2026年高考数学二轮复习专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线等问题4大考向（重难）（天津）（原卷版）

重难点13：圆锥曲线中的定点、定值、定直线等问题内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津卷以解答题第18题（15分）第2问为主，载体为椭圆，常考直线过定点、斜率/向量/中点定值、定直线存在性，核心是设参→联立→韦达消参，难度中高档。预测2026年：命题形式：18题第2问（7-8分），载体为椭圆，可与抛物线/圆融合，考定点+定值+定直线耦合（如动直线过定点且截距为定值，求定直线）。基础型：椭圆定点证明（保分），用特殊探路+韦达消参快速求解。中档型：椭圆+抛物线/圆，结合斜率积/向量条件求定点/定值，需运算精准。新情景：翻折/旋转+定点定值（如椭圆翻折后动直线过定点）、实际建模（光学/轨迹）、含参数递推动点，强化临界分析与多解验证。考向1：圆锥曲线的定值问题1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。1．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、．(1)求椭圆的方程；(2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率；(3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12．(1)求椭圆的方程；(2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．3．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由.4．（2025·天津·二模）已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2.(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）.5．（2025·天津和平·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为．(1)求椭圆离心率；(2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长．考向2：圆锥曲线的定点问题1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。1．（2025·天津·二模）已知A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点在椭圆上.若定义向量的运算：（是向量的夹角），且（为坐标原点）.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线交椭圆于另一点，且，求直线的方程.2．（2024·天津·模拟预测）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，.①求证：直线过轴上的定点；②求的面积的最大值.3．（2025·天津河北·一模）设椭圆的离心率等于，拋物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)动点为椭圆上异于的两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线经过定点.4．（2025·天津·一模）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)若为直线上一动点，且直线，分别与椭圆交于，两点（异于，两点），证明：直线恒过一定点.5．（2025·天津河西·模拟预测）已知椭圆上右顶点到右焦点的距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长.(1)求椭圆C的方程；(2)设P（4，0），AB是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；(3)在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围.考向3：圆锥曲线的定直线问题解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤：1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。1．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为.是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2．（2025·天津南开·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．3．（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程．4．（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为．(1)求椭圆的方程；(2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程．5．（2025·天津南开·一模）已知点F是椭圆C：(a>b>0)的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；(3)若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．考向4：圆锥曲线的最值问题圆锥曲线最值问题的解题步骤：1、设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；2、联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x（或y）的一元二次方程；3、建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；4、求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值。1．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2．(1)求椭圆C方程．(2)设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围．2．（2025·天津红桥·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围．3．（2025·天津河东·二模）已知椭圆的离心率为，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点，点到直线的距离为，当时，点的纵坐标为.(1)求椭圆方程及；(2)证明：；(3)点，当取最大值时，求椭圆上任意点到直线的最大距离.4．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆：的离心率为，左､右焦点分别为，，上､下顶点分别为，，且四边形的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.5．（2025·天津河西·二模）已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值.（建议用时：60分钟）1．（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率.2．（2025·天津·一模）已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线过定点，并求定点坐标；(3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程.3．（2025·天津·一模）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围．4．（2025·天津滨海新·三模）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点．（i）求面积的取值范围；（ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．5．（2025·天津红桥·二模）已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧).(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程.6．（2025·天津河北·二模）已知椭圆的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点在椭圆上．(1)求椭圆C的离心率及标准方程；(2)过点且斜率存在的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2025·天津·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围.8．（2025·天津和平·二模）已知椭圆（）的短轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的左、右顶点分别为、，设点B为椭圆上的点（异于点、），直线与直线交于点C，以BC为直径的圆与直线交于另一点D（异于点B），直线CD与x轴相交于点E，试证明点E为定点并求出点E的坐标.9．（2025·天津和平·一模）椭圆的左、右焦点分别为和，左顶点为，下顶点为.(1)求椭圆的离心率；(2)已知过的直线与椭圆交于两点，若在直线上存在一点，使得为面积是的等边三角形，求直线的方程与椭圆的标准方程.10．（2025·天津南开·一模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．(1)求的方程；(2)过点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于．若，求直线的斜率．11．（2025·天津河西·一模）已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．12．（2025·天津武清·一模）已知椭圆过点，分别为椭圆的左、右焦点且(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.13．（2025·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，短轴长为2，若点分别是椭圆的左右顶点，动点，，