2026年高考数学二轮复习专题14 计数原理、随机变量及分布列（复习讲义）（原卷版）

专题14计数原理、随机变量及分布列目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 4考点一排列组合 4真题动向必备知识知识1组合问题常见题型知识2二项式定理考点命题预测题型1排列组合问题题型2二项式定理问题考点二离散型随机变量 7真题动向必备知识知识1离散型随机变量知识2离散型随机变量的均值或数学期望知识3正态分布命题预测题型1抽用样本估计总体题型2离散型随机变量的分布列、均值、方差题型3正态分布问题命题轨迹透视天津高考对该部分内容主要以探索创新情境与生活实践情境为载体，重在考查考生的逻辑思维能力及对事件进行分析、分解和转化的能力;该部分考查的必备知识在选择题和填空题中常常考查排列组合、二项式定理、抽用样本估计总体等,解答题则以利用排列组合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差、二项分布和正态分布等问题为主,重点考查知识的应用性与基础性,考查的关键能力主要是逻辑思维能力、数学建模能力、创新能力;考查的学科素养主要为理性思维、数学应用和数学探索。考点频次总结考点2025年2024年2023年排列组合T11，5分T11，5分T11，5分离散型随机变量T5，5分T3，5分T7，5分2026命题预测预计在2026年高考中，分值与题型：约10分，结构稳定：1填空（二项式，5分）+1填空（排列/概率，5分））；难度梯度为：二项式易、排列组合中、离散型随机变量中偏难。二项式定理（5年5考）：第11题填空，考通项求指定项系数/常数项，偶考系数和（赋值法），不考复杂综合。排列组合：小题（5-8题或填空）考基础模型（相邻捆绑、不相邻插空、分组分配、定序倍缩），多为古典概型背景，强调“有序/无序”区分。离散型随机变量：填空考二项分布/超几何分布的期望方差；解答题（18题）考分布列+期望+方差，常与全概率公式、条件概率结合，新情景（如体育、购物、生产）突出建模能力。新情景考法：排列组合+概率：含限制条件的古典概型（如“至多/至少”“含特殊元素”），用间接法简化计算。随机变量+数列/函数：如分布列与数列递推、期望的函数最值，考知识迁移。跨模块融合：与统计图表（频率分布直方图）、向量、不等式结合，强调数据处理与转化考点一排列组合1．（2025·天津·高考真题，11，5分）在的展开式中，项的系数为．2．（2022·天津·高考真题，11，5分）在的展开式中，常数项是.3．（2024·天津·高考真题，11，5分）在的展开式中，常数项为．4．（2023·天津·高考真题，11，5分）在的展开式中，的系数为．5．（2007·天津·高考真题，11，5分）的二项展开式中常数项是．（用数字作答）6．（2003·辽宁·高考真题，11，5分）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.（用数字作答）知识1组合问题常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．（3）分堆问题①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为．（4）定序问题．对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．（5）相同元素分组问题用“隔板法”：知识2二项式定理考点一般地,对于任意正整数,都有：()，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式。式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.③各二项式系数之和为，即；④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即。【易错提醒】①在二项式定理的问题要注意的系数为，在展开求解时不要忽略②对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解题型1排列组合问题1．（2025·天津红桥·二模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中随机选择1个景点游玩，记事件为“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件为“两位游客选择的景点不同”，则，.2．（2025·天津·一模）某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有种.3．（2025·天津和平·三模）清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高二年级3人相邻”，事件的排法为种；在事件“高二年级3人相邻”的前提下，事件“高一年级2人不相邻”的概率为．4．（2025·天津河东·一模）某工程队有项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进行那么安排这项工程的不同排法种数是.（用数字作答）5．（2024·天津河东·二模）一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有种．（用数字作答）6．（2026·天津·模拟预测）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（

）种.A．120 B．60 C．24 D．367．（2026·天津东丽·开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则.题型2二项式定理问题8．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为．（用数字作答）9．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为．10．（2025·天津红桥·模拟预测）在的二项展开式中，x的系数为．11．（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为.12．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为．13．（2025·天津·二模）在的展开式中，常数项为.14．（2025·天津和平·三模）若二项式的展开式中，的系数为，则．15．（2025·天津滨海新·三模）在二项式的展开式中常数项为．16．（2025·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为．17．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为.考点二离散型随机变量1．（2025·天津·高考真题，13，5分）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望2．（2025·天津·高考真题，5，5分）下列说法中错误的是（

）A．若，则B．若，，则C．越接近1，相关性越强D．越接近0，相关性越弱3．（2024·天津·高考真题，13，5分）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为．4．（2023·天津·高考真题，13，5分）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为．5．（2007·天津·高考真题，16，15分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球均为红球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.6．（2022·天津·高考真题，13，5分）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为7．（2003·天津·高考真题，16，5分）有三种产品，合格率分别为0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）8．（2021·天津·高考真题，13，5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．知识1离散型随机变量离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.随机变量和函数的关系随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．离散型随机变量的分布列离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和(1)离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列．(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.两点分布对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，eq\o(A,\s\up6(－))表示“失败”，定义X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，\o(A,\s\up6(－))发生.))如果P(A)＝p，则P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布．知识2离散型随机变量的均值或数学期望1．离散型随机变量的均值或数学期望正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do10(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．2．两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p；3．离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．4．离散型随机变量的方差、标准差正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．5．几个常见的结论(1)D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．知识3正态分布1．正态曲线正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))无限增大时，曲线无限接近x轴．3．正态分布的期望与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.简单随机抽样Ⅰ：简单随机抽样：系统抽样、分层抽样、每个个体被抽中的概率都相同Ⅱ：频率分布直方图：①组距：相邻横坐标之间的差值②概率：概率=纵×组距（面积）③中位数：取，前半图形面积为④众数：图形中最高的中值.⑤平均数：⑥方差：⑦极差：最大--最小Ⅲ：茎叶图①中位数：去头去尾取中间②众数：出现次数最多的数③平均数：④评价：【易错提醒】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.题型1抽用样本估计总体1．（2025·天津和平·二模）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（

）A．B．满意度计分的众数约为75分C．满意度计分的平均分约为79分D．满意度计分的第25百分位数约为70分2．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17B．若事件M，N相互独立，，，则C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份D．已知随机变量X服从二项分布，若，则3．（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（

）A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元C．若随机变量服从正态分布，且，则D．若随机变量，满足，则，4．（2025·天津·一模）下列说法正确的是（

）A．一组数据的第60百分位数为4B．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差C．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断变量X与Y独立，此推断犯错误的概率不大于0.015．（2025·天津南开·二模）某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（

）．A． B． C． D．6．（2025·天津·一模）下列说法错误的是（

）A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为77．（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（

）A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好8．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（

）A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是B．若随机变量服从正态分布，且，则C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14题型2离散型随机变量的分布列、均值、方差9．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是．10．（2025·天津北辰·三模）下列命题中①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值②若随机变量满足，则③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1④设且，则其中错误命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．111．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为．12．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（

）A．已知随机变量，若，则B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点13．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是.012314．（2025·天津·二模）将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则.15．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望.16．（2024·天津北辰·模拟预