人教版五年级下册数学《因数和倍数》教案

人教版五年级下册数学《因数和倍数》教案

一、设计理念：立足核心素养，贯通数理逻辑与生活世界

本教案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，秉承“学生为主体，教师为主导”的现代教育思想，致力于在“数与代数”领域构建一个概念清晰、思维深刻、应用广泛的深度学习场域。教学设计超越传统知识与技能的单向传授，转向对数学核心素养——尤其是数感、符号意识、运算能力、推理意识与模型观念——的系统培育。

我们强调概念的形成过程重于结论的记忆。因数与倍数作为整数关系理论的基石，其教学应从具体操作（如拼摆图形、除法运算）中抽象出数学定义，经历“具体—表象—抽象”的完整认知路径。同时，引入结构化思维，帮助学生初步构建关于整数整除性的知识网络，理解因数、倍数与已学的乘除法、整数特性之间的内在联系，为后续学习公因数、公倍数、分数运算乃至代数思想埋下伏笔。

本设计还渗透跨学科视野与问题解决导向。通过设计源自密码学雏形、艺术构图、资源优化分配等真实或模拟情境的任务，引导学生感悟因数与倍数绝非孤立的数学符号，而是刻画世界规律、解决实际问题的有力工具。在教学评价上，贯穿过程性评价与表现性任务，通过追问、思维导图、合作探究报告等形式，实时诊断并促进学生的概念理解与思维发展。

二、教材深度解析：承前启后，明确定位

本单元“因数和倍数”隶属于人教版五年级下册第二单元，是在学生已经系统掌握了整数的四则运算、认识了自然数、并积累了丰富整除感性经验（如乘法口诀、除法余数为零）的基础上，首次对整数之间的一种重要关系进行正式定义与系统研究。

1.知识脉络的承启：

1.2.前继知识：乘、除法的意义及其关系；整除（未明确定义）的直观经验；百以内数的认识。

2.3.核心新知：因数与倍数的形式化定义；求一个数的因数、倍数的方法；2、5、3的倍数的特征；奇数和偶数的概念深化；质数（素数）和合数的概念及其判断。

3.4.后续发展：本单元知识是学习“分数的意义和性质”（特别是约分、通分）、“最大公因数”与“最小公倍数”的直接认知基础，并进一步延伸至中学的整数论、代数式的因式分解等核心内容。

5.教材编排逻辑：教材通常从整除算式引入概念，通过观察、分类、归纳等活动展开教学。本设计在尊重教材主干的同时，对探究活动的层次性、思维挑战性以及与实际生活的链接度进行了强化与重构，旨在实现从“教教材”到“用教材教”的升华。

三、学情精准分析：认知基础与潜在障碍

五年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。

1.已有基础与积极因素：

1.2.经验储备：学生能熟练进行乘除法计算，对于“一个数能被另一个数整除”的现象（如12÷3=4）并不陌生，具备初步的归纳能力。

2.3.思维潜力：部分学生能自发地发现一些数字规律（如个位是0、2、4、6、8的数能被2整除），具备在教师引导下进行有序思考和简单推理的潜力。

3.4.学习动机：对数字的奥秘、规律性知识有天然的好奇心，适宜通过挑战性任务激发探究欲。

5.潜在学习障碍与应对预设：

1.6.概念抽象性：因数与倍数是相互依存的关系性概念，学生容易将其孤立理解，或与乘除法中的“乘数”、“被除数”等角色混淆。对策：通过大量互为验证的算式组和几何模型（如矩形面积阵列），强化关系的相互性与同时性。

2.7.语言表述严谨性：在表述“谁是谁的因数”、“谁是谁的倍数”时容易颠倒或遗漏“关系”主体。对策：设计专项语言训练环节，采用填空、判读、互说等方式固化规范表述。

3.8.探究方法的有序性与完整性：在寻找一个数的全部因数或倍数时，易产生遗漏或重复，且缺乏优化策略。对策：引导学生从“1”和“本身”出发，成对寻找，并借助乘法口诀或除法算式，强调有序思考；探究倍数特征时，强化从“观察个位”到“计算各位数字和”等科学探究步骤。

4.9.质数与合数概念的本质理解：学生可能仅凭记忆较小质数进行判断，而未深入理解其“因数个数只有两个”的本质属性。对策：设计“给数字找朋友（因数）”、“制作因数个数表”等活动，让分类标准从数据中自然涌现。

