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍.求AB的长.课本P5习题解：设AB的长为x，则在AB边上的高为4x.∵△ABC的边长不能为负数，

二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须