2026年高考数学二轮复习专题11 几何法解决立体几何问题（复习讲义）（原卷版）

专题11几何法解决立体几何问题目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 4考点一线与面各种平行垂直关系 4真题动向必备知识知识1处理线与面各种平行关系知识2处理线与面各种垂直关系命题预测题型1线线平行、线面平行及面面平行题型2线线垂直、线面垂直及面面垂直考点二处理各种角问题 12真题动向必备知识知识1处理异面直线所成角知识2快速处理线面角问题知识3快速处理二面角的平面角问题命题预测题型1线线角与线面角的求算题型2简单二面角的求算题型3线线距、点面距及体积的求算命题轨迹透视有关几何法解决立体几何的天津高考试题，立体几何总体难度有所提升,但仍然以基础性题目为主,注重考查数学文化,社会生活实践中的数学问题,解答题以常见儿何体为载体,重点考查空间中点,线、面的位置关系的判断与论证,以及空间角的求法,从能力上更加注重对空间想象,逻辑思维和运算求解能力的考查,题目多为中档的综合性问题，立体几何的题目考查形式多样，且难度不定,需要学生在平时下功夫,加强对中低档题目的训练,打好基础,在平时训练中注意提高空间想象、逻辑推理和运算求解能力。考点频次总结考点2025年2024年2023年线与面各种平行垂直关系T4，5分T9，5分T17，15分处理各种角问题T17，15分T17，15T8，5分2026命题预测预计在2026年高考中，立体几何解答题（17题，约15分）第一问必考线面/面面平行/垂直证明（几何法优先），后两问角度/距离/体积计算，可能设置建系障碍，倒逼几何法应用。规则几何体（柱/锥/台/球）+拼接/翻折/截面新情景，强调空间想象与逻辑推理。几何法关键场景：证明问：线面平行（中位线/平行四边形）、线面垂直（证线⊥面内两相交线）必考，步骤要全，如“直线在平面外”等条件不可漏。计算问：二面角（三垂线定理找平面角）、点面距离（等体积法/垂面法）、体积（割补/等积转化），2026大概率强化几何法得分权重。小题：截面、外接球、位置关系判断，可能出现纯几何法速解的题。考点一线与面各种平行垂直关系1．（2025·天津·高考真题，17，15分）正方体的棱长为4，分别为中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．2．（2025·天津·高考真题，4，5分）若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2008·天津·高考真题，4，5分）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，4．（2024·天津·高考真题，9，5分）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（

）A． B． C． D．5．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2023·天津·高考真题，17，15分）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．7．（2023·天津·高考真题，8，5分）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（

）A． B． C． D．8．（2004·天津·高考真题，17，15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.(1)证明平面；(2)证明平面；(3)求二面角的大小.知识1处理线与面各种平行关系线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）方法一：中位线型：形如1、如图=1\*GB2⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.分析：方法二：构造平行四边形形如2、如图=2\*GB2⑵,平行四边形和梯形所在平面相交，//，求证：//平面.分析：过点作//交于，就是平面与平面的交线，那么只要证明//即可。方法三：作辅助面使两个平面是平行形如3、如图⑶，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，为的中点，证明：直线分析：：取中点，连接，只需证平面∥平面。方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。形如4、已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．形如5．如图=5\*GB2⑸，已知三棱锥，是,,的重心.(1)求证：∥面；知识2处理线与面各种垂直关系证明垂直：线线垂直线面垂直面面垂直必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系【易错提醒】空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。题型1线线平行、线面平行及面面平行1．（2025·天津·一模）设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则2．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．，，， B．，，C．， D．，3．（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，.(1)证明：与平面PAD；(2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值；(3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积.4．（2025·天津河西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上异于点P，，平面ABE与棱PD交于点(1)求证：；(2)若，求证：平面平面若，，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，求点C到平面ABE的距离.5．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面的夹角；(3)求点M到平面的距离．6．（2025·天津·二模）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则7．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到直线的距离.8．（2025·天津滨海新·三模）在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．9．（2025·天津滨海新·三模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则10．（2025·天津·二模）如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离.题型2线线垂直、线面垂直及面面垂直11．（2025·天津·二模）如图，在棱长为的正方体中，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①；②三棱锥的体积为定值；③存在一点，使；④若，则面积的最大值为，其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（2025·天津和平·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，且.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离.13．（2025·天津和平·二模）已知a，b是空间两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的为（

