【教案】探索三角形相似的条件（二）：两边成比例且夹角相等-人教版九年级数学下册

【教案】探索三角形相似的条件（二）：两边成比例且夹角相等——人教版九年级数学下册

一、教学设计总览

（一）设计理念与指导思想

本节课的设计紧密围绕《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，以发展学生核心素养为根本宗旨，着力于“三会”目标的落实——即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。具体到几何教学领域，本节课聚焦于培养学生的几何直观、空间观念和推理能力。

设计遵循“以生为本，探究为径”的原则，将传统的定理传授模式转化为学生主动建构的知识发现过程。通过创设真实或拟真的问题情境，引导学生经历“观察猜想→操作验证→逻辑证明→迁移应用”的完整数学探究链条，体验从合情推理到演绎推理的思维跃升。同时，贯彻“大单元教学”思想，将本课置于“三角形相似”的完整判定体系中审视，注重知识间的内在联系与结构统整，帮助学生构建网状知识图谱，而非零散的知识点。

教学设计还融入了跨学科视野，有意识地关联物理、工程、艺术等领域中的相似形应用，展现数学作为基础科学的工具价值与文化内涵，提升学生的综合素养与学习内驱力。

（二）内容与学情分析

1.教学内容分析：

本节课是“相似三角形”判定定理体系的第二块基石。在此之前，学生已经学习了相似多边形的定义、平行线分线段成比例定理及其推论，并掌握了第一个三角形相似的判定定理（平行于三角形一边的直线所构成的三角形与原三角形相似）。本节内容“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（SAS相似判定定理）是三角形相似判定方法中最为核心和常用的定理之一，它和后续将学习的“三边成比例”（SSS）及“两角分别相等”（AA）定理共同构成了完整的三角形相似判定体系。

从知识逻辑上看，本定理是全等三角形SAS判定定理在相似形领域的自然推广，体现了数学知识从特殊到一般的发展规律。定理本身包含两个核心要素：“两边成比例”与“夹角相等”，二者缺一不可，这是教学中的关键点与易错点。定理的证明巧妙地运用了“构造法”，通过作平行线将问题转化为已学的平行线相似模型，是转化与化归数学思想的典型范例。

2.学情分析：

教学对象为九年级下学期学生，其认知发展处于形式运算阶段，具备一定的抽象逻辑思维能力，但几何推理的严谨性和完整性仍需强化。

1.3.已有基础：学生熟练掌握比例的性质、相似多边形的定义、平行线分线段成比例定理及其推论，并初步接触了第一种相似判定方法。同时，他们对全等三角形的SAS判定定理记忆深刻。

2.4.潜在困难：

1.3.5.理解层面：对“夹角”的精确理解，尤其是在复杂图形中准确识别对应夹角；理解“两边成比例”与“夹角相等”作为一组联合的、充分的条件，而非独立条件。

2.4.6.思维层面：定理证明中“在较长边上截取”的辅助线构造思路不易自发形成；从文字语言、图形语言到符号语言的顺畅转换存在障碍。

3.5.7.应用层面：在综合图形中，灵活选择并正确运用该定理进行论证和计算。

6.8.教学策略：针对以上分析，本设计将采用“类比全等，引发猜想”、“动态几何，直观验证”、“拆解证明，剖析思路”、“变式训练，辨析条件”等策略，搭建脚手架，化解难点。

