4.3 内生解释变量问题

§4.3内生解释变量问题

一、内生解释变量问题二、实际经济问题中的内生解释变量问题三、内生解释变量的后果四、工具变量法五、内生性检验与过渡识别约束检验六、案例一、内生解释变量问题1、内生解释变量

经典模型的基本假设之一是解释变量是严格外生变量。如果存在一个或多个变量是内生解释变量，则称原模型存在内生解释变量问题。对于内生解释变量问题，假设X2为内生解释变量，又分两种不同情况：

内生随机解释变量与随机干扰项同期无关(contemporaneouslyuncorrelated)，但异期相关。

内生随机解释变量与随机干扰项同期相关(contemporaneouslycorrelated)。

2、截面数据模型的内生解释变量问题

对于截面数据模型，上述第1种情况几乎不存在。截面数据模型中的内生解释变量问题主要表现在内生解释变量与随机干扰项的同期相关性上，这时称内生变量为同期内生变量。二、实际经济问题的内生解释变量问题三种情形：被解释变量与解释变量具有联立因果关系（simultaneouscausality）；

（也称双向因果关系或反向因果关系）模型设定时遗漏了重要的解释变量，而所遗漏的变量与模型中的一个或多个解释变量具有同期相关性（omittingrelevantvariables）；解释变量存在测量误差（errors-in-variables）。

联立因果关系：联立方程模型中的每个结构方程在一个经济系统中，变量之间相互依存，互为因果，而不是简单的单向因果关系，必须用一组方程才能描述清楚。称为联立方程模型。联立方程模型的每个方程称为结构方程。每个结构方程的被解释变量是经济系统的内生变量，而解释变量既包括经济系统的外生变量，也包括其它内生变量，由经济行为关系决定。联立方程模型的每个结构方程一般都存在内生解释变量问题。例如：以地区数据为样本，建立某种消费品的需求函数模型，Qi、Pi、Yi表示各个地区的需求量、价格和居民收入。

经济学理论指出，商品价格是由供给与需求的均衡关系决定的，因此商品的需求量Qi又是影响价格Pi的重要因素。即价格和需求量一样，也是该经济系统的内生变量（如还存在价格方程：Pi=

0+1Qi+i)。实际上，上述需求方程只是联立方程模型系统中的一个结构方程。单方程形式中的联立因果关系例为考察企业引进外资是否真正提高了企业的效益，以企业资金利润率LR为被解释变量，以企业资产中外资所占比例WR和其它外生变量X为解释变量，建立模型。通过对企业引进外资情况的实际考察发现，凡是效益好的企业，比较容易引进外资，凡是效益差的企业，引进外资就很困难。

模型中，解释变量WR既影响被解释变量LR，同时它也受被解释变量LR的影响，而LR与μ具有同期相关性，从而导致WR与μ具有同期相关性。遗漏解释变量例劳动者的工资wage主要由劳动者的受教育程度educ、工作经验exper、个人能力abil等诸多因素决定。由于劳动者个人能力的大小很难测度，该解释变量无法引入到工资模型中，于是它对工资的影响进入到随机干扰项之中。而个人能力与其所受教育程度有着较为密切的联系，这就导致了实际用于模型中的劳动者个人受教育程度变量与随机干扰项间出现同期相关性。个人能力abil为同期内生解释变量。三、内生解释变量的后果

计量经济学模型一旦出现内生解释变量，且与随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估计模型参数，会产生严重的后果。下面以一元线性回归模型为例进行说明。

1、内生解释变量与随机干扰项相关图

（a）正相关

（b）负相关

拟合的样本回归线可能低估截距项，而高估斜率项。

拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。2、OLS参数估计量是有偏、非一致性估计量。

OLS估计有偏非一致四、工具变量法1、工具变量的选取工具变量（InstrumentVariable）：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机干扰项同期相关的内生解释变量。选择为工具变量的变量必须满足以下条件：与所替代的内生解释变量高度相关；与随机干扰项不相关；与模型中其它解释变量不高度相关，以避免出现严重的多重共线性。2、工具变量的应用以一元线性回归模型为例（用矩估计法）总体矩条件：样本矩条件：(正规方程组)求解得：如果X内生，则E(Xi

i)0，无法写出对应的样本矩条件几个概念问题能否说“用工具变量代替了模型中的内生解释变量”？不能。模型的解释变量仍然是X。能否说“其它解释变量用自己作为工具变量”？可以。引入工具变量Z，满足E(Zi

i)=0，同时仍有E(

i)=0写出对应的样本矩条件：解得

这种求模型参数估计量的方法称为工具变量法(instrumentalvariablemethod)，相应的估计量称为工具变量法估计量（instrumentalvariable(IV)estimator）。工具变量矩阵，满足：E(Z’

