2026年高考数学二轮复习专题08 等差数列、等比数列（复习讲义）（原卷版）

专题08等差数列、等比数列目录01析·考情精解 202构·知能框架 403破·题型攻坚 5考点一等差数列通项与求和 5真题动向必备知识知识1等差数列及中项知识2等差数列的通项公式与性质知识3等差数列求和及性质最值命题预测题型1等差数列通项公式的基本量计算题型2等差数列前n项和的基本量计算题型3等差数列性质（奇偶性、中项、片段和）考点二等比数列通项与求和 11真题动向必备知识知识1等比数列及中项知识2等比数列的通项公式与性质知识3等比数列求和及性质最值命题预测题型1等比数列通项公式的基本量计算题型2等比数列前n项和的基本量计算题型3等比数列性质（奇偶性、中项、片段和）命题轨迹透视有关数列的天津高考试题，数列一般以课程学习基础内容为中心;以等差等比性质的灵活应用为考点，数列题一般以通项、求和及性质应用为主要考点.在备考时应注意以下两点:(1)求数列通项；等差、等比数列的前n项和；数列中最大（小）项；数列的单调性；基本量的计算；等差、等比中项；做到灵活驾驭;(2)数列新定义问题，理解题干所阐述的思想，选择合适的条件,快速求解，同学们也要加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养。考点频次总结考点2025年2024年2023年等差数列通项与求和T6，5分等比数列通项与求和T5，5分2026命题预测结合天津卷历年考情和2025年新课标导向，2026年天津卷等差、等比数列命题会延续小题考基础、大题重综合的风格，同时强化情境与思维考查，具体预测如下：1.

选填题聚焦基础，暗藏细节陷阱：选填题大概率还是以基本量运算为主，比如结合等差中项、等比下标和性质求某一项或前n项和，也可能考查等差、等比数列的判定。不过不会是简单公式套用，可能设置陷阱，比如等比数列中隐含公比为1的特殊情况，或是等差数列前n项和公式中n的取值范围陷阱，以此检验对概念本质的理解。2.

解答题综合度高，跨模块深度融合：作为天津卷数列考查的重点，解答题难度会偏高。一方面会延续等差与等比数列交叉命题的模式，比如通过递推式推导数列是等差或等比数列，再结合裂项相消、错位相减等方法求和；另一方面会强化与其他模块的“跨章缝合”，大概率和函数性质、不等式证明融合，还可能要求用集合或函数语言描述数列，考验数学阅读与语言转化能力。3.

融入真实情境，凸显应用价值：受2025天津卷“操场跑圈”等情境化试题的影响，2026年可能会将等差、等比数列嵌入本地生活或常见场景中。比如以天津本地赛事赛程安排、物流配送量变化等为背景构造等差数列，或依托产品销量衰减、存款复利等场景设计等比数列问题，要求将实际问题转化为数列模型求解。4.

新增开放题型，强调逻辑表达：可能出现补充条件类开放题，比如“已知数列{aₙ}的部分项，补充一个条件使其为等比数列”。同时大题会更看重推理逻辑链，像2025年评分中出现的“逻辑链缺失扣分”情况大概率会延续，答题时需清晰呈现“已知—转化—结论”的推导过程，避免跳步导致失分。高。考点一等差数列通项与求和1．（2025·天津·高考真题，6，5分），则数列的前项和为（

）A．112 B．48 C．80 D．642．（2006·天津·高考真题，6，5分）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（

）．A．55 B．70 C．85 D．1003．（2004·天津·高考真题，6，5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（

）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件4．（2007·天津·高考真题）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（）A．2 B．4 C．6 D．85．（2014·天津·高考真题，6，5分）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（）A．2 B．-2 C． D．6．（2014·天津·高考真题，12，5分）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为．7．（2011·天津·高考真题，11，5分）已知{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为．8．（2011·天津·高考真题，6，5分）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为A． B． C． D．9．（2008·天津·高考真题，6，5分）若等差数列的前5项之和，且，则A．12 B．13 C．14 D．1510．（2006·天津·高考真题，5，5分）设是等差数列，，，则这个数列的前6项之和等于（）A．12 B．24 C．36 D．48知识1等差数列及中项对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．②三个数，，成等差数列的充要条件是．知识2等差数列的通项公式与性质等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则．证明：因为，所以所以等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且，则，特别地，当时．②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．④仍是等差数列．⑤数列（为非零常数）也是等差数列．知识3等差数列求和及性质最值等差数列的前项和公式公式一：公式二：证明：将代入可得：等差数列的前项和的有关性质等差数列中，公差为，则①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．=2\*GB3②若项数为，则，，③若项数为，则，，，，等差数列中的函数关系等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数）等差数列中，，令，则：（，是常数且为公差）（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．①当时，一次函数单调增，为递增数列；=2\*GB3②当时，一次函数单调减，为递减数列．等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，，则：（，是常数）（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点．（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点．=1\*GB3①当时有最小值=2\*GB3②当时，有最大值等差数列前项和的最值等差数列前项和的最值（1）在等差数列中，当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定．（2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值．【易错提醒】数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.题型1等差数列通项公式的基本量计算1．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（