（三）教学目标与重难点

基于以上分析，确立本节课的三维教学目标：

1.知识与技能：

1.2.理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。

2.3.能够准确叙述定理的条件与结论，并会用几何符号语言规范表达。

3.4.能够独立完成该定理的证明过程，理解其中蕴含的转化思想。

4.5.能准确、灵活地运用该定理判定两个三角形相似，并解决相关的计算与证明问题。

6.过程与方法：

1.7.经历从具体实例中抽象出数学猜想，并利用几何画板等工具进行验证，最后通过严谨的逻辑推理证明猜想的过程，体会数学探究的一般方法。

2.8.通过类比全等三角形的SAS判定，学习从特殊到一般的数学推广方法。

3.9.在定理的应用中，学习分析综合法，提高从复杂图形中分离基本图形、识别对应关系的能力。

10.情感、态度与价值观：

1.11.在探究活动中获得成功的体验，增强学习几何的自信心。

2.12.感受数学定理的和谐、统一之美（如全等与相似的判定类比），体会数学思维的严谨性与创造性。

3.13.通过了解相似三角形在测量、工程设计等领域的应用，认识数学的实用价值，激发学习兴趣。

教学重点：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的探索、证明及其初步应用。

教学难点：

1.定理证明中辅助线的创造性构造思路。

2.在应用定理时，能准确、快速地找到“成比例的两边”及其“夹角”，并确保对应关系正确。

3.理解定理中“夹角相等”这一条件的必要性。

（四）教学方法与手段

1.教学方法：

1.2.主导-主体相结合：采用“引导发现法”与“探究式教学法”为主，教师作为组织者、引导者和合作者，精心设计问题链，引导学生主动探究；学生作为探究主体，通过观察、操作、猜想、验证、推理、交流等活动构建知识。

2.3.类比迁移法：充分利用学生已有的全等三角形SAS判定知识，通过类比，自然过渡到相似三角形判定条件的猜想。

3.4.讲练结合法：在定理得出后，通过多层次、多角度的例题与练习，促进知识的理解、巩固与迁移。

5.教学手段：

1.6.多媒体辅助：运用几何画板软件进行动态演示，直观展示当两边长度变化、夹角变化时三角形形状的变化，强化“两边成比例且夹角相等”是形状确定的充分条件，突破理解难点。

2.7.传统板书：系统化呈现定理的生成过程、规范证明步骤以及知识结构图，利于学生形成长效记忆和整体认知。

3.8.学案导学：使用导学案，明确探究任务、记录猜想、梳理证明思路、进行分层练习，提高课堂效率。

（五）教学准备

1.教师准备：精心制作的多媒体课件（含几何画板动态演示文件）；教学设计详案；课堂练习与分层作业设计。

2.学生准备：复习平行线分线段成比例定理、相似多边形定义及全等三角形的SAS判定；直尺、圆规、量角器。

3.环境准备：具备多媒体投影设备的教室；学生分组（4-6人一组，便于讨论）。

二、教学过程实施

第一环节：创设情境，温故孕新（预计用时：8分钟）

【教师活动】

1.情境导入：

（课件展示一幅微缩景观模型与实景照片的对比图，如埃菲尔铁塔模型与实景）

师：同学们，这是工程师制作的建筑模型与实物的对比。大家发现它们之间有什么关系？

生：形状相同，大小不同——即相似。

师：在实际建造或测量中，我们常常无法直接测量巨大物体的尺寸。工程师是如何根据模型精确计算出实物高度的呢？这背后依赖于一个强大的数学工具——三角形相似。我们已经知道，证明两个三角形相似，最基本的方法是利用定义（三边成比例，三角相等），但定义条件苛刻，使用不便。因此，我们需要寻找更简捷的判定方法。

2.复习回顾：

师：我们已学习了一种判定方法，谁能表述？

生：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（教师板书画图示意）

师：这实质上是利用平行线这一特殊位置关系得到角相等，进而推导出相似。那么，如果没有平行线，我们能否像判定全等三角形那样，通过比较有限的边角条件来判定相似呢？

（课件快速回顾全等三角形的SAS、ASA、SSS、AAS、HL判定方法）

师：全等是相似当相似比为1时的特例。既然“两边及其夹角相等”（SAS）能唯一确定一个全等三角形，请大家大胆猜想：如果将“相等”放宽为“成比例”，即“两边成比例且夹角相等”，能否确定两个三角形相似呢？