)=0多元模型中，假设X2内生，则需寻找模型外的工具变量Z，以满足

E(Zi

i)=0，写出对应的样本矩条件取代原正规方程组中的对应于E(Xi2

i)=0的样本矩条件。求解新的正规方程组，可得参数的工具变量估计量。矩阵表示：3、工具变量法估计量是一致估计量

一元回归中，工具变量法估计量为4、在小样本下，IV估计量仍是有偏的5、工具变量法与两阶段最小二乘法工具变量法估计过程可等价地分解成两个阶段的OLS回归：第一阶段，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归，并记录X的拟合值；第二阶段，以得到的X的拟合值代替X作为解释变量，进行OLS回归。被称为两阶段最小二乘法（twostageleastsquares,2SLS）。

可以严格证明：2SLS与直接采用IV是等价的。

对于一元模型：X为内生变量，Z为工具变量第1阶段OLS第2阶段OLS对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释变量，Z1为X的工具变量。第1阶段OLS第2阶段OLS对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释变量，Z1和Z2都是X的工具变量。第1阶段OLS第2阶段OLS6、工具变量法与广义矩方法如果1个内生解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，就形成了广义矩方法（GeneralizedMethodofMoments,GMM）。在GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。2SLS是GMM的一种特殊的估计方法，而当一个内生变量只有一个工具变量时所采用的IV，则是2SLS的一个特例。如果所有解释变量都是外生变量，则OLS法也可看成是IV和GMM的特例。五、内生性检验与过度识别约束检验1、Hausman检验(内生性检验)如果δ为0→v与Y同期无关→v与μ同期无关→X与μ同期无关→X是同期外生变量；如果δ显著不为0→v与Y同期相关→v与μ同期相关→X与μ同期相关→X是同期内生变量。Z1外生，与μ不相关怀疑下面模型中X是内生的，如何检验？选Z2作为X

的IV变量，OLS估计下式，并获得v的估计值：原模型中引入v的估计值，再进行OLS估计：2、过度识别约束检验

当1个内生解释变量有多于1个的工具变量时，需要对该组工具变量的外生性进行检验，这就是过度识别约束检验（overidentifyingrestrictionstest）。基本思路是：如果寻找到的工具变量具有外生性，则它们应与原模型中的随机干扰项不同期相关。因此，只需对原模型进行两阶段最小二乘回归（2SLS），将记录的残差项再关于所有工具变量与原模型中的外生变量进行OLS回归，并对该回归中的所有工具变量前的参数都为零的假设进行联合性F检验。例如：二元线性模型，X为内生解释变量，Z为外生解释变量，Z1、Z2为X的工具变量。如果J统计量的值大于给定显著性水平下的临界值，则拒绝Z1和Z2同时为外生变量的假设，意味着它们中至少有一个不是外生的。对模型进行2SLS，得到参数估计，并计算残差做残差关于所有工具变量及模型中外生变量的辅助回归，获得R2

六、案例模型利用中国各省区的数据为样本观测值，建立商品房需求模型。根据商品需求函数理论，对商品房的人均需求面积Q与居民的收入水平（地区人均GDP）及商品房的销售价格P（单位面积售价）有关。考虑到商品房的销售价格也同时受商品房的需求量的影响，则Q与P之间存在着双向因果关系，P为内生解释变量。考虑到商品房价格中包含政府对商品房的课税，而商品房的人均需求面积本身不会直接影响政府对商品房的课税政策，因此房产税Tax1可能是价格的一个适当的工具变量。

步骤对模型进行OLS估计；用房产税Tax1为工具变量，对模型进行IV估计；用房产税Tax1和土地增值税Tax2作为2个工具变量，对模型进行2SLS估计；进行过度识别约束检验，以检验Tax1、Tax2是否是外生变量；用豪斯曼检验判定商品房价格P是否确实是内生变量。

OLS估计IV

估计IV估计两个工具变量的2SLS过度识别约束检验(工具变量的外生性检验)2SLS中的J统计量显示，不拒绝ta1x和tax2作为工具变量的外生性假设

注意：教材中手工计算J=nR2=2.920，由于四舍五入，与软件结果略有差异豪斯曼检验（变量的内生性检验）

Log(P)关于log(Y)、Tax1、Tax2做OLS回归，并记录残差项v(