四、教学目标：多维融合，素养导向

基于以上分析，确立以下三维整合、素养为本的教学目标：

1.知识与技能：

1.2.理解因数与倍数的相互依存关系，能结合具体情境或算式正确判断、规范表述。

2.3.掌握求一个数的因数和倍数的方法，做到有序、不重不漏。

3.4.探索并掌握2、5、3的倍数的特征，能准确、快速地识别。

4.5.理解奇数和偶数的概念，并能运用其性质。

5.6.理解质数（素数）和合数的意义，能判断100以内的自然数是质数还是合数，熟记20以内的质数。

7.过程与方法：

1.8.经历从实际问题抽象出数学概念、从特例归纳一般规律的全过程，发展抽象概括和归纳推理能力。

2.9.在寻找因数、倍数及探索特征的过程中，体验有序思考、枚举、分类、验证等数学思想方法。

3.10.学会运用因数、倍数的知识分析和解决简单的实际问题，初步建立数学模型。

11.情感、态度与价值观：

1.12.在探究数字奥秘的活动中获得积极的情感体验，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.13.感受数学概念的严谨与和谐之美，体会数学与生活的密切联系。

3.14.在小组合作与交流中，养成乐于思考、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

15.核心素养聚焦：

1.16.数感：形成对数字之间关系的敏感度，能直观感知因数、倍数的存在。

2.17.符号意识：用数学语言（算式、陈述句）准确表达因数、倍数关系。

3.18.推理意识：在探索特征、判断质合数时进行合情推理与逻辑论证。

4.19.模型观念：运用因数倍数模型解决如分组、铺地等实际问题。

五、教学重难点

1.教学重点：

1.2.理解因数和倍数的概念及相互关系。

2.3.掌握求一个数的因数、倍数的方法。

3.4.探索2、5、3的倍数的特征。

4.5.理解质数和合数的意义。

6.教学难点：

1.7.因数与倍数关系的抽象理解及规范表述。

2.8.有序、完整地求出一个数的全部因数。

3.9.理解3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数）的算理。

4.10.准确区分奇数、偶数与质数、合数这两组基于不同分类标准的概念。

六、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件：包含动态演示、情境动画、互动练习题等。

2.3.教具：数字卡片（1-100）、可拼贴的方格纸或磁贴小正方形、百数表大幅挂图或电子交互版。

3.4.学习任务单（探究单、练习单）。

4.5.分组探究材料（如密码锁情境卡、设计长方形花园方案图等）。

6.学生准备：

1.7.预习教材相关内容，尝试用乘法算式表示一些数的关系。

2.8.准备练习本、彩笔、直尺。

3.9.对“整除”现象进行生活观察（如包装、排队）。

七、教学实施过程（核心环节，分课时详案）

本单元建议安排6-7课时。以下以核心概念课和关键探究课为例，呈现详细实施过程。

第一课时：因数与倍数的意义

（一）情境冲突，激趣导入（约8分钟）

1.活动“巧解密码锁”：

1.2.课件出示情境：一个两位数的密码锁，提示信息是“这个数是18的因数”。

2.3.提问：“根据这个提示，你能猜出密码可能是哪些数吗？你是怎么想的？”

3.4.学生可能凭直觉说出1,2,3,6,9,18等。教师板书这些数，并追问：“为什么这些数可能是密码？它们和18有什么关系？”引导学生用乘法算式表示（如1×18=18，2×9=18…）。

4.5.揭示课题：像1,2,3,6,9,18这些数与18之间，就存在着一种特殊的“因数”与“倍数”关系。今天我们就来深入研究它。

（二）操作探究，建构概念（约20分钟）

1.模型支撑，建立表象：

1.2.任务一：拼长方形。给出12个完全相同的小正方形，要求拼成不同的长方形（含正方形），并记录每排的个数和排数。

2.3.学生操作后汇报成果，教师对应板书乘法算式：1×12=12,2×6=12,3×4=12。

3.4.引导学生观察：每排个数、排数与总个数12之间的关系。明确：每排个数和排数都是12的因数，12是它们的倍数。

5.算式抽象，形成定义：

1.6.从拼摆模型过渡到纯数字算式。出示：20÷4=5,8÷3=2……2,30÷6=5。

2.7.引导学生观察这些除法算式的特点（重点观察余数），分类出“整除”的算式（20÷4=5,30÷6=5）。

3.8.核心讲解：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。

4.9.以20÷4=5为例，进行语言表述训练：“20是4和5的倍数，4和5是20的因数。”强调表述的完整性。

10.关系辨析，深化理解：

1.11.出示一组算式（如36÷9=4），进行正反表述练习。

2.12.关键讨论：能说20是倍数，4是因数吗？为什么？通过辨析，强调因数与倍数是“相互依存”的关系，必须指明“谁是谁的”。

3.13.引入字母表示：如果a×b=c（a,b,c都是不为0的自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。渗透代数思想的萌芽。