板书课题：探索三角形相似的条件（二）

【学生活动】

观察图片，联系实际，感受相似的应用价值。回顾已学判定定理。在全等判定的类比启发下，自然产生对“两边成比例且夹角相等”能否判定相似的猜想。

【设计意图】

从真实世界中的工程问题切入，彰显数学的实用性，激发求知欲。通过复习旧知，搭建从“平行线”判定到“边角条件”判定的认知桥梁。类比全等三角形判定进行猜想，是数学中重要的发现方法，符合学生的认知规律，也使新课的引入水到渠成。

第二环节：操作探究，猜想验证（预计用时：12分钟）

【教师活动】

1.明确探究任务：

师：我们的猜想是：在△ABC和△A'B'C'中，如果AB/A‘B’=AC/A‘C’

，且∠A=∠A‘，那么△ABC∽△A'B'C’。这只是一个猜想，需要验证。请大家分组合作，利用手中的工具进行探究。

发放探究学案，明确步骤：

1.2.步骤一：任意画一个△ABC。

2.3.步骤二：画出∠DA‘E=∠A。

3.4.步骤三：在边A‘D上截取A’B‘=k·AB（例如k=2），在边A’E上截取A‘C’=k·AC。

4.5.步骤四：连接B‘C’，得到△A‘B’C‘。

5.6.步骤五：测量∠B‘与∠B，∠C’与∠C，计算B‘C’/BC，看看它们是否分别相等、是否等于k？

6.7.步骤六：改变k的值（如k=0.5,1.5）或改变原三角形形状，重复上述操作。

8.巡视指导：

巡视各小组，关注学生是否能规范作图，准确截取线段，正确测量和计算。对遇到困难的小组给予提示。

9.技术验证：

待多数小组完成操作并得到初步结论后，教师使用几何画板进行高级验证。

（几何画板演示：固定△ABC，构造△A‘B’C‘，满足∠A‘=∠A，且A’B‘/AB=A’C‘/AC=k。动态拖动滑块改变k值，观察△A’B‘C’形状始终与△ABC相同；动态改变∠A的大小，观察当夹角变化时，即使比值k固定，两三角形也不再相似。）

师：通过亲手操作和几何画板的动态演示，我们能得出什么初步结论？

10.归纳猜想：

引导学生用语言表述猜想：如果两个三角形中，有两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。

【学生活动】

以小组为单位，按学案步骤动手画图、测量、计算、记录。在操作中直观感受“两边成比例且夹角相等”时，第三个角、第三边也自动满足相似条件。观察几何画板动态演示，加深理解。小组讨论后，派代表用语言表述猜想。

【设计意图】

让学生亲历“做数学”的过程，通过动手操作获得直观体验，这是合情推理的基础。几何画板的动态演示，突破了手工操作在精度和变化维度上的局限，以技术的力量强化了猜想的可信度，并直观揭示了“夹角相等”这一条件的必要性（若夹角不等，即使两边成比例，三角形也不相似）。此环节着重培养学生的动手能力、观察能力和合作交流能力。

第三环节：推理论证，建构定理（预计用时：15分钟）

【教师活动】

1.明确命题：

师：通过实验，我们增强了猜想的信心。但数学结论不能仅靠实验，必须经过严格的逻辑证明。现在，我们将这个猜想转化为一个待证明的命题。

板书命题：在△ABC和△A‘B’C‘中，若AB/A’B‘=AC/A’C‘，且∠A=∠A’，求证：△ABC∽△A‘B’C‘。

2.分析思路，突破难点：

师：我们目前证明相似的主要工具是定义和平行线判定法。定义需要三边三角全部对应，条件太多。能否将它转化为我们熟悉的“平行线型”相似呢？

启发：回顾平行线判定定理的图形特征（DE//BC）。要在△A‘B’C‘中构造一个与△ABC全等（或说恰好是△ABC放大k倍后）的三角形，并且让它的一条边在A’B‘上，另一条边在A’C‘上…联想到我们在探究作图时，是在A’D、A‘E上“截取”得到了B’、C‘。在证明中，我们也可以尝试“截取”。

