2026年高考数学二轮复习专题06 三角函数的图象与性质、三角恒等变换（复习讲义）（原卷版）

专题06三角函数的图象与性质、三角恒等变换目录01析·考情精解 202构·知能框架 403破·题型攻坚 5考点一三角函数小题考点 5真题动向必备知识知识1同角三角函数求值知识2三角函数三剑客及三角函数部分图象确定解析式知识3诱导公式的超级应用命题预测题型1由图像确定三角函数的解析式题型2三角函数图像变换及三角恒等变换化简求值题型3三角函数零点问题考点二三角函数大题考点 18真题动向必备知识知识1求正余切函数图象性质知识2三角函数单调区间、对称中心、对称轴知识3三角函数辅助角公式及两种情况卡根原理命题预测题型1求正余切函数图象性质题型2三角函数单调区间、对称中心、对称轴命题轨迹透视有关三角函数的天津高考试题，三角函数作为高考的必考内容,在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及，大部分是考查基础知识和基本方法,考查内容涉及三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系式,图象变换、正弦型函数或余弦型函数的图象和性质、三角恒等变换.如果考查解答题,多数位于解答题第一题或者第二题,难度不大.三角函数中部分题目侧重于函数的图象和性质,主要考查学生的数学核心素养为逻辑推理、数学运算、数学建模.考点频次总结考点2025年2024年2023年三角函数小题考点T8，5分T7，5分T6，5分三角函数大题考点T16，14分T16，14分T16，14分2026命题预测结合天津近5年高考数学真题的三角函数考情，2026年该模块命题大概率保持稳定，侧重基础与中档题，且三角恒等变换与解三角形仍会是核心考点，具体预测如下：1.

三角恒等变换与解三角形：这是近5年必考考点，2026年大概率延续综合考查模式。可能会以应用题或计算题形式出现，先通过两角和差、二倍角公式进行凑角化简求值，再结合正弦定理、余弦定理求解三角形的边长、角度，或是与三角形的面积计算结合命题。2.

三角函数的值域与最值：该考点近5年3考，热度较高。预计会依正弦（型）、余弦（型）函数出题，可能结合函数的单调性、周期性，或是给定区间条件，求解函数的最值，也可能穿插含参问题增加些许难度。3.

三角函数的图象与性质：奇偶性近5年2考，周期性与对称性5年1考，后续可能加大周期性与对称性的考查力度。大概率出选择题，比如判断三角函数的奇偶性，或根据函数的对称轴、对称中心等条件求解参数，也可能考查图象的平移与伸缩变换，以此判断变换后函数的解析式或性质。此外，该模块整体分值稳定在5分左右的基础题或中档题，题目不会过于复杂，侧重对公式应用和基础性质的考查，较少出现偏题、怪题。预测2026年高考，三角函数一般以三角函数线为基准,三角函数图像为导向考察，突出基础性，同时三角恒等变换灵活应用。考点一三角函数小题考点1．（2025·天津·高考真题，8，5分），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（

）A． B． C．1 D．02．（2025·天津·高考真题，2，5分）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·天津·高考真题，7，5分）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（

）A． B． C．0 D．4．（2024·天津·高考真题，4，5分）下列函数是偶函数的为（

）A． B． C． D．5．（2023·天津·高考真题，6，5分）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．6．（2023·天津·高考真题，4，5分）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．7．（2022·天津·高考真题，8，5分）关于函数，给出下列结论：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．其中正确结论的个数为（

）A． B． C． D．8．（2020·天津·高考真题，8，5分）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③9．（2019·天津·高考真题，8，5分）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（

）A． B． C． D．10．（2014·天津·高考真题，8，5分）已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为A． B． C． D．知识1同角三角函数求值1.区域角的求解区域角的求解遵循以下步骤：第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在范围内）第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域第三步：若阴影区域为射线即： 若阴影区域为直线即：2.三角函数值的比较大小三角函数线：①由于,所以MP就叫角的正弦线.正弦线的起点在垂足，终点在角的终边与单位圆的交点.②由于,所以OM就叫角的余弦线.余弦线的起点在原点，终点在垂足.③由于，所以AT就叫角的正切线.正切线的起点在单位圆与x轴正半轴的交点A，终点在过点A的切线与角的终边或反向延长线的交点.3.同角三角函数求值结论1：出现形式则采用对偶式处理 然后利用二元一次方程组快速求解特殊情况：则结论2：速记一些常见的勾股数，然后利用直角三角形处理 知识2三角函数三剑客及三角函数部分图象确定解析式三角函数称为《三剑客》，《三剑客》中《知一求二》理由如下：如果已知求必须会判断的正负判断如下： ①关于的符号判断当角的终边在区域2、3、4、5则有当角的终边在区域1、6、7、8则有当角的终边在直线上时，则有②关于的符号判断当角的终边在区域8、1、2、3则有当角的终边在区域4、5、6、7则有当角的终边在直线上时，则有③关于的符号判断当角的终边在区域1、2、5、6则有当角的终边在区域3、4、7、8则有当角的终边在轴上时，则有结论：④若则 Ⅰ当角在终边在区域1、2内时， Ⅱ当角在终边在区域3、8内时，Ⅲ当角在终边在区域4、7内时， Ⅳ当角在终边在区域5、6内时，⑤若则Ⅰ当角在终边在区域3、4内时， Ⅱ当角在终边在区域2、5内时，Ⅲ当角在终边在区域1、6内时， Ⅳ当角在终边在区域7、8内时，知识3诱导公式的超级应用秒杀：思路1：形如：第一步：定AK,借助函数图象的最高点、最低点确定参数AK的值第二步：定周期，借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期 第一点（即图象第一次上升时与轴的交点）横坐标满足 第二点（即图象的“峰点”）横坐标满足 第三点（即图象下降时与轴的交点）横坐标满足 第四点（即图象的“谷点”）横坐标满足 第五点（即图象第二次上升时与轴的交点）横坐标满足求只需在部分图象中寻求“五点”中任意两点建立二元一次方程组即可思路2：形如：第一步：定AK,借助函数图象的最高点、最低点确定参数AK的值第二步：定周期∵，∴往往通过求来确定，可以通过已知曲线及其与轴的交点来确定。注意：①相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 ②相邻的两个最高点（最低点）之间的水平距离为③相邻的最高点（最低点）与平衡点之间的水平距离为第三步：求求只需在部分图象中寻求“五点”中任意一点建立一元一次方程即可（同思路1第二步）【易错提醒】（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角．（2）确定的终边位置的方法先写出或的范围，然后根据的可能取值确定或的终边所在位置．（3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置．（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.题型1由图像确定三角函数的解析式1．（2025·天津河西·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（

