南平市重点中学2026届高一下数学期末综合测试试题含解析

南平市重点中学2026届高一下数学期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C． D．32．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A． B． C．10 D．3．设函数（为常实数）在区间上的最小值为，则的值等于（）A．4 B．-6 C．-3 D．-44．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图所示几何体的是()A． B． C． D．5．己知，，若轴上方的点满足对任意，恒有成立，则点纵坐标的最小值为（）A． B． C．1 D．26．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A． B． C． D．7．已知集，集合，则A．(-2,-1) B．(-1,0) C．(0,2) D．(-1,2)8．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A．这天中有天空气质量为一级 B．这天中日均值最高的是11月5日C．从日到日，日均值逐渐降低 D．这天的日均值的中位数是9．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨10．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=cos2x D．y=﹣sin2x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为________.12．如图，在正方体中，点P是上底面（含边界）内一动点，则三棱锥的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______.13．在平行四边形中，=，边，的长分别为2，1.若，分别是边，上的点，且满足，则的取值范围是______．14．设等比数列的前项和为，若，,则的值为______．15．已知无穷等比数列满足：对任意的，，则数列公比的取值集合为__________．16．_________________；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.18．在相同条件下对自行车运动员甲､乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位:）的数据如下:甲273830373531乙332938342836试判断选谁参加某项重大比赛更合适.19．在一次人才招聘会上，有、两家公司分别开出了他们的工资标准：公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初被、两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在公司或公司连续工作年，则他在第年的月工资分别是多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？20．已知向量＝(sinx，cosx)，＝(cosx，cosx)，＝(2，1)．(1)若∥，求sinxcosx的值；(2)若0＜x≤，求函数f(x)＝·的值域．21．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：5

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

x，y，z为正实数，且，根据基本不等式得，当且仅当x=2y取等号，所以x=2y时，取得最大值1,此时，,当时,取最大值1，的最大值为1,故选B.2、B【解析】

由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由正四棱台体积公式求解．【详解】由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1，所以，，∴该正四棱台的体积.故选：B．【点睛】本题考查由三视图求正四棱台的体积，关键是由三视图判断出原几何体的形状，属于基础题．3、D【解析】试题分析：，，，当时，，故.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的性质.4、B【解析】A.是一个圆锥以及一个圆柱;C.是两个圆锥;D.一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.5、D【解析】

由题意首先利用平面向量的坐标运算法则确定纵坐标的解析式，然后结合二次函数的性质确定点P纵坐标的最小值即可.【详解】设，则，，故，恒成立，即恒成立，据此可得：，故，当且仅当时等号成立.据此可得的最小值为，则的最小值为.即点纵坐标的最小值为2.故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、C【解析】

只需根据函数性质逐步得出值即可。【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C。【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。7、D【解析】

根据函数的单调性解不等式，再解绝对值不等式，最后根据交集的定义求解.【详解】由得，由得，所以，故选D.【点睛】本题考查指数不等式和绝对值不等式的解法，集合的交集.指数不等式要根据指数函数的单调性求解.8、D【解析】

由折线图逐一判断各选项即可.【详解】由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日日均值为82，显然最大，故B正确，从日到日，日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是，所以D不正确，故选D.【点睛】本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.9、B【解析】

根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查必然事件的定义，属基础题.10、D【解析】试题分析：三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．故选D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、6【解析】

利用代数余子式的定义直接求解.【详解】三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题.12、【解析】

设正方体的棱长为，求出三棱锥的主视图面积为定值，当与重合时，三棱锥的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小.【详解】设正方体的棱长为，则三棱锥的主视图是底面边为，高为的三角形，其面积为，当与重合时，三棱锥的俯视图为正方形，其面积最大，最大值为，所以，三棱锥的主视图与俯视图面积比的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，属于基础题.13、【解析】

以A为原点AB为轴建立直角坐标系，表示出MN的坐标，利用向量乘法公式得到表达式，最后计算取值范围.【详解】以A为原点AB为轴建立直角坐标系平行四边形中，=，边，的长分别为2，1设则当时，有最大值5当时，有最小值2故答案为【点睛】本题考查了向量运算和向量乘法的最大最小值，通过建立直角坐标系的方法简化了技巧，是解决向量复杂问题的常用方法.14、16【解析】

利用及可计算，从而可计算的值.【详解】因为，故，因为，故，故，故填16.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．15、【解析】

根据条件先得到：的表示，然后再根据是等比数列讨论公比的情况.【详解】因为，所以，即；取连续的有限项构成数列，不妨令，则，且，则此时必为整数；当时，，不符合；当时，，符合，此时公比；当时，，不符合；当时，，不符合；故：公比.【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.16、1【解析】

利用诱导公式化简即可得出答案【详解】【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)圆：.(2)证明见解析；，.【解析】

（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的方程.（2）设出点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过，，三点的圆是以为直径的圆.设出圆上任意一点的坐标，利用，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程，根据方程过的定点与无关列方程组，解方程组求得该圆所过定点.【详解】解：（1）设圆心，则圆心到直线的距离.因为圆被直线截得的弦长为∴.解得或（舍），∴圆：.（2）已知，设，∵为切线，∴，∴过，，三点的圆是以为直径的圆.设圆上任一点为，则.∵，，∴即.若过定点，即定点与无关令解得或，所以定点为，.【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查圆的弦长有关计算，考查曲线过定点问题的求解策略，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.18、乙，理由见解析.【解析】

分别求解两人的测试数据的平均数和方差，然后进行判定.【详解】甲的平均数为：，方差为：;乙的平均数为：，方差为：;因为，，所以选择乙参加比赛较为合适.【点睛】本题主要考查统计量的求解及决策问题，平均数表示平均水平的高低，方差表示稳定性，侧重考查数据分析的核心素养.19、（1）公司：；公司：；（2）公司十年月工资总和为，公司十年月工资总和为，选公司；【解析】

(1)易得在两家公司每年的工资分别成等差和等比数列再求解即可.(2)根据(1)中的通项公式求解前10年的工资和比较大小即可.【详解】(1)易得在公司的工资成公差为500,首项为8000的等差数列,故在公司第年的月工资为.在公司的工资成公比为,首项为8000的等比数列.故在公司第年的月工资为.(2)由(1)得,在公司十年月工资总和在公司十年月工资总和.因为.故选公司.【点睛】本题主要考查了等差等比数列的实际应用题,需要根据题意找出首项公比公差再求和等.属于基础题型.20、（1）；（2）【解析】

(1)由向量共线得tanx＝2，再由同角三角函数基本关系得sinxcosx＝，即可求解；(2)整理f(x)＝·＝sin（2x+）+，由三角函数性质即可求解最值【详解】(1)∵∥，∴sinx＝2cosx，tanx＝2.∴sinxcosx＝＝=(2)f(x)＝·＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋(1＋cos2x)=sin（2x+）+∵0＜x≤，∴＜2x+≤.∴sin（2x+）≤1∴1≤f(x)≤.所以f(x)的值域为：【点睛】本题考查三角函数恒等变换，同角三角函数基本关系式，三角函数性质，熟记公式，准确计算是关键，是中档题21、（1）0.005；（2）平均分为73，众数为65，中位数为；（3）10【解析】

（1）根据频率之和为1，直接列式计算即可；（2）平均数等于每组的中间值乘以该组频率，再求和；众数指频率最大的一组的中间值；中位数两