引导分析：假设AB/A‘B’=AC/A‘C’=1/k

(k>1，为使构造可行，可设A‘B’>AB)。我们希望在△A‘B’C‘的长边A’B‘上截取一段等于AB（或其整数倍），然后作平行线。

清晰表述：在A‘B’上截取A‘D=AB，过点D作DE//B’C‘，交A’C‘于点E。我们的目标是证明△A’DE≌△ABC，从而DE=BC，且由平行可得△A‘DE∽△A’B‘C’，进而推出△ABC∽△A‘B’C‘。

3.板书规范证明：

师生共同完成，教师主导板书，强调每一步的依据。

证明：在△A‘B’C‘的边A’B‘（或延长线）上截取A’D=AB，过点D作DE//B‘C’，交A‘C’于点E。

∵DE//B‘C’，

∴△A‘DE∽△A’B‘C’。（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）

∴A‘D/A’B‘=A’E/A‘C’=DE/B‘C’。

又∵A‘D=AB，且已知AB/A‘B’=AC/A‘C’，

∴A‘E=AC。

在△A‘DE与△ABC中，

A‘D=AB，（所作）

∠A‘=∠A，（已知）

A’E=AC，（已证）

∴△A‘DE≌△ABC。（SAS）

∴DE=BC，且∠A‘DE=∠B，∠A’ED=∠C。

又∵△A‘DE∽△A’B‘C’，

∴BC/B‘C’=A‘D/A’B‘=AB/A’B‘，

且∠B=∠A’DE=∠B‘，∠C=∠A’ED=∠C‘。

∴△ABC∽△A‘B’C’。（相似三角形定义）

4.提炼定理：

师：至此，猜想被证明为真，它可以作为判定两个三角形相似的一个定理。我们如何用简洁的语言概括它？

生：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

师：非常准确。在数学上，我们常称之为“边角边（SAS）相似判定定理”。请大家在课本上标记，并思考其符号语言如何表述。

板书定理及其符号语言：

在△ABC和△A‘B’C‘中，

如果AB/A‘B’=AC/A‘C’

，且∠A=∠A‘，

那么△ABC∽△A‘B’C’。

【学生活动】

跟随教师的思路分析，理解“截取构造”的巧妙之处。参与证明过程的表述，口述部分步骤。观看教师规范板书，整理笔记。概括定理的文字内容和符号语言。

【设计意图】

这是本节课的思维高地与核心环节。通过引导学生分析证明思路，着重剖析“为什么想到截取”、“为什么在长边上截取”以及“如何将相似问题转化为全等与平行线相似问题”，深刻揭示其中蕴含的“化归”数学思想。规范的板书证明过程，为学生提供演绎推理的范本，培养其逻辑的严谨性和表达的条理性。从实验猜想到逻辑定理的升华，让学生完整体验数学的理性精神。

第四环节：辨析理解，深化认识（预计用时：5分钟）

【教师活动】

1.辨析“夹角”：

（课件出示两个三角形，标出边长比例，但相等的角不是对应成比例两边的夹角）

师：请看，这两个三角形中，AB/DE=AC/DF

，但∠B=∠E。它们相似吗？为什么？

生：不一定相似。因为相等的角∠B和∠E不是成比例的两边AB与DE、AC与DF的夹角。定理要求必须是“夹角相等”。

2.反例说明：

（几何画板动态展示：构造两个三角形，满足两组边对应成比例，但其中一组对角相等而非夹角相等，图形明显不相似。）

师：可见，“两边成比例”配上“其中一对对角相等”并不能保证相似。这进一步强调了“夹角”这一条件的关键性。

3.与全等SAS对比：

师：请大家对比全等三角形的SAS判定与相似的SAS判定，找出异同。

生：相同点：都需要“两边”和“夹角”两个条件。不同点：全等要求“两边相等”，相似要求“两边成比例”；全等必然相似（相似比为1），但相似不一定全等。

师：这完美体现了数学从特殊（全等）到一般（相似）的推广。

【学生活动】

观察反例图形，深刻理解“夹角相等”的必要性。通过对比全等与相似的SAS条件，深化对定理本质的理解，构建知识之间的联系。

【设计意图】

通过辨析和反例，直击学生理解上的易错点与模糊点，强化对定理条件完整性和精确性的把握。与全等SAS的对比，不仅巩固了新知，还使学生从更高视角看待知识体系的发展，感悟数学的内在统一性。