）A．27 B．30 C．33 D．362．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（

）A．15 B．35 C．45 D．553．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（

）A．30 B．4944 C．9876 D．147484．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（

）A． B． C． D．5．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（

）A． B． C．9 D．166．（2025·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（

）A．60 B．54 C．42 D．367．（2025·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．4 B．8 C．12 D．168．（2025·天津武清·模拟预测）在等差数列中，公差，若，则（

）A．12 B．13 C．14 D．159．（2025·天津·一模）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．6 B．9 C．11 D．1410．（2025·天津和平·一模）已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（

）A． B． C． D．题型2等差数列前n项和的基本量计算11．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则：.12．已知等差数列中，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．813．单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（

）A． B． C． D．14．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（

）A． B．或 C． D．或15．已知等差数列满足，则（

）A．4 B．6 C．8 D．1016．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．17．已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（

）A．550 B．450 C．1100 D．90018．已知为等差数列，前项和为，，，则（

）A． B． C． D．19．已知等差数列满足，则（）A． B． C． D．20．已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（

）A．9143 B．9145 C．10009 D．10154题型3等差数列性质（奇偶性、中项、片段和）21．（2025·天津·一模）记等差数列的前n项和为,,,则（

）A．120 B．130 C．140 D．15022．（2025·天津·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（

）A．24 B．21 C．18 D．1523．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．20 B．22 C．18 D．1924．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（

）项A．10 B．11 C．12 D．1325．（2025·天津·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（

）A． B． C． D．26．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．48 B．63 C．80 D．9627．已知等差数列满足：，则前20项的和为（）A．190 B．360 C．400 D．44028．已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（

）A． B．C． D．29．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（）A．13 B．14 C．16 D．2030．（2025·天津·模拟预测）若，数列满足，则的值是（

）A．2024 B．4048 C．3036 D．2025考点二等比数列通项与求和1．（2023·天津·高考真题，5，5分）已知数列的前n项和为，若，则（

）A．16 B．32 C．54 D．1622．（2010·天津·高考真题，5，5分）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为A．或5 B．或5 C． D．3．（2010·天津·高考真题，12，5分）设是等比数列，公比，为的前n项和，记'，设为数列的最大项，则．4．（2005·天津·高考真题，12，5分）在数列中，，且，则数列的前10项和．5．（2006·天津·高考真题，13，5分）设函数，点表示坐标原点，，若向量，是与的夹角，（其中）设，则.6．（2005·天津·高考真题，11，5分）数列的前项和为，7．（2008·天津·高考真题，11，5分）已知数列中，，则.知识1等比数列及中项公比通常用字母表示（），即：．如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项．②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一．③当时，、、成等比数列．④是、、成等比数列的必要不充分条件．知识2等比数列的通项公式与性质等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为：等比数列的通项公式的推广已知等比数列中，第项为，公比为，则：证明：∵，∴∴由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况．等比数列的性质设等比数列的公比为①若，且，则，特别地，当时．②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为．③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．知识3等比数列求和及性质最值等比数列中的函数关系等比数列中，，若设，则：（1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点．①当且时，等比数列是递增数列；②当且时，等比数列是递减数列；③当且时，等比数列是递减数列；④当且时，等比数列是递增数列．（3）当时，等比数列是摆动数列．等比数列的前项和公式由等比数列的定义，有根据等比性质，有所以当时，或．等比数列前项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．等比数列前项和的性质1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列．【易错提醒】若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。题型1等比数列通项公式的基本量计算1．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则.2．（2025·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第项．3．（2025·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则，的最小值为.4．（2025·天津·二模）已知实数满足条件：，且是与的等比中项，又是与的等差中项，则.5．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知等差数列的前项为，若，，则.6．（2025·天津·二模）已知数列的前项和为，若，，则的最大值为.7．（2025·天津·一模）设，，若a与的等差中项是2，则的最大值是．8．（2025·天津河北·二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为．9．（2025·天津河东·二模）中国古代数学有着辉煌和灿烂的历史，成书于公元一世纪的数学著作《九章算术》中有一道关于数列的题目：“今有良马与驽马发长安至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问几何日相逢及各行几何？”根据你所学数列知识和数学运算技巧计算两马相逢时是在出发后的第天（写出整数即可）．10．（2025·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则；．11．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，.（1）则；；（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和；（3）设数列的通项公式为：，，则.12．（2025·天津·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（

）A．149 B．153 C．155 D．15713．（2025·天津·模拟预测）在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（

）A．24 B．25 C．26 D．27题型2等比数列前n项和的基本量计算14．（2025·天津·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（

）A． B． C． D．215．（2025·天津·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（

）A．15 B．16 C．31 D．16．（2025·天津·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（

）A．10 B．15 C．30 D．3117．设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件18．（2025·天津·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．19．（2025·天津·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（

）A．2025 B．2026 C． D．20．（2025·天津·三模）设函数的定义域为，若，且对任意，满足，则的值为（

）A． B．C． D．21．（2025·天