（三）巩固内化，灵活应用（约10分钟）

1.基础辨识：根据算式或给定数对，判断并表述因数、倍数关系。

2.开放联想：教师说一个数（如24），学生抢答出它的一个因数，并接受其他同学“它是谁的倍数”的追问，形成互动链。

3.生活链接：举例说明生活中的因数倍数关系（如：班级分组，每组人数和组数与总人数的关系）。

（四）小结延伸，布置任务（约2分钟）

1.小结：今天我们认识了因数和倍数这对“好朋友”，它们形影不离。关键是在整数除法整除的情况下讨论。

2.任务：寻找自己学号数字的因数，并思考如何找才能一个不漏？

第二课时：求一个数的因数与倍数

（一）迁移导入，提出问题（约5分钟）

1.回顾上节课内容，出示学生学号（如36）。

2.提问：“上节课后大家找了学号的因数，谁来说说36的因数有哪些？你是怎么找到的？”

3.学生汇报，方法可能多样（随意找、用除法、用乘法）。教师提出挑战：“怎样才能保证找出全部因数，而且不重复、不遗漏呢？”

（二）策略探究，优化方法（约22分钟）

1.探究“如何求一个数的因数”：

1.2.以36为例，小组合作探究：用你们喜欢的方法找出36的所有因数，记录在任务单上，并总结你们的方法有什么优点。

2.3.小组汇报，教师引导对比不同方法（除法：36÷1=36,36÷2=18…；乘法：1×36=36,2×18=36…）。

3.4.策略提炼与优化：

1.4.5.成对找，按序来：从最小的因数1开始试除，除数和商成对出现（1和36，2和18，3和12，4和9，6和6）。

2.5.6.遇到重复就停止：当除数和商相等或接近时（6×6=36），说明找完了。

3.6.7.书写有技巧：可以按从小到大的顺序列写，也可以用集合图表示。

7.8.即时练习：求16、25、7的因数。特别关注像7这样的数，因数只有1和它本身，为质数学习铺垫。

9.探究“如何求一个数的倍数”：

1.10.提问：“2的倍数有哪些？你是怎么想的？”

