湖北省黄冈市巴驿中学2026届高一下数学期末教学质量检测模拟试题含解析

湖北省黄冈市巴驿中学2026届高一下数学期末教学质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（）A． B． C． D．2．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（）A． B． C． D．3．若，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．4．若向量，则A． B． C． D．5．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（）A． B．C． D．6．一个不透明袋中装有大小､质地完成相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6，现从中随机选取三个球，则所选三个球上的数字能构成等差数列(如：､､成等差数列，满足)的概率是（）A． B． C． D．7．边长为的正三角形中，点在边上，，是的中点，则（）A． B． C． D．8．中，则A． B． C． D．9．已知过原点的直线与圆C：相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，则弦长为（）A．2 B．3 C．4 D．510．“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在平行四边形中，为与的交点，，若，则__________．12．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）13．中，若，，则角C的取值范围是________.14．如图，正方形中，分别为边上点，且，，则________.15．已知角的终边上一点P的坐标为，则____.16．函数的单调递减区间是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,（1）按下列要求写出函数的关系式：①设，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式，（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值．18．如图，是正方形，是该正方形的中心，是平面外一点，底面，是的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.19．如图，是正方形，是正方形的中心，底面是的中点.（1）求证：平面；（2）若,求三棱锥的体积.20．已知是递增数列，其前项和为，，且，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．21．如图，已知四棱锥，侧面是正三角形，底面为边长2的菱形，，.（1）设平面平面，求证：；（2）求多面体的体积；（3）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据，当时，，再结合时，，可知是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.【详解】由，当时，，所以，当时，，此时，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，即.故选：B.【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.2、D【解析】

现从两袋中各随机取一球，基本事件总数，两球不同颜色包含的基本事件个数，由此能求出两球不同颜色的概率．【详解】甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球，现从两袋中各随机取一球，基本事件总数，两球不同颜色包含的基本事件个数，则两球不同颜色的概率为．故选．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．3、B【解析】

根据不等式性质确定选项.【详解】当时，不成立；因为，所以；当时，不成立；当时，不成立；所以选B.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.4、B【解析】

根据向量的坐标运算法则，可直接得出结果.【详解】因为，所以.故选B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.5、B【解析】

由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．【详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，选项A，C不能说明糖水变得更甜，糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；选项D等价于，不成立，故选：B．【点睛】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、B【解析】

用列举法写出所有基本事件，确定成等差数列含有的基本事件，计数后可得概率．【详解】任取3球，结果有234,236,246,346共4种，其中234，246是成等差数列的2个基本事件，∴所求概率为．故选：B．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法列出所有的基本事件．7、D【解析】

，故选D．8、B【解析】试题分析：由余弦定理，故选择B考点：余弦定理9、A【解析】

根据两直线垂直，斜率相乘等于-1，求得直线的斜率为，进而求出圆心到直线的距离，再代入弦长公式求得弦长值.【详解】圆的标准方程为：，设圆心，，，，，直线的方程为：，到直线的距离，.【点睛】求直线与圆相交的弦长问题，核心是利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离.10、A【解析】

对分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【详解】由题意，当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直；当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直，舍去；当且时，由两条直线相互垂直，则，即，解得或；综上可得：或，两条直线相互垂直，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.【详解】由向量的加法法则得：所以，所以故填：【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.12、.【解析】

设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.【详解】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.13、；【解析】

由，利用正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可得，进而可得结果.【详解】由正弦定理可得，又，则,即，则，C是三角形的内角，则，故答案为：.【点睛】本题注意考查正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.14、（或）【解析】

先设，根据题意得到，再由两角和的正切公式求出，得到，进而可得出结果.【详解】设，则所以，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记公式即可，属于常考题型.15、【解析】

由已知先求，再由三角函数的定义可得即可得解．【详解】解：由题意可得点到原点的距离，，由三角函数的定义可得，，，此时；故答案为．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16、【解析】

求出函数的定义域，结合复合函数求单调性的方法求解即可.【详解】由，解得令，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增函数在定义域内单调递增函数的单调递减区间是故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据的范围确定矩形面积的最大值.试题解析：（1）①因为，所以，所以，．②当时，，则，又，所以，所以，（）．（2）由②得，，当时，取得最大值为．考点：1.三角函数中的恒等变换；2.两角和与差的正弦函数.【方法点睛】本题主要考查的是函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运用，计算能力，属于中档题，此题是课本题目的延伸，如果（2）选择（1）①中的解析式，需要用到导数求解，麻烦，不是命题者的本意，因此正确的选择是选择（1）②中的解析式，化成一个角的一个三角函数的形式，根据的范围确定矩形面积的最大值,此类题目选择正确的解析式是求解容易与否的关键.18、（1）见解析；（2）见解析．【解析】

（1）连接，证明后即得线面平行；（2）可证明平面，然后得面面垂直．【详解】（1）如图，连接，∵分别是中点，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵，底面，底面，∴，又正方形中，，∴平面，而平面，∴平面平面.【点睛】本题考查证明线面平行和面面垂直，掌握线面平行和面面垂直的判定定理是解题关键．19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）由平面得出，由底面为正方形得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面；（2）由勾股定理计算出，由点为线段的中点得知点到平面的距离等于，并计算出的面积，最后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积．【详解】（1）平面，平面，，又为正方形，，又平面，平面，，平面；（2）由题意知：，又，，，点到面的距离为，.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，在计算三棱锥的体积时，充分利用题中的线面垂直关系和平面与平面垂直的关系，寻找合适的底面和高来进行计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题．20、（1）（2）不存在（3）1【解析】

（Ⅰ），得，解得，或．由于，所以．因为，所以.故，整理，得，即．因为是递增数列，且，故，因此．则数列是以2为首项，为公差的等差数列.所以.………………5分（Ⅱ）满足条件的正整数不存在，证明如下：假设存在，使得，则．整理，得，①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数不存在．……1分（Ⅲ），不等式可转化为．设，则.所以，即当增大时，也增大．要使不等式对于任意的恒成立，只需即可．因为，所以.即.所以，正整数的最大值为1．………14分21、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】

（1）由，证得平面，再由线面平行的性质，即可得到；（2）取中点，连结，推得，，得到平面，再由多面体的体积，结合体积公式，即可求解；（3）由，设的中点为，连结，推得，从而得到就是二面角的平面角，由此可求得二面角的余弦值.【详解】证明：（1）因为平面平面