2026年高考数学二轮复习专题05 利用导数研究切线与单调性问题（热点）（天津）（原卷版）

专题05利用导数研究切线与单调性问题内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：1.

切线问题考频与位置：每年必考，多在选择/填空的第8-12题，偶尔作为解答题第1问（2024年解答题20题第1问），属于中档题。核心考法：①已知切点求切线方程；②未知切点（切线过定点）求参数；③切线斜率与倾斜角的关系；④公切线问题（2023年填空第12题）。命题特点：以多项式函数、指数/对数函数、三角函数为载体，侧重导数几何意义的直接应用，计算量适中，易因忽略“切点在曲线上”的隐含条件失分。2.

单调性问题考频与位置：解答题必考点，是导数解答题的核心基础（2023-2025年解答题20题第1问均考查），选择填空也会穿插考查（2025年选择第10题）。核心考法：①求不含参函数的单调区间；②含参函数的单调性讨论（按参数范围分类，是天津卷的高频难点）；③由单调性求参数范围（转化为恒成立问题）。命题特点：含参讨论是区分度所在，常结合二次函数的根的分布、判别式分析，2025年出现“单调性与函数极值点个数结合”的新考法。预测2026年：1.

切线问题难度小幅提升：公切线问题大概率回归，可能结合分段函数考查（如分段函数在分界点处的切线），增加“切线与坐标轴围成图形的面积”的衍生问法。载体创新：可能引入分式函数或指数-一次函数的复合形式，强调“设切点→求导写斜率→列切线方程→代入定点”的解题流程。2.

单调性问题：含参讨论仍是核心：参数范围的划分会更隐蔽，可能需要结合定义域限制（如对数函数的真数大于0）进行分类，避免“一刀切”的错误。综合度增强：单调性会与函数极值、最值、零点深度绑定，作为解答题的阶梯式设问基础；选择填空可能出现“由单调性判断函数图象形状”的逆向考法。新趋势预警：可能加入导数的导数（二阶导数）辅助判断单调性的考法，考查逻辑推理能力。题型01“在”点P处的切线问题解｜题｜策｜略求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。例1（2026·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为.例2（2026·天津·月考）已知函数，．(1)求在处的切线方程；(2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)已知函数有3个零点p，q，r，求证：．【变式1】（2026·天津红桥·月考）已知，设函数的图像在点处的切线为，则l在y轴上的截距为（

）A． B． C． D．【变式2】（2026·天津河西·月考）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线的单调区间和极值；(3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数a的取值范围.题型02“过”点P处的切线问题解｜题｜策｜略求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．例1（2025·全国·模拟预测）已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线．(1)求的表达式；(2)求点处的公切线方程；(3)过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标．例2（2025·天津和平·月考）已知函数(1)当时，若直线l过原点且与曲线相切，求的方程；(2)若函数在上恰有2个零点求a的取值范围；【变式1】（2025·天津和平·调研）过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为.【变式2】（2025·天津蓟州·月考）已知函数，下列说法正确的个数是（）①函数的单调递减区间为②函数的切线过原点，则该切线的斜率为③若方程有两个不同的实数根，则④函数在区间上不单调，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型03切线的平行、垂直问题解｜题｜策｜略结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。例1（2025·天津·月考）若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例2（2025·天津·调研）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.【变式1】（2025·天津和平·月考）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为【变式2】（2025·天津河西·调研）设函数（其中e是自然对数的底数），，已知它们在处有相同的切线．(1)求函数，的解析式；(2)求函数在上的最小值；(3)若对，恒成立求实数k的取值范围．题型04切线的条数问题解｜题｜策｜略已知，过点，可作曲线的（）条切线问题第一步：设切点第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；例1（2025·天津·一模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（

）①在单调递减；②在有2个极值点；③直线是一条对称轴；④直线是一条切线.A．3个 B．2个 C．1个 D．0个例2（2025·天津蓟州·调研）函数的斜率等于1的切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定【变式1（2025·天津滨海新·月考）已知函数，则过点可以作出条图象的切线.【变式2】（2026·天津·调研）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程(2)设函数.（i）求的单调区间；（ii）判断的零点个数，并说明理由；(3)若存在条互相平行的直线与曲线相切，写出的最大值（只需写出结论）题型05两条曲线的公切线问题解｜题｜策｜略已知和存在（）条公切线问题第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点；第二步：求公切线的斜率与；第三步：写出并整理切线（1）整理得：（2）整理得：第四步：联立已知条件消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；例1（2025·天津·月考）若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．例2（2025·天津和平·月考）已知函数有最大值，(1)求实数的值；(2)若与有公切线，求的值．(3)若有，求的最大值．【变式1】（2026·天津和平·月考）已知函数(1)若，证明：；(2)若函数与函数的图象有且仅有一条公切线，求实数的取值集合；(3)设，若函数有两个极值点，且，求证：.【变式2】（2026·天津滨海新·月考）直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型06与切线有关的距离最值解｜题｜策｜略利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。[例1（2025·天津·调研）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是．例2（2025·天津·一模）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）．①求实数的值；②求证：．【变式1】（2024·天津·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．(1)求数列、的通项公式；(2)记点到直线（即直线）的距离为，（I）求证：；（II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值．【变式2】（2025·天津·调研）已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是．题型07求函数的单调区间或单调性解｜题｜策｜略1、求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、含参函数单调性讨论依据：（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。例1（2026·天津北辰·月考）以函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和的绝对值为半径的圆的面积是.例2（2026·天津北辰·月考）已知，都是定义在上的函数，，，且（且），，若数列的前项和大于1000，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式1】（2026·天津和平·月考）已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式2】（2026·天津·月考）函数，则函数的单调增区间为．题型08根据函数的单调性求参数解｜题｜策｜略已知函数的单调性求参数（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点例1（2025·天津滨海新·调研）（1）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是；（2）若函数的单调递增区间为，则实数a的值是.例2（2026·天津南开·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的最小值为．【变式1】（2025·天津西青·调研）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·天津和平·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．（建议用时：20分钟）1．（2025·天津·二模）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明对于任意的实数x，总有；(3)若是的极值点，求a的值．2．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数，(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)当时，讨论函数单调性(3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值；(4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围．3．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（

）A． B．C． D．4．（2025·天津·一模）设，，，则（

）A． B．C． D．5．（2024·天津河西·模拟预测）已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；

②函数有2个零点；③的解集为；

④，都有．其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2025·天津·一模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)利用（2）的结论证明：．7．（2025·天津北辰·三模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是.8．（2025·天津·二模）已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求证：在上单调递增；(3)求证：，且，.9．（2025·天津南开·二模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)解关于的不等式（