2026年高考数学二轮复习专题10 向量三大定理与四心（题型）（天津）（原卷版）

专题10向量三大定理与四心目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01重心及三角形的外接圆与外心题型02垂心及三角形的内切圆与内心题型03平面向量中等和线的应用题型04平面向量中的最值（范围）问题题型05平面向量的数量积运算题型06平面向量的投影、投影向量第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01重心及三角形的外接圆与外心【例1-1】（2025·天津·联考）在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（

）①若，则是等腰三角形；②若，三角形面积，则三角形外接圆半径为；③若点为内一点，且，则；④在中，若有解，则的取值范围是.A．1 B．2 C．3 D．4【例1-2】（2025·天津·联考）已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（

）①若，则定为等腰三角形②若，则一定是锐角三角形③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形⑤若，则点是的内心A．1 B．2 C．3 D．4一、三角形的四心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；二、三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．重要结论：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、，，则有.三、三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．重要结论：若点是△的外心，则或；反之，若或，则点是△的外心。【变式1-1】（2024·天津·三模）已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【变式1-2】（2025·天津·联考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确个数是（

）①若，则定为等腰三角形②若，则一定是锐角三角形③已知，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是④若，则点O是的内心A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（2026·天津·月考）点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为.题型02垂心及三角形的内切圆与内心【例2-1】（2025·天津静海·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确个数是（

）①若，则定为等腰三角形②若，则一定是锐角三角形③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形⑤若，则点O是的内心A．1 B．2 C．3 D．4【例2-2】（2025·天津·模拟预测）是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．重要结论：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心．垂心三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.重要结论：若是△的垂心，则或，反之，若或，则是△的垂心．【变式2-1】（2025·天津滨海新·三模）已知中，所对的边为若为所在平面内点，则下列说法正确的个数为（

）①若，则为三角形的重心；②若，则点是的垂心；③若是的外心，则；④若是的内心，则.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-2】（2025·天津滨海新·一模）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式2-3】（2026·天津·联考）在中，非零向量、、满足，则点是的（

）A．内心 B．外心C．重心 D．垂心题型03平面向量中等和线的应用【例3-1】（2025·天津和平·联考）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则．

【例3-2】（2025·天津·月考）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（

）A．18 B．16 C．12 D．8一、平面向量共线定理已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然.二、等和线平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，；当直线AB在点O与等和线之间时，；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.三、证明步骤如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值=1\*GB3①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得而，所以，于是=2\*GB3②若时，（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则，不妨设与的相似比为由三点共线可知：存在使得：所以（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：所以，于是综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则(的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；（3）从长度比计算最值.【变式3-1】（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示；若，则的值为．【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2025·天津宝坻·月考）在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是.题型04平面向量中的最值（范围）问题【例4-1】（2026·天津滨海新·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则.若是线段上的一个动点，则的最小值为.【例4-2】（2026·天津·联考）在梯形中，，，，与交于点，且，则，点在线段上，满足，平面内有一动点满足，则的最大值为.一、平面向量中的最值（范围）问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．二、极化恒等式设a，b是平面内的两个向量，则有证明：，①，②将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．【变式4-1】（2025·天津河西·联考）在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为；的最小值为．【变式4-2】（2025·天津南开·联考）已知圆的半径为1，点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点为和，则的最小值为.【变式4-3】（2025·天津西青·月考）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为.题型05平面向量的数量积运算【例5-1】（2026·天津·联考）设x，，向量，向量，，且，，则（

）A． B．3 C．4 D．【例5-2】（2025·天津·模拟预测）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：；；公式都可通用异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角），使用范围广泛，通常是求模或者夹角．，通常是求最值的时候用．【变式5-1】（2026·天津滨海新·月考）设集合M为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当b最小时，的取值为，【变式5-2】（2026·天津·月考）平面向量，，，其中，则下列正确的是（

）①

②若，则③

④若，则A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④【变式5-3】（2026·天津·联考）中，为边中点，,,,则（用,表示），若,,则题型06平面向量的投影、投影向量【例6-1】（2026·天津·月考）向量，，则在上的投影向量的坐标为.【例6-2】（2025·天津·模拟预测）若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为.解向量数量积的几何意义是:一个向量在另一个向量上的投影和这个向量模的积。如果能巧妙的找到投影长度,数量积就能快速算出，且不用知道两个向量的所成角,所以用投影法能有效解决一类问题【变式6-1】（2026·天津·月考）已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为．【变式6-2】（2026·天津滨海新·月考）已知，，若点为中点，则在上的投影向量为(用与表示);建立平面直角坐标系，若为坐标原点，，则等于.【变式6-3】（2026·天津西青·联考）如图，已知正方形的边长为2，圆弧是以为直径的半圆弧．当点为圆弧的中点时，在上的投影向量的模长为；当点为圆弧上的动点时，的最小值为．1．（2025·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（

）

A． B．C． D．2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量，，若，则y的值为（

）A． B． C．2 D．3．（2025·天津红桥·模拟预测）已知，，与夹角的大小为，则（

）A．3 B． C． D．4．（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（

）A． B． C． D．5．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，．(1)求的坐标，的值；(2)若，求实数k的值；(3)若，求实数k的值．6．（2025·天津南开·模拟预测）“天津之眼”摩天轮是天津的地标建筑，闪耀着这座城市的宏伟与浪漫．下图是抽象自“天津之眼”的几何图形，圆是以1为半径的圆，，是关于直线对称的两点，且，，为圆上两个动点，满足，且是以为始边按逆时针方向旋转所成角的终边与圆的交点．（1）当点运动到满足，且点在点上方时，则在上的投影向量的模为；（2）当点，在圆上运动时，的取值范围是．7．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则；的最小值为．8．（2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则（用，表示）；若，，且，则.9．（2025·天津·二模）已