第五环节：典例精析，初步应用（预计用时：10分钟）

【教师活动】

1.出示例1（直接应用型）：

如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，AB=4，BC=6，DE=8，EF=12。问：△ABC与△DEF相似吗？为什么？

分析引导：

1.2.师：要判定△ABC∽△DEF，已知∠B=∠E，我们考虑用今天学的定理。需要检查什么？

2.3.生：检查∠B和∠E是不是夹角，即它们是否是AB与BC、DE与EF的夹角。

3.4.师：是的。看图确认∠B是AB和BC的夹角，∠E是DE和EF的夹角。然后计算两组对应边的比值。

4.5.师生共同计算：AB/DE=4/8=1/2，BC/EF=6/12=1/2。

5.6.生：因为AB/DE=BC/EF，且夹角∠B=∠E，所以△ABC∽△DEF。（SAS）

板书规范解题过程。

7.出示例2（条件识别型）：

如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD=3，AB=8，AE=4，AC=6，∠A是公共角。求证：△ADE∽△ACB。

分析引导：

1.8.师：本题中，∠A是公共角，显然是夹角。需要证明哪两边成比例？

2.9.生：需要证明AD/AC=AE/AB。

3.10.师：为什么是AD对应AC，AE对应AB？而不是AD对应AB？

4.11.生：因为∠A是AD和AE的夹角，也是AC和AB的夹角。要使夹角对应，AD应与AC对应，AE应与AB对应。

5.12.师生共同计算：AD/AC=3/6=1/2，AE/AB=4/8=1/2。

6.13.生：∴AD/AC=AE/AB，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB。（SAS）

强调对应边的确定方法：夹角所夹的两边。

14.方法小结：

师：应用SAS相似判定定理的关键步骤是什么？

师生共同总结：

1.15.一审：审题，看是否给出了两组边和一个角的条件。

2.16.二找：找到那个角，并确认它是否是给定两边的夹角。

3.17.三算：计算两组对应边的比值，看是否相等。

4.18.四证：根据定理，写出证明过程。

【学生活动】

跟随教师分析例题，学习如何分析条件、确定对应关系、进行计算和规范书写。参与方法小结，内化解题步骤。

【设计意图】

通过由浅入深的例题，示范定理的应用。例1是直接套用，巩固基础；例2侧重对应关系的识别，这是应用中的难点。通过引导分析，让学生掌握寻找“夹角”及其所夹“两边”的策略。规范板书解题过程，持续强化学生的逻辑表达。方法小结帮助学生提炼解题通法，形成技能。

第六环节：变式训练，巩固拓展（预计用时：12分钟）

【教师活动】

组织学生完成以下分层练习，巡视指导，针对共性问题进行集中点评。

【练习设计】

A组（基础巩固）：

1.根据下列条件，判断△ABC与△A‘B’C‘是否相似，并说明理由。

(1)∠A=40°，AB=8，AC=15；∠A‘=40°，A’B‘=16，A’C‘=30。

(2)AB=10，BC=8，∠B=70°；A’B‘=20，B’C‘=16，∠A’=70°。

（设计意图：巩固定理应用，(2)题考察对“夹角”的识别，∠B是AB与BC的夹角，而∠A‘不是A’B‘与B’C‘的夹角，故不相似。）

B组（能力提升）：

2.如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=60°，CD=12，AD=9，且∠D=120°。请问图中是否有相似的三角形？请证明你的结论。

（提示：连接AC。分析△ABC和△CDA，计算AB/CD，BC/DA，观察夹角∠B与∠D的关系。发现∠B+∠D=180°，但∠D并非∠ADC，需仔细看图。本题旨在训练复杂图形中分离三角形和识别条件的能力，并明确知道∠B与∠D互补并不能直接用于SAS判定，若计算边长比相等，但夹角不相等，则不能判定。本题实际上需要先利用余弦定理计算AC，再考虑其他判定，或作为思考题，引导学生认识到SAS条件的严格性。）

