2026年高考数学二轮复习专题11 等差等比数列函数性质（题型）（天津）（原卷版）

专题11等差等比数列函数性质目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01求等差等比基本量的解题技巧题型02等差数列前n项和的解题技巧题型03等比数列前n项和的解题技巧题型04数列中最值问题的解题技巧题型05数列周期性的应用及解题技巧题型06等差数列中与的关系第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01求等差等比基本量的解题技巧【例1-1】（2026·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（

）A． B．2 C．3 D．4【例1-2】（2026·天津红桥·月考）已知数列是等差数列，，则．解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．【变式1-1】（2026·天津红桥·月考）记等差数列的前项和为，则（）A．130 B．135 C．145 D．150【变式1-2】（2026·天津东丽·月考）已知数列满足，求．【变式1-3】（2026·天津滨海新·月考）若直线与圆C：相切，则①；②数列为等差数列；③圆C可能经过坐标原点；④数列的前10项和为22.以上结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型02等差数列前n项和的解题技巧【例2-1】（2026·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则．【例2-2】（2026·天津·月考）已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为.等差数列前n项和与函数关系令，，等差数列前项和公式是无常数项的二次函数等差数列前n项和的性质，，……仍成等差数列为等差数列推导过程：（一次函数）为等差数列【变式2-1】（2026·天津·月考）等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（

）A．4052 B．4051 C．4050 D．4049【变式2-2】（2026·天津武清·月考）高阶等差数列是数列逐项差之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第10层小球的个数为（

）.A．45 B．55 C．65 D．75【变式2-3】（2026·天津滨海新·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且.(1)求,的通项公式；(2)设,的前项和分别为，求.(3)设为数列的前项和，求.题型03等比数列前n项和的解题技巧【例3-1】（2025·天津·模拟预测）已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（

）A．30 B．32 C．42 D．46【例3-2】（2026·天津·联考）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，……，若该数列的前项和为，则满足的整数的个数为（

）A．29 B．30 C．31 D．32等比数列前n项和的性质（1），，……仍成等比数列（2）【变式3-1】（2025·天津红桥·一模）等比数列的前n项和为，且，，则（

）A．24 B．28 C．36 D．48【变式3-2】（2025·天津·联考）在数列中，已知，则的前10项和为（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2025·天津河西·联考）设数列的前n项和为，则等于（

）A． B． C． D．题型04数列中最值问题的解题技巧【例4-1】（2025·天津静海·三模）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（）A． B．当且仅当时，取得最小值C． D．数列中第5项的值最大【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）设为一等差数列的第项．若及，则下列何者正确？（）I．该数列的首项是100．II．III．是该数列最小的正数项．A．只有I及II B．只有I及IIIC．只有II及III D．I、II及III解决数列的单调性问题可用以下三种方法：①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列.②用作商比较法根据或与1的大小关系进行判断③结合相应函数的图象直观判断.若，则最大，若，则最小求等差数列前项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值利用等差数列的前项和为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前项和的最值，已知等差数列的公差为,前项和为,①若有最小值，若,则最小，若,则最小；②若有最大值，若,则最大，若则最大【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（

）项．A．4 B．5 C．6 D．7【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）设为等差数列的前n项和，且满足，，对任意正整数n，都有，则k的值为（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【变式4-3】（2025·天津·一模）等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（

）．A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定题型05数列周期性的应用及解题技巧【例5-1】（2026·天津滨海新·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【例5-2】（2026·天津·月考）已知数列满足，则.对于无穷数列如果存在一个正整数,对于任意正整数恒有成立，则称是周期为的周期数列。的最小值称为最小正周期，简称周期【变式5-1】（2026·天津·月考）已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则．【变式5-2】（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（

）．A．1350 B．1352 C．2025 D．2026【变式5-3】（2025·天津滨海新·月考）若数列满足，则，则（

）A． B． C． D．2题型06等差数列中与的关系【例6-1】（2026·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是．【例6-2】（2025·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且.(1)求数列、的通项公式；(2)令，求数列的前项和.等差数列中与的关系数列的前项和和通项的关系：则【变式6-1】（2024·天津·二模）已知数列的前n项和为，且满足，若对于任意的正整数n恒成立，则实数的取值范围为．【变式6-2】（2026·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【变式6-3】（2025·天津·模拟预测）（2026·天津·月考）（1）已知数列前项和为，求数列的通项公式；（2）已知是公差为正的等差数列，且，，求数列的通项公式.1．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（

）．A．， B．，C．， D．，2．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（

）A．27 B．30 C．33 D．363．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（

）A．15 B．35 C．45 D．554．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（

）A．239 B．225 C．211 D．2615．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（

）A．30 B．4944 C．9876 D．147486．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．5207．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（

）A． B． C． D．9．（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（

）A．60 B．54 C．42 D．3610．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（

）A． B． C．9 D．1611．（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（

）.A． B． C． D．12．（2024·天津河北·二模）在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称