2.11.学生容易说出无穷多个。引导发现方法：用2依次乘1，2，3，4……得到的积都是2的倍数。

3.12.方法概括：求一个数的倍数，用这个数依次乘自然数1,2,3…。

4.13.讨论“一个数的倍数有什么特点？”：最小是它本身，没有最大，个数无限。

5.14.对比练习：求3和5的5个倍数。体会因数的有限性与倍数的无限性。

（三）分层练习，深化理解（约10分钟）

1.基础层：教材对应练习题，巩固方法。

2.综合层：判断下列说法是否正确，并说明理由。

1.3.一个数的因数一定比它的倍数小。（）

2.4.12是倍数，3是因数。（）

3.5.一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。（）

6.拓展层：一个长方形面积是24平方厘米，长和宽都是整厘米数，这样的长方形有几种？长和宽分别是多少？（运用找因数知识解决）

（四）课堂总结（约3分钟）

1.引导学生用思维导图或对比表格小结求因数与倍数的方法及特点。

第三、四课时：2、5、3的倍数的特征

（设计理念：将2、5的倍数特征（聚焦个位）与3的倍数特征（聚焦各位和）分层次探究，突出探究方法的差异性。）

（一）2、5的倍数特征探究（以2为例，5类比迁移）

1.情境导入（生活化）：电影院双号门入场、人民币号码…

2.大胆猜想：观察百数表中2的倍数，你有什么发现？（个位是0,2,4,6,8）

3.验证猜想：

1.4.举例验证：任意写几个个位是0,2,4,6,8的多位数，用除法验证。

2.5.初步说理（数位值思想引导）：一个数可以看成几个十、几个百……加上个位数。几十、几百都是2的倍数，所以关键看个位。

6.定义偶数与奇数：是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数。

7.5的倍数特征：学生运用相同探究流程（观察百数表->猜想个位是0或5->验证->结论）自主或合作完成。

8.综合应用：同时是2和5的倍数特征（个位必须是0）。

（二）3的倍数特征探究（深度探究课）

1.制造认知冲突：

1.2.复习2、5倍数特征（看个位）。

2.3.提问：3的倍数特征，是不是也看个位？观察3,6,9,12,15,18,21,24…的个位，规律吗？（无规律）

3.4.激发进一步探究欲望。

5.操作探究，发现规律：

1.6.活动“数位摆珠子”（或用计数器模型）：用珠子在不同数位上表示一个数（如12：十位1颗，个位2颗）。

2.7.提问：12是3的倍数吗？移动珠子，比如把十位的1颗移到个位，变成3，它还是3的倍数吗？为什么？

3.8.小组合作探究：提供一些数是3的倍数（如12,15,18,21,27,36等），计算它们各位上的数字之和，你有什么发现？

4.9.发现猜想：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

10.深入验证，理解算理：

1.11.举例广泛验证：学生举例任意多位数验证。

2.12.初步算理阐释（关键环节，教师引导）：

1.3.13.以两位数为例：一个两位数可以写成10a+b=9a+(a+b)。9a一定是3的倍数，所以整个数是否是3的倍数，就取决于(a+b)（即各位数字之和）是否是3的倍数。

2.4.14.用类似思想解释三位数等。不要求学生严格证明，但通过此过程感受特征背后的数学原理，超越机械记忆。

15.巩固与应用：

1.16.判断给定的数是否是3的倍数。

2.17.在□里填数字，使数是3的倍数。讨论有几种填法。

3.18.对比沟通：为什么2、5看个位，3要看各位和？引导学生从数的组成（与10、与9的关系）角度思考。

第五课时：质数与合数

（一）游戏分类，引出标准（约10分钟）

1.活动“给数字找朋友”：给出1~20各数的卡片，任务是为每个数找出它的所有因数朋友（写出因数个数）。

2.学生完成后，教师引导观察黑板上的结果：“如果根据这些数‘因数朋友’的个数来给它们分分类，你们打算怎么分？”

3.学生可能分成：只有1个因数的（1）；只有两个因数的（2,3,5,7,11…）；有两个以上因数的（4,6,8,9,10…）。

4.教师揭示数学上的分类：像2、3、5这样，只有1和它本身两个因数的数，叫质数（或素数）；像4、6、8这样，除了1和它本身还有别的因数的数，叫合数。1只有一个因数，它既不是质数也不是合数。

（二）辨析理解，构建网络（约15分钟）

1.概念巩固：判断给定数是质数还是合数，并说明理由。

2.制作100以内质数表（埃拉托斯特尼筛法）：

1.3.小组合作，从1划到100。

2.4.划掉1；圈出最小的质数2，然后划掉所有2的倍数（除了2本身）。

3.5.圈出下一个没被划掉的数3，划掉所有3的倍数。

4.6.依次类推，到什么时候可以停止？（划到7的倍数即可，因为11²>100）。

5.7.最终剩下的数就是100以内的质数。学生熟记20以内（2,3,5,7,11,13,17,19）的质数。

8.概念关系图：将自然数（非0）按因数个数分为{1}、{质数}、{合数}。沟通与奇数、偶数的关系（强调分类标准不同：质数中有偶数2，合数中既有奇数也有偶数）。

（三）历史链接与现实应用（约8分钟）

1.数学文化：简要介绍“哥德巴赫猜想”（任何大于2的偶数可以写成两个质数之和），感受质数在数论中的核心地位。

2.现实应用：简述质数在密码学（RSA加密）中的基础作用，了解其重要性。

（四）综合练习（约7分钟）

设计辨析题、应用题（如：两个质数的和是质数还是合数？举例说明）。

第六课时：单元整理与拓展应用

（一）知识结构化梳理（约15分钟）

1.学生以小组为单位，用思维导图或概念网络图梳理本单元核心概念（因数、倍数、2/3/5倍数特征、奇数偶数、质数合数）及其内在联系。

2.各组展示并互评，教师提炼升华。

（二）跨学科综合应用项目（约25分钟）

1.项目主题：“我是校园设计师”。

2.任务：学校有一块长18米、宽12米的长方形空地，计划划分成若干个大小相等的正方形种植区（边长为整米数），且无剩余。你有哪些设计方案？

3.探究过程：

1.4.问题转化：正方形边长需能整除18和12，即边长是18和12的公因数。自然引出公因数概念（为后续学习铺垫）。

2.5.方案求解：学生找出18和12的所有因数，再找共同的因数（1,2,3,6），即可能的正方形边长。

3.6.方案决策与表达：计算每种边长下的正方形个数，绘制简易设计图。讨论哪种方案更合理（从美观、管理成本等角度）。

4.7.拓展思考：如果想用正方形地砖铺满一个房间（长宽已知），且砖块尽量大，该选边长多少的砖？（自然指向最大公因数）。

8.此项目整合了找因数、几何直观、问题解决，并自然衔接后续学习内容。

八、板书设计（示例：核心课时）

第一课时板书：

因数和倍数

情境：密码是18的因数→1,2,3,6,9,18

模