2026年高考数学二轮复习专题13 数列综合大题（题型）（天津）（原卷版）

专题13数列综合大题目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01错位相减法题型02分组求和法题型03裂项相消法题型04倒序相加法题型05分段数列求和题型06并项求和第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01错位相减法【例1-1】（2026·天津蓟州·月考）已知数列满足：，.(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求数列的前n项和；(3)设，求数列的前n项和.【例1-2】（2026·天津红桥·月考）已知等差数列的通项公式，数列满足．(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；(2)已知数列求数列的前项和．错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）注意事项①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．【变式1-1】（2026·天津滨海新·月考）已知为等差数列，为等比数列，.(1)求的通项公式；(2)若的前项和为，求；(3)设，的前项和为，若，对，，关于的方程有解，求的最小值.【变式1-2】（2026·天津滨海新·月考）已知等差数列和等比数列满足：，，，(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【变式1-3】（2026·天津·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且与是各项均为正整数的递增数列，，，．(1)求、的通项公式；(2)若和都是无穷递增数列，且从中任取不少于两项（互不相同）之和，都不是中的项，则称被拉黑．（i）求，并判断是否被拉黑，说明理由．（ii）设，，任取一列系数，满足．令，求证：无论如何取值，都被拉黑．题型02分组求和法【例2-1】（2026·天津滨海新·月考）已知数列中，(1)求的值；(2)求证：数列是等比数列；(3)求数列的前项和．【例2-2】（2025·天津·模拟预测）已知数列通项公式，则数列的前9项和为.（1）分组转化求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．（2）分组转化法求和的常见类型【变式2-1】（2025·天津滨海新·三模）若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，其中常数．(1)当时，写出的值；(2)证明：是等比数列；(3)设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式．【变式2-2】（2025·天津滨海新·一模）已知为正项等差数列，，为的前项和.(1)求数列的通项公式：(2)求数列的前项和;(3)设数列的前项和为，证明：.【变式2-3】（2026·天津滨海新·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且.(1)求,的通项公式；(2)设,的前项和分别为，求.(3)设为数列的前项和，求.题型03裂项相消法【例3-1】（2026·天津蓟州·月考）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)集合共有4个元素，求实数范围.【例3-2】（2026·天津红桥·月考）已知数列，则．常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则积累裂项模型6：阶乘（1）（2）常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．【变式3-1】（2026·天津河北·月考）已知数列的前项和为，，数列满足：，且分别为数列第二项和第三项.(1)求数列与数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和；(3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式.【变式3-2】（2026·天津滨海新·月考）定义：，已知数列满足，，则．【变式3-3】（2026·天津·调研）已知等差数列满足，，其中为的前项和，数列为正项等比数列，，是与的等差中项.(1)求数列和的通项公式；(2)求；(3)数列满足，，数列中第，，，…，，…项构成新的等比数列，求.题型04倒序相加法【例4-1】（2026·天津和平·月考）已知数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)已知为正整数，设，求．【例4-2】（2025·天津·调研）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)设．（ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和；（ⅱ）若且，证明：．将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．【变式4-1】（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设．（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）求．【变式4-2】（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且．(1)求数列和的通项公式；(2)若①当为奇数，求；②求．【变式4-3】设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为.题型05分段数列求和【例5-1】（2025·天津南开·一模）已知等差数列与递增等比数列满足：，，.(1)求和通项公式；(2)保持数列的各项顺序不变，在与之间插入个，使它们与数列的项组成一个新数列，记数列的前项和为，求；(3)记（其中），证明：.【例5-2】（2026·天津滨海新·调研）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)若，求数列的前项和．（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和【变式5-1】（2026·天津西青·月考）已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，.(1)求和的通项公式；(2)对任意的正整数，设，求；(3)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和.【变式5-2】（2026·天津南开·调研）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，，(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前2n项和；(3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围.题型06并项求和【例6-1】（2025·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【例6-2】（2026·天津滨海新·调研）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)设，求；(3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求两两并项或者四四并项【变式6-1】（2024·天津·二模）等差数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式：(2)求数列的前项和.【变式6-2】（2025·天津西青·月考）等差数列的首项，其前10项和，正项等比数列中，，．(1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)已知求数列的前项和【变式6-3】（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（

）A． B． C． D．1．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍．(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足，，且当，.（i）求证：；（ii）求数列的前项的和．2．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列的前项和为，满足：，公差为整数且满足，正项等比数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)设，其中，求数列的前项和为；(3)定义为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：，记，求证：.3．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．4．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项.(1)求数列的前n项和；(2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值；(3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.5．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，为的前n项和，求.6．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，．（i）求数列的通项公式；（ii）设数列满足求数列的前项和．7．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围；(3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求．8．（2025·天津·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列