第五章正方形与中点四边形

第五章四边形正方形与中点四边形多设问串讲基础知识1.(人教八下习题改编)如图，四边形ABCD是正方形，AB=4，对角线AC与

BD相交于点O，E为BC上一点，连接AE交BD于点F.

(1)∠BAC的度数为

⁠；(2)正方形ABCD的周长是

，面积是

⁠；(3)若AD=DF，则∠DAF的度数为

⁠；45°161667.5°(4)若AE平分∠BAC，则CE的长是

.8－4

2.(人教八下例题改编)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交

于点O.

(1)若四边形ABCD是菱形，请添加一个条件

⁠

(写出一个即可)，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】

⁠.∠ABC=90°(答案不唯一)

有一个角是直角的菱形是正方形(2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件

(写

出一个即可)，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】

⁠.AB=AD(答案不唯一)一组邻边相等的矩形是正方形在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.

(3)若四边形ABCD是平行四边形，请添加条件

⁠

(写出一个即可)，使四边形ABCD是正方形.【判定依据】

⁠

⁠.AB=AD且∠ABC=90°(答

案不唯一)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方

形.在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.

3.已知四边形ABCD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，

依次连接EF，FG，GH，HE.

(1)若四边形EFGH是矩形，则对角线AC，BD一定满足的条件是(

B

)A.AC=BDB.AC⊥BDC.AC=BD且AC⊥BDD.不确定B(2)如图①，连接AC，BD，若四边形ABCD是平行四边形且AC=4，

BD=6，则四边形EFGH的周长为

⁠；10(3)如图②，若四边形ABCD是矩形且AB=4，BC=6，则四边形EFGH的面

积为

⁠；12(4)如图③，若四边形ABCD是正方形且面积为4，则四边形EFGH的面积

为

⁠.2真题、模拟题随堂练正方形的性质与判定1.如图，在正方形ABCD中，AD=8，对角线AC与BD相交于点O，E为BC

上一点，连接AE，F为AE的中点，连接BF，OF，若OF=1，则BF的长为

(

D

)A.74B.14C.10D.5D

(

3.

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，D是边AC的

中点，连接BD，过点A，B分别作DA，DB的垂线交于点E，连接EC.

(1)求证：四边形ADBE是正方形；(1)证明：由题可知，DA⊥AE，DB⊥BE，∴∠DAE=∠DBE=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，D是边AC的中点，∴BD⊥AC，∴∠BDA=90°，∴四边形ADBE是矩形，∵D是边AC的中点，∠ABC=90°，∴BD=AD，∴四边形ADBE是正方形；(2)若CD=1，求sin∠BCE的值.(2)解：如解图，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，∵D是边AC的中点，CD=1，∴AD=1，AC=2，由(1)知，四边形ADBE是正方形，∴AE=BE=AD=1，∠EAD=∠EBD=90°，∠ABE=45°，

∟F△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，D是边AC的中点，连接BD，过点A，B分别作DA，DB的垂线交于点E，连接EC.

∟F∵∠ABC=90°，∴∠ABF=90°，∴∠EBF=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，中点四边形4.

(2024山西10题)在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，

CD，DA的中点，EG，FH交于点O.

若四边形ABCD的对角线相等，则线

段EG与FH一定满足的关系为(

A

)A.互相垂直平分B.互相平分且相等C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等A

解图变式4.1变形式——以新定义的形式考查

新定义四边形定义：对角线相等的四边形为等角线四边形.(1)下列我们学过的特殊四边形中，

一定是等角线四边形(填序

号)；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形②④(2)如图，若E，F，G，H分别是等角线四边形ABCD四条边AB，BC，

CD，DA的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边

形，当AC⊥BD时，请判断中点四边形EFGH的形状并说明理由.解：(2)当AC⊥BD时，中点四边形EFGH的形状为正方形，

∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AC=BD，∴EF=EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵BD∥EH，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为正方形，∴当AC⊥BD时，中点四边形EFGH的形状