）A．B．C．D．2．（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：

①在区间上单调递减②的图象可由的图象向左平移个单位得到③的对称轴为④在区间上的最小值为以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．4．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（

）．A． B．C． D．5．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（

）A． B． C．1 D．06．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（

）A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度7．函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．8．（2025·天津红桥·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（

）①关于点对称；②关于直线对称；③在区间上单调递减；④在区间上的值域为；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2025·天津河北·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论：①；

②当时，；③函数的单调递减区间为，；④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型2三角函数图像变换及三角恒等变换化简求值10．（2025·天津和平·三模）设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（

）A． B． C． D．11．（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（

）A．是函数图象的一个对称中心B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上有且仅有一个零点12．（2025·天津·模拟预测）已知．给出下列判断：①若，且，则；②若在恰有9个零点，则的取值范围为；③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；④若在上是增函数，则的取值范围为．其中，判断正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2025·天津·一模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（

）①在单调递减；②在有2个极值点；③直线是一条对称轴；④直线是一条切线.A．3个 B．2个 C．1个 D．0个14．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（

）A． B． C． D．15．（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（

）A． B．C． D．16．（2025·天津·二模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期是B．是的一条对称轴C．在区间上单调递减D．当时，的取值范围为题型3三角函数零点问题17．（2025·天津·一模）设符号函数，已知函数，则（

）A．为的最小正周期 B．图象的对称轴方程为C．在上单调递增 D．函数在上有4个零点18．（2025·天津河东·二模）关于函数，下列结论不正确的为（

）A．时，的图象关于对称B．时，的最小正周期为C．时，在区间内有两个零点D．时，在区间上的最大值为19．（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（

）A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减20．（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（

）A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称21．（2024·天津·二模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若相邻两条对称轴的距离为，则；B．若，则时，的值域为；C．若在上单调递增，则；D．若在上恰有2个零点，则.22．（2025·天津·一模）函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点二三角函数大题考点1．（2016·天津·高考真题，16，14分）已知函数=4tanxsin（）cos（）.（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性.2．（2015·天津·高考真题，16，14分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.3．（2014·天津·高考真题，16，14分）已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．4．（2025·天津·高考真题，16，14分）在中，角的对边分别为．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．5．（2024·天津·高考真题，16，14分）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．6．（2023·天津·高考真题，16，14分）在中，角所对的边分别是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．7．（2022·天津·高考真题，16，14分）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.8．（2021·天津·高考真题，16，14分）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．知识1求正余切函数图象性质正弦、余弦、正切函数性质有单调性、周期性、对称轴、对称中心大前提必须熟悉掌握三大基本图象的画法《基本函数法》①正弦图象②余弦图象③正切图象知识2三角函数单调区间、对称中心、对称轴3．与的图像与性质（1）最小正周期：．（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设．①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心．假设．①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．（5）单调性．假设．①对于，②对于，（6）平移与伸缩由函数的图像变换为函数的图像的步骤；方法一：．先相位变换，后周期变换．方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．结论：关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为知识3三角函数辅助角公式及两种情况卡根原理①由于对称轴和对称中心的水平距离为,设，构造出函数的形式，再根据单调区间或者最值区间所处的范围进行卡根.第一步：卡的形式第二步：卡周期求的范围②已知平移得到新函数表达式单调性第一步：先将新函数括号内部看成整体，将已知单调区间代入求出整体单调区间.第二步：整体单调区间属于基本函数图象哪一部分第三步：建立不等式求解【易错提醒】在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．2．给值求值：已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式．（2）利用公式求周期．（3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间．题型1求正余切函数图象性质1．（2025·天津河北·模拟预测）已知，α是第三象限角．(1)求和的值；(2)求的值．2．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，．(1)求的值；(2)若，求c的值．3．（2025·天津红桥·一模）在中，内角所对的边分别是，已知，，(1)求b，c的值；(2)求的值；(3)求的值．4．（2025·天津南开·一模）在中，内角的对边分别为，且．(1)求边的长；(2)求的值；(3)求的值．5．（2024·天津河北·模拟预测）已知，是第二象限角．(1)求和的值；(2)求的值．6．（2