2026年高考数学二轮复习专题05 平面向量及其应用（复习讲义）（原卷版）

专题05平面向量及其应用目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 4考点一平面向量常用结论 4真题动向必备知识知识1向量数量积的性质知识2极化恒等式命题预测题型1平面向量中三点共线简单应用及结论题型2利用向量解决平面几何最值问题考点二平面向量极速建系 9真题动向必备知识知识1常见的坐标系建立知识2向量数量积的坐标表示知识3两个向量的数量积命题预测题型1利用向量解决平面几何定值问题（常规与坐标）题型2平面向量定义或坐标解决模、夹角、投影、数量积问题命题轨迹透视有关平面向量的天津高考试题，平面向量问题以基础性为主，突出向量的线性运算和坐标运算,特别是线性运算、夹角计算、数量积考查较多,模的计算、向量的垂直与平行也经常出现,向量的综合问题间隔考查.平面向量重点突出其工具功能.向量备考应重视基础知识,要求考生熟练掌握基本技能。考点频次总结考点2025年2024年2023年平面向量常用结论T14，5分T14，5分平面向量极速建系T14，5分2026命题预测预计在2026年高考中，平面向量主要以选择题形式出现，也有可能会将其渗透在填空题的表达之中．具体评估为：以选择题或填空题形式出现，考查学生基础知识，熟练掌握向量基本技能．考点一平面向量常用结论1．（2025·天津·高考真题，14，5分）中，D为AB边中点，，则（用，表示），若，，则2．（2024·天津·高考真题，14，5分）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为．3．（2023·天津·高考真题，14，5分）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．4．（2022·天津·高考真题，14，5分）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示，若，则的最大值为5．（2021·天津·高考真题，14，5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为；的最小值为．6．（2020·天津·高考真题，14，5分）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．7．（2019·天津·高考真题，14，5分）在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则.知识1向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．①②③当与同向时，；当与反向时，．特别的或④⑤知识2极化恒等式向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.证明：不妨说则，（1）（2）（1）（2）两式相加得：结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.将上面（1）（2）两式相减，极化恒等式ABCMABCM在三角形中（为的中点），恒等式：因为，所以（三角形模式）极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化.常见的解决的题型:有中点或能构造中点的积的向量题。【易错提醒】（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，.题型1平面向量中三点共线简单应用及结论1．（2025·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（

）

A． B．C． D．2．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示；若，则的值为．3．（2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则（用，表示）；若，，且，则.4．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．5．（2025·天津河北·二模）如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则．6．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则，若，则当最大时，的值为.7．（2025·天津南开·一模）在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示；则的余弦值为．题型2利用向量解决平面几何最值问题8．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为.9．（2025·天津·一模）平面四边形中，，，，点为线段的中点．（I）若，则；（II）的取值范围是．10．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示；若，则的最小值为.11．（2025·天津·二模）在中，已知，且，则；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为.12．（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时，；（ⅱ）的最小值为．13．（2025·天津河东·二模）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为．14．（2025·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则；若点F为线段上的动点，则的取值范围为．

15．（2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示；若点为上一动点，则的最大值为．考点二平面向量极速建系1．（2025·天津·高考真题，18，14分）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.2．（2008·天津·高考真题，11，5分）已知平面向量，．若，则．3．（2017·天津·高考真题，14，5分）在中，，，.若，，且，则的值为.4．（2016·天津·高考真题，7，5分）是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2015·天津·高考真题，14，5分）在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为．6．（2014·天津·高考真题，14，5分）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于()A． B．C． D．知识1常见的坐标系建立①边长为的等边三角形 ②知道夹角的任意三角形③正方形 ④矩形⑤平行四边形⑥直角梯形 ⑥等腰梯形 ⑦圆建系原则：尽可能让多个点位于坐标轴上.解题步骤：第一步：将已知条件进行坐标处理；第二步：利用平面向量共线坐标表示列式求解；第三步：得出结论.知识2向量数量积的坐标表示①已知两个非零向量，，②设，则或③如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．知识3向量在几何中的应用①线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件②垂直问题，常用垂直的充要条件③求夹角问题，利用④求线段的长度，可以利用或【易错提醒】（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且.题型1利用向量解决平面几何定值问题（常规与坐标）1．在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为.2．如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则.3．已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为.4．（2025·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为.若在线段上有一个动点，则的最小值为.5．（2024·天津·二模）已知中，，，记，则；若，当最大时，.6．已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为.7．如图，在正方形中，，，若，则．8．在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则.9．已知内角的对边分别为，为的中点，为的中点，延长交于点，若，，则的面积为．题型2平面向量定义或坐标解决模、夹角、投影、数量积问题10．（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量，，若，则y的值为（

）A． B． C．2 D．11．（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（

）A． B． C． D．12．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，．(1)求的坐标，的值；(2)若，求实数k的值；(3)若，求实数k的值．13．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则；的最小值为．14．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，则向量在向量上的投影向量的模为；（2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为.15．（2025·天津河西·一模）如图所示，四边形内接于圆，，，则；设，且，则四边形的面积为．16．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