1.（跨学科联系）物理中的杠杆原理示意图中，动力臂、阻力臂与动力作用线、阻力作用线构成两个三角形。若动力臂与阻力臂长度成比例，且动力作用线与杠杆的夹角等于阻力作用线与杠杆的夹角，试从数学角度解释为什么这两个三角形相似，并说明这对理解省力杠杆或费力杠杆有何意义？

（设计意图：将数学定理与物理原理结合，体现学科融合，提升学生应用数学解释现实世界的能力。）

C组（思维挑战）：

4.已知：如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP=3PC，Q是CD的中点。

求证：（1）△ADQ∽△QCP；（2）AQ⊥QP。

（设计意图：综合几何题。第(1)问需利用正方形性质和已知比例，证明AD/QC=DQ/CP，且夹角均为90°，运用SAS判定相似。第(2)问则需利用相似得到的角相等进行角度转换，证明垂直。此题综合性强，训练学生综合分析能力。）

【学生活动】

独立或小组讨论完成练习。A组题要求所有学生掌握。B、C组题鼓励学有余力的学生挑战。积极思考，提出问题。

【教师活动】

巡视中重点关注A组题的完成情况，确保基础落实。对B组第2题，可引导发现连接AC后，∠B与∠ADC并非对应对角，且和为180°并不直接相关，重点考察对“夹角”条件的敏感度。对C组题，可点拨：证明垂直常转化为证明夹角为90°，而由相似可得角相等，进而进行等角代换。

【设计意图】

设计分层练习，满足不同层次学生的需求，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。基础题巩固定理的直接应用；提高题融入图形识别和跨学科背景，提升分析能力；挑战题作为课堂延伸，供优秀学生探索，培养其综合运用知识解决较复杂问题的能力。通过变式训练，使学生对定理的理解从“会用”走向“活用”。

第七环节：课堂小结，梳理提升（预计用时：3分钟）

【教师活动】

师：同学们，今天我们这堂课收获颇丰。请大家闭上眼睛回顾一下，这节课我们主要学习了什么？经历了怎样的过程？你有什么感悟？

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识：我们探索并证明了三角形相似的又一个重要判定定理——两边成比例且夹角相等（SAS）的两个三角形相似。这是继平行线法之后，我们掌握的第二个相似判定工具。

2.过程与方法：我们重温了“观察猜想→实验验证→推理论证→应用拓展”的数学研究一般路径。学会了通过类比旧知（全等SAS）提出猜想，并通过构造法将新问题转化为已解决的问题（平行线相似模型和全等三角形）来加以证明。

3.思想：体会了从特殊（全等）到一般（相似）的推广思想、转化与化归的数学思想，以及数学结论的严谨性（必须证明）。

【学生活动】

回顾课堂内容，从多角度进行总结反思，分享自己的收获和体会。

【设计意图】

引导学生自主梳理，将零散的知识点系统化，将探究过程中的体验升华为方法和思想。这是一种无认知策略的培养，有助于学生形成良好的学习习惯和深刻的数学理解。

第八环节：布置作业，分层落实（预计用时：2分钟）

【教师活动】

布置分层作业：

1.必做题：课本对应练习中的基础题；配套练习册A组题。要求规范书写证明过程。

2.选做题：

1.3.寻找生活中或其它学科（如物理、地理、艺术）中蕴含“两边成比例且夹角相等”相似模型的一个实例，并简要说明。

2.4.思考：如果“两边成比例”且“其中一边的对角相等”，两个三角形一定相似吗？请尝试画图探索或寻找反例。

5.预习作业：预习下一课时“三边成比例的两个三角形相似”，尝试类比今天的探究过程，提出你的猜想。

【设计意图】

必做题确保全体学生巩固双基。选做题（1）将数学与生活、其他学科更广泛地联系起来，培养学生的应用意识和