2026年高考数学二轮复习专题07 正弦定理与余弦定理（热点）（天津）（原卷版）

专题07正弦定理与余弦定理内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：-题型与分值：三年均为解答题第16题，14分，稳定作为中档解答题，属于必考点。核心考点：正弦定理：边角互化、解三角形多解判断、与三角恒等变换结合求角/边。余弦定理：求边长、角度、周长，判断三角形形状，解决中线/角平分线等几何量问题。综合：与三角形面积公式结合，常和两角和差、二倍角公式联动，考凑角求值、范围与最值。命题特点：结构：两小问或三小问，梯度清晰，先基础边角计算，后综合应用或最值求解。难度：稳定中档，无偏怪，侧重公式熟练与灵活转化，区分度适中。预测2026年：1.

题型与分值：极大概率仍为解答题第16题，14分，中档难度，也可能在选择/填空出基础小题，总分值或有微调但核心地位不变。2.

核心考向：基础应用：正余弦定理边角互化，解三角形求边、角、面积、周长（必考点）。综合交汇：与三角恒等变换（和差、二倍角）深度结合，考角度、三角函数值计算；与向量（数量积、模长）、基本不等式结合考范围与最值；可能涉及实际测量类应用问题。创新点：可能加入三角形的中线、高线、角平分线等几何元素，或考多三角形拼接的平面图形计算，提升空间想象与转化能力。3.

难度与趋势：整体中档，第一问基础送分，第二/三问综合提升，强调知识迁移与方法选择，突出数学运算、逻辑推理核心素养．题型01正、余弦定理解三角形边与角解｜题｜策｜略利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。例1（2026·天津静海·月考）在，角所对的边分别为，已知，．(1)求与的值：(2)求的值；(3)求的值．例2（2026·天津河北·月考）已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．与没有包含关系（2026·天津·调研）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【变式1（2026·天津河北·调研）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，.(1)求的值；(2)求的面积；(3)求的值.【变式2】（2026·天津河东·调研）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．(1)求；(2)求；(3)求的值．解｜题｜策｜略已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定；已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定。（1）从代数的角度分析：以已知和，解三角形为例由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：=1\*GB3①若，则满足条件的三角形的个数为0；=2\*GB3②若，则满足条件的三角形的个数为1；=3\*GB3③若，则满足条件的三角形的个数为1或者2；显然由若可得有两个值，一个大于，一个小于，考虑“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行分类讨论。（2）画图法：以已知角的对边为半径画圆弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：当A为锐角时：当A为钝角时[例1（2026·天津蓟州·调研）在中，，则（

）A． B． C． D．或例2（2025·天津南开·调研）在中，下列命题不正确的是（

）A．若，则B．若，则一定为等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若，，，则有两解【变式1】（2025·天津宁河·月考）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为．【变式2】（2026·天津南开·月考）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（

）A．，，，有两解 B．，，，有两解C．，，，有两解 D．，，，无解题型03正、余弦定理判断三角形形状解｜题｜策｜略判定三角形形状的两种常用途径1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断例1（2026·天津南开·月考）中，“”是“是以为的直角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例2（2025·天津滨海新·调研）在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【变式1】（2025·天津武清·月考）在中，，，则一定是（

）A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定【变式2】（2026·天津滨海新·调研）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形题型04求三角形（四边形）的面积解｜题｜策｜略1、常用的三角形面积公式：在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。（1）（2）（3）（4）2、与三角形面积有关问题的解题策略（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；（2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量。例1（2026·天津静海·月考）已知函数，函数的最小正周期为(1)求的值及此时的对称中心.(2)将向左平移个单位后得到一个偶函数，求的最小值.(3)若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围.例2（2025·天津·月考）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为．【变式1】（2026·天津·调研）已知，．(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值．【变式2】（2026·天津南开·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求角A的大小；（2）若，求面积的最大值.题型05三角形的外接圆问题解｜题｜策｜略正弦定理：（其中为外接圆半径）例1（2025·天津·调研）设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为.例2（2026·天津·调研）在锐角中，点O为的外心.(1)若求的值；(2)若求的值；(3)若求的最大值.【变式1】（2025·天津西青·月考）在中，，，，则边长，则的外接圆半径.【变式2】（2026·天津·月考）在中，，，的对边分别为，，，且.(1)求外接圆半径；(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.题型06证明三角形中恒等式或不等式解｜题｜策｜略三角形恒等式证明策略1.

