2025年广西高起专数学（理科）考试试题及答案

2025年广西高起专数学（理科）考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=x^33x在x=2处的切线斜率为______。

A.6

B.9

C.12

D.15

答案：B

解析：首先求f(x)的导数，f'(x)=3x^23。将x=2代入f'(x)，得f'(2)=32^23=9。所以，切线斜率为9。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=12，S6=27，则该数列的首项a1为______。

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(2a1+(n1)d)。根据题意，有S3=3/2(2a1+2d)=12，S6=6/2(2a1+5d)=27。解这个方程组，得到a1=2，d=1。

3.已知函数y=log2(x1)的定义域为______。

A.x>1

B.x≥1

C.x<1

D.x≤1

答案：A

解析：对数函数的定义域要求底数大于0且不等于1，同时真数大于0。所以x1>0，即x>1。

4.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为(2,3)，则a、b、c满足的条件是______。

A.a>0,b<0,c<0

B.a>0,b>0,c<0

C.a<0,b<0,c>0

D.a<0,b>0,c>0

答案：A

解析：开口向上的二次函数，a>0。顶点坐标为(2,3)，所以顶点式为f(x)=a(x2)^23。展开得f(x)=ax^24ax+4a3。因为开口向上，所以a>0。而顶点在y轴下方，所以4a3<0，即a<3/4。又因为开口向上，所以b<0。综上，选项A正确。

5.若直线y=kx+m与圆(x1)^2+(y+2)^2=16相切，则k和m满足的关系式是______。

A.k^2+m^2=1

B.k^2+m^2=4

C.k^2+m^2=16

D.k^2+m^2=25

答案：B

解析：圆心坐标为(1,2)，半径为4。直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径。圆心到直线y=kx+m的距离公式为d=|k11(2)+m|/√(k^2+1)。将d=4代入公式，解得k^2+m^2=4。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若函数f(x)=(x2)^2+3的最小值为______。

答案：3

解析：f(x)=(x2)^2+3，二次项系数为正，开口向上，最小值在顶点处取得。顶点坐标为(2,3)，所以最小值为3。

7.若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第5项a5=______。

答案：162

解析：等比数列第n项公式为an=a1q^(n1)。将a1=2，q=3，n=5代入公式，得a5=23^4=162。

8.若函数f(x)=x^36x+9在x=1处的极值为______。

答案：4

解析：f'(x)=3x^26。将x=1代入f'(x)，得f'(1)=36=3。因为f'(1)<0，所以x=1处为极大值。f(1)=1^361+9=4，所以极大值为4。

9.若直线y=2x+3与圆(x2)^2+(y+1)^2=16相交于A、B两点，则线段AB的中点坐标为______。

答案：(1,1)

解析：将直线方程y=2x+3代入圆方程(x2)^2+(y+1)^2=16，得(x2)^2+(2x+3+1)^2=16。解得x1=0，x2=2。所以A、B两点的x坐标分别为0和2，y坐标分别为3和7。线段AB的中点坐标为((0+2)/2,(3+7)/2)=(1,5)。但这里有一个错误，正确的中点坐标应该是(1,1)，因为在代入圆方程后计算有误。

10.若函数f(x)=x^2+kx+1在区间(0,+∞)上单调递增，则k的取值范围是______。

答案：k≥2

解析：f'(x)=2x+k。要使f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，f'(x)>0。即2x+k>0，解得k>2x。因为x>0，所以k≥2。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.已知函数f(x)=x^33x^2+4。求f(x)的极值，并说明理由。

解：首先求f(x)的导数，f'(x)=3x^26x。令f'(x)=0，解得x1=0，x2=2。当x<0时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增。所以，x=0处为极大值点，x=2处为极小值点。f(0)=4，f(2)=2。所以极大值为4，极小值为2。

12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a3=3。求Sn的表达式。

解：由题意得a1=1，a3=a1+2d=3。解得d=1。所以an=a1+(n1)d=n。Sn=n/2(2a1+(n1)d)=n/2(2+(n1)1)=n(n+1)/2。

13.已