2026年高考数学二轮复习专题09 数列的递推求通项归类7大考向（重难）（天津）（原卷版）

重难点09：数列的递推求通项归类内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年共性规律：必考，解答题第1问+小题组合，5-11分；高频递推模型：Sn型、线性递推（一阶/二阶）、差比型；核心要求：转化为等差/等比、n=1验证、多解取舍。预测2026年：命题形式：解答题第19题（1）（5-6分）+5分小题（选择/填空，5-7题），载体为等差/等比衍生数列，递推以一阶线性+Sn型为主。考查侧重：基础型：Sn与an互化（保分题），重点n=1验证。中档型：累加法/累乘法+构造法融合。新情景：结合实际建模（如增长率/折旧）、函数耦合（an与f(n)联动）、含绝对值/分段递推，强化分类讨论与临界值验证。难度与陷阱：难度中档；陷阱在n=1漏验、构造后首项错误、多解未取舍（结合单调性/有界性排除）。考向1：观察法求通项已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．1．（2026·天津和平·月考）数列的一个通项公式是.2．（2025·天津河西·模拟预测）数列的一个通项公式是（

）A． B．C． D．3．（2026·天津·月考）数列的一个通项公式可以是（

）A． B． C． D．4．（2025·天津静海·月考）求通项公式(1)已知数列、、、、求通项公式；(2)在数列中，，且点在直线上，求数列的通项公式；(3)数列的首项为，且前项和满足，求数列的通项公式；(4)数列满足，，求数列的通项公式；5．（2025·天津河西·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（

）A． B． C． D．考向2：由Sn与an关系求通项若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．1．（2025·天津河北·月考）已知数列的前项和，则的前12项和为．2．（2026·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是．3．（2026·天津·月考）已知数列的前n项和，则=．4．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，．(1)求与的通项公式；(2)数列的前n项和，求及的最小值和最大值；(3)设，求．5．（2026·天津滨海新·月考）（1）在等差数列中，，求通项及数列的前项和；（2）数列的前项和为，且.求数列的通项公式；考向3：累加法求通项适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解1．（2026·天津滨海新·月考）已知数列满足，则的最小值为.2．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（

）A．239 B．225 C．211 D．26113．（2025·天津南开·月考）瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案如下图，分别记为曲线，，，，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作等边三角形，再去掉底边．记为曲线所围成图形的面积，则（

）A． B． C． D．4．（2025·天津滨海新·月考）在数列中，，则.5．（2025·天津·模拟预测）已知数列{}满足则数列{}的通项公式=，若数列{}对任意的恒成立，则实数k的最小值为考向4：三项递推法求通项适用于形如型的递推式用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型1．（2025·天津·模拟预测）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（

）A．27 B．28 C．29 D．302．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列中，，，，则等于（

）A． B． C．4 D．53．已知数列，，．(1)证明：数列，为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前n项和．4．（2025·天津蓟州·月考）（1）在数列中，，，且满足，求数列的通项公式；（2）在数列中，，，求数列的通项公式；（3）若数列是正项数列，且，求数列的通项公式5．数列的首项，且对任意，恒成立，则．考向5：累乘法求通项适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解1．（2026·天津·月考）已知数列的首项且满足.(1)证明：是等比数列；(2)数列满足，，求数列的通项公式；(3)记，求数列的前项和.2．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列.(1)求，的值；(2)求；(3)证明：.3．（2025·天津南开·模拟预测）已知等差数列和等比数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）；(3)求.4．（2025·天津滨海新·月考）已知数列的项满足，而，则（

）A． B． C． D．5．（2025·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是考向6：构造法求通项1、形如（其中均为常数且）型设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．2、形如型（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列；（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：。1．（2025·天津·模拟预测）已知数列满足，，数列满足.(1)求和的通项公式；(2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）.2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．5203．（2025·天津西青·模拟预测）已知数列，下列结论不正确的是（）A．若为等比数列，则数列是等差数列B．若，，则C．若，，则D．若为等差数列，则数列是等比数列4．（2025·天津·模拟预测）某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（

）（参考数据：，，，）A．1240 B．1260 C．1280 D．12905．（2025·天津和平·模拟预测）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．9 B．21 C．45 D．93考向7：倒数法求通项形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要点：①若p＝r，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq\f(q,p)，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解1．（2025·天津南开·模拟预测）已知数列满足，，则的值为.2．已知数列满足，则数列的通项公式.3．已知各项均不为0的数列满足，且，则．4．（2025·天津红桥·模拟预测）在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．5．已知数列中，且，则为（

）A． B． C． D．（建议用时：60分钟）1．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（

）．A．， B．，C．， D．，2．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（

）A．27 B．30 C．33 D．363．（2025·天津·三模）已知数列和的满足，(1)（i）求的值；（ii）求的值.(2)若数列满足对于，求证：，使得．4．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（

）．A．1350 B．1352 C．2025 D．20265．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则.6．（2024·天津河北·二模）在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列.已知等差比数列中，，则等于（

）A．5 B．9 C．15 D．1057．（2024·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（

）A． B． C． D．8．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去.(1)求操作1次后桶中的水量；(2)求操作次后桶中的水量；(3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，）9．（2025·天津·模拟预测）数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（

）A．， B．，C．， D．，10．（2025·天津·二模）在数列中，若（），则的值为（

）A．1 B．3 C．9 D．2711．（2025·天津滨海新·二模）已知数列满足，其中.(1)若，求数列的前n项的和；(2)若，且数列满足：，证明：.(3)当，时，令，判断对任意，，是否为正整数，请说明理由.12．（2025·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，．(1)求数列和的通项