边角互化，统一变量这是最核心的思路，要么把所有边通过正弦定理换成角，要么把所有角通过余弦定理换成边。含sinA,sinB,sinC或cosA,cosB,cosC的恒等式，优先化角为边，利用余弦定理消去三角函数；含a,b,c乘积或比例的恒等式，优先化边为角，结合三角恒等变换（和角、二倍角公式）化简，注意利用A+B+C=Π转化sin(A+B)=sinC、cos(A+B)=-cosC。2.

活用三角形内角和与三角公式遇到A,B,C的三角函数和差，先利用A+B=Π-C转化，再用两角和差公式展开；涉及二倍角时，可结合降幂公式、辅助角公式简化。3.

特殊结构，巧用面积公式若恒等式含a,b,c和高、面积，可结合S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB建立边角联系，辅助化简。二、三角形不等式证明策略1.

边角互化+代数不等式化边后，可利用基本不等式（均值不等式）、三角形三边关系（两边之和大于第三边）、完全平方非负性推导；化角后，利用三角函数的有界性和单调性求解。2.

构造函数，利用单调性对于含单一角的不等式，可设角为变量，构造三角函数，利用导数或三角函数单调性判断最值。3.

借助知名不等式常见的如余弦定理结合基本不等式例1（2025·天津·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)求的最大值.例2（2026·河天津·月考）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)记的中点为，若，且，求的周长．【变式1】（2025·天津西青·调研）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（

）.A． B． C． D．【变式2】（2025·天津南开·调研）如图，是底部不可能达到的一座建筑物，为建筑物的最高点.现在为了测量建筑物的高度，在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，且点和距离所在水平面的距离为，，则塔高.题型07距离、高度、角度的测量解｜题｜策｜略解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．[例1（2025·天津滨海新·调研）桂林日月塔又称金塔银塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度米.

例2（2026·天津南开·调研）一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了2km到达地，然后由地向南偏东方向骑行了2km到达地，再从地向北偏东方向骑行了8km到达地，则A，D两地的距离为km．【变式1】（2025·天津东丽·调研）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积；(3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.【变式2】（2025·天津·调研）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．题型08正余弦定理与三角函数综合解｜题｜策｜略正余弦定理与三角函数综合题的核心解题策略是边角互化统一变量，结合三角恒等变换化简求解，具体可分三步推进：1.

定方向：选择边角互化路径若题干以边的代数关系为主（如a2+b2-c2=ab），优先用余弦定理化边为角，转化为cosC等三角函数式；若题干以角的三角函数关系为主（如sinA=2sinBcosC），优先用正弦定理化角为边，或利用A=Π-(B+C)拆角后结合和差公式展开；若涉及边的比例或面积，用正弦定理a=2RsinA化边为角，结合面积公式S=1/2absinC建立等式。2.

化简：三角恒等变换突破核心是活用两角和差、二倍角、降幂、辅助角公式，消去非目标角，比如遇到sin(B+C)直接替换为sinA；化简后若出现关于某一角的三角函数式（如2sinCcosC=sinC），注意结合三角形内角范围(0,Π)舍去无效解。3.

求目标：结合约束条件求解求角：化简后得到值，结合角的范围确定唯一解；求边/周长/面积：求出关键角后，用正余弦定理求边长，或结合基本不等式求最值；求范围：将目标量转化为单一角的三角函数（如a=2RsinA），利用三角函数的有界性和单调性确定范围。考法1：解三角形+三角求值例：已知a,b,c关系，求sin(A-B)的值。技巧：先求A,B的三角函数值，再用两角差公式展开，注意角的范围对符号的影响。考法2：解三角形+最值问题例：求周长的最大值或面积的最小值。技巧：化目标量为单一角的三角函数，利用辅助角公式转化为标准形式，结合角的范围求最值。例1（2025·天津·调研）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则，的取值范围为．例2（2025·天津·调研）已知，，（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．【变式1】（2025·天津·调研）已知锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的取值范围是.【变式2】（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（

）A．2 B．4 C． D．（建议用时：20分钟）1．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则（

）A． B． C． D．2．（2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，.(1)求C的值；(2)求的值；(3)求的值.3．（2025·天津河北·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则．4．（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)