2026年高考数学二轮复习专题09 立体几何中的平行关系与垂直关系（热点）（天津）（原卷版）

专题09立体几何中的平行关系与垂直关系内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：天津高考立体几何平行与垂直关系近三年稳定考查，以小题判断+解答题证明为核心，2026年大概率延续该模式，重点强化定理应用与综合转化能力。近三年考情（2023-2025）共性规律1.

题型结构：1小题（5分）+1解答题（17题，15分），解答题第一问必证平行/垂直，占分约5-6分。2.

核心考点：平行以线面平行为主（中位线、平行四边形）；垂直以线面垂直为主（证线垂两条相交线），偶尔考面面垂直（先证线面垂直）。3.

载体与方法：几何体以棱柱、棱锥为主；证明以几何法为主，辅助空间向量法验证。4.

难度梯度：小题基础，解答题第一问送分，后续问（二面角、距离）综合提升。预测2026年：1.

题型与分值：延续1小题（5分）+1解答题（15分），解答题第一问仍为平行/垂直证明，是必得分点。2.

小题预测：聚焦线面、面面位置关系判断，如线面平行推线线平行、线面垂直推面面垂直，难度基础，重点考定理辨析。3.

解答题预测第一问：线面平行（中位线/平行四边形）或线面垂直（证线垂两条相交线），简单送分。新动向：①跨关系融合：平行与垂直结合证明（如先证线面平行，再证线面垂直）；②载体创新：以不规则棱锥/组合体为载体，需先补形/分割；③向量辅助：可用空间向量法证明垂直（如点积为0），简化推理．题型01空间点线面位置关系判断解｜题｜策｜略1、判断与空间位置关系有关的命题的方法：（1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断；（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定。2、两点注意：（1）平面几何的结论不能完全引用到立体几何中；（2）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与提升或公认结论相矛盾的命题，进而作出判断。例1（2026·天津·调研）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，则例2（2026·天津滨海新·月考）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则【变式1】（2026·天津北辰·月考）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．，，，B．，，C．，，D．，【变式2】（2026·天津津南·月考）在正方体中，E，F分别为CD和的中点，则异面直线AF与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．题型02共面、共线、共点证明解｜题｜策｜略1、证明点线共面问题的两种方法（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证有关点、线共平面，再证其他点、线共平面,最后证平面,重合.2、证明点共线问题的两种方法（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；（2）直接证明这些点都在一条特定直线上.3、证明三线共点问题的步骤第一步：先证其中两条直线交于一点；第二步：再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线。[例1（2025·天津河西·月考）下列命题中真命题的为（

）A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个例2（2025·天津·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，E是PD的中点，F，M分别在线段PC，PB上，且，，.(1)证明：多面体为四棱锥；(2)作出四棱锥的底面所在平面与平面的交线，写出画法，不必证明；(3)若，平面，且，求四棱锥的体积.【变式1】（2025·天津河西·调研）如图，在体积为的三棱锥中，分别为棱上的点，且，记为平面的交点，记三棱锥的体积为，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·天津滨海新·调研）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则．题型03线线、线面、面面平行证明解｜题｜策｜略1、线线平行的证明方法（1）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；（2）利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2、线面平行的判定方法（1）利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点；（2）利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行线面平行”）（3）利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。（简记为“面面平行线面平行”）3、面面平行的判定方法（1）面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合（不常用）；（2）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（主要方法）；（3）垂直于通一条直线的两个平面平行（客观题可用）；（4）平行于同一个平面的两个平面平行（客观题可用）.例1（2026·天津和平·月考）如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，.

(1)证明：直线平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值；(3)求平面与平面的夹角的余弦值.例2（2026·天津·月考）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.(1)求证：平面；(2)若平面平面，，.①若点到平面的距离为，求的值.②当时，求平面与平面夹角的余弦值.【变式1】（2026·天津·调研）如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的大小；(3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角正弦值为，求到平面的距离.【变式2】（2026·天津蓟州·月考）如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)若为线段上靠近点的三等分点，求到平面的距离．题型04线线、线面、面面垂直证明解｜题｜策｜略直线与平面垂直的判定方法1、利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面；2、利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直；3、可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；4、面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面；5、面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面；6、面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.例1（2026·天津滨海新·月考）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足，，，，平面.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离.例2（2026·天津·月考）如图.在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，，，是的中点.(1)求直线与平面的夹角的大小；(2)求平面与平面的夹角的大小；(3)若点在棱上，使得异面直线与所成角的正切值为，求点到平面的距离.【变式1】（2026·天津·调研）长方体中，，，E、F分别为，中点，.

(1)求证：平面；(2)求直线与直线所成角的余弦值；(3)求三棱锥的体积.【变式2】（2026·天津滨海新·月考）如图所示，直三棱柱，，．

(1)求证：；(2)若E为中点，求平面与平面BCE夹角的余弦值；(3)求点到平面BCE的距离．题型05平行关系中的动点探究问题解｜题｜策｜略1、探索性问题的一般解题思路：先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．2、探索性问题的答题步骤：第一步对“是否存在”给出作答，写出探求的最后结论；第二步探求结论的正确性。例1（2025·天津南开·调研）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题：①平面；②三棱锥的体积为定值；③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2（2025·天津·调研）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，，四边形是矩形，平面，，，点E为的中点．(1)求证平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在直线上存在动点P，使得直线与平面所成角的余弦值为求线段的长．【变式1】（2026·天津武清·月考）已知正方体的棱长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为．【变式2】（2025·天津·调研）如图，在四棱锥中，底面正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点.

(1)证明：平面；(2)若点为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)若平面平面，求线段的长.题型06垂直关系中的动点探究问题解｜题｜策｜略垂直关系的动点问题本质是“动态约束下的位置定位”，需通过以下四步建立解题逻辑：模型识别：判断垂直类型（线线/线面/面面垂直），识别隐含模型（如三垂线、一线三垂直、直径所对圆周角等）；条件转化：将几何垂直条件转化为可运算的关系（向量点积为零、斜率乘积为-1、线面垂直判定定理等）；轨迹定位：通过约束条件确定动点轨迹（直线、线段、圆、平面等），缩小探索范围；问题求解：结合轨迹性质计算长度、最值或存在性，优先选择几何直观与代数运算结合的方法。例1（2025·天津南开·调研）如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到三棱锥，设，点分别为棱，的中点，为线段上的动点，则下列命题：①在翻折过程中，存在某个位置使得；①若，则与平面所成角的正切值为；③三棱锥体积的最大值为2；④当时，的最小值为.其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2（2026·天津南开·月考）如图，直三棱柱中，侧棱长为4，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为.【变式1】（2026·天津西青·月考）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（

）A．当时，点一定在线段上B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为C．当点在棱上运动时，的最小值为D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为【变式2】（2025·天津北辰·月考）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是的中点．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的夹角的余弦值；(3)线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角正弦值，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．（建议用时：20分钟）1．（2025·天津·一模）设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则2．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点．(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值；(3)求平面与平面夹角的正弦值．3．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．，，， B．，，C．， D．，4．（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，.(1)证明：与平面PAD；(2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值；(3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积.5．（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（

）A． B． C． D．6．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．7．（2025·天津滨海新·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD．(1)证明：平面CDE；(2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值；(3)求点G到直线AB的距离．8．（2025·天津河西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上异于点P，，平面ABE与棱PD交于点(1)求证：；(2)若，求证：平面平面若，，直