）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则14．（2025·天津·一模）已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（

）A． B．C． D．15．（2025·天津河北·二模）若，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则16．（2025·天津·一模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则17．（2025·天津·一模）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则18．（2019·天津南开·模拟预测）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．(1)求证：平面BCDE；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．考点二处理各种角问题1．（2024·天津·高考真题，17，15分）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．2．（2008·天津·高考真题，17，15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，.(1)证明：平面；(2)求异面直线与所成的角的大小；(3)求二面角的大小.因为平面，平面，所以．又，平面因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，，从而是二面角的平面角．由题设可得，，，，，于是在中，所以二面角的大小为．3．（2007·天津·高考真题，17，15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，，，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明平面PCD；(3)求二面角的大小.4．（2004·天津·高考真题，17，15分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E为PC中点．（1）求证：PA∥平面EDB．（2）求EB和底面ABCD成角正切值．5．（2021·天津·高考真题，17，15分）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．6．（2020·天津·高考真题，17，15分）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．知识1处理异面直线所成角常规方法：第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长第三步：利用余弦定理求出待求角第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求秒杀：四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位置，利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题结论：在四面体中，若与所成的角为四面体对棱夹角公式：证明如下：因为所以知识2快速处理线面角问题结论：{点面距离（往往用等体积法计算），线自身长度}知识3快速处理二面角的平面角问题结论：任意二面角的平面角满足如（）注意：为原图上的点，而分子_则是点在面的投影点【易错提醒】两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系题型1线线角与线面角的求算1．（2025·天津和平·调研）如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2025·天津西青·月考）已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．3．（2025·天津和平·模拟预测）在正四棱柱中，，，分别是平面和上一点，且，，记异面直线与所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2025·天津和平·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．5．（2025·天津平·调研）长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．6．（2025·天津和平·模拟预测）在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（

）A． B． C． D．7．（2025·天津·调研）在直三棱柱中，侧棱平面，若，，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．8．（2025上·天津武清·月考）如图：在直三棱柱中，是的中点，是的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与直线所成角的余弦值.题型2简单二面角的求算9．（2025·天津和平·开学考试）如图，在三棱锥中，，且.(1)若，证明：平面平面；(2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值.10．（2025·天津·调研）（请用几何法作答此题）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求二面角的正切值.11．（2025·天津红桥·调研）如图，在棱长为1的正方体中，E是棱的中点，F为的中点.

(1)求证:平面(2)求平面与平面夹角的余弦值.12．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在四棱柱中，是一个直角梯形，，，，点为中点，平面，且.点分别为和中点.(1)证明：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积.13．（2025·天津和平·调研）如图，在四棱锥.中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，(1)求证:平面(2)求直线与平面所成角的余弦值(3)求二面角的余弦值.14．（2025·天津河西·调研）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面，，，，，，，G为BC的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求二面角的正切值.15．（2025·天津和平·模拟预测）如图是由6个边长为2的正三角形拼接而成的六面体，M，N分别为PC，AB的中点.(1)求该六面体的体积；(2)求证：；(3)求直线MN与平面ABQ所成角的正弦值.16．（2025·天津·月考）如图，四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，且．(1)若，直线与所成角为，①求四棱锥的体积；②求二面角的大小；(2)若为线段上一点，试确定E点的位置，使得平面垂直于平面，并说明理由．题型3线线距、点面距及体积的求算17．（2025·天津西青·月考）如图，在直角梯形中，，